基于進給速度敏感點識別的NURBS曲線平滑插補算法研究

林 峰 張正紅 陳 勝

1.衢州學院，衢州，324000 2.浙江永力達數控機床有限公司，衢州，324000

0 引言

NURBS為初等解析曲線／曲面和自由曲線／曲面提供了統(tǒng)一的數學表達形式，以NURBS為表達形式的數控代碼以其良好的輪廓表征精度和精簡的代碼量，已得到越來越多數控系統(tǒng)的支持。對于現代智能化的CNC控制器而言，一個可靠高效的NURBS刀路插補控制器至關重要［1］。與基于NURBS表達的造型技術相比，基于NURBS的插補技術相對滯后，當前NURBS插補算法缺乏對曲線線形良好的自適應性。

Huang等［2］設計了恒定進給速度的插補控制方法，該方法采用一階泰勒展開來計算指令步長下NURBS曲線上的插補點坐標。為提高計算精度，Yang等［3］提出采用二階泰勒展開近似求解，以減小進給速度的波動。Nam等［4］提出了一種在參數曲線的始末點進行速度光滑處理，在插補曲線的中間區(qū)域保持恒定進給速度的規(guī)劃方法。Altintas等［5］采用五次樣條實現了有加加速度限制的插補，但該方法只在插補始末段應用，中間過程未考慮插補精度問題。Yeh等［6］實現了一種進給速率自適應的NURBS插補器，該方法根據弓高誤差獲得最大允許進給速度值。但該方法沒有提供合適的加減速方案，在步長減小的低速區(qū)域附近，可能出現速度突變。Yong等［7］提出了離線尋找危險點的的插補算法，并對速度變化區(qū)域進行加減速控制。Shen等［8］基于進給軸伺服驅動能力角度，提出了基于軸向加速度、加加速度限制的異步插補算法。

本文提出一種基于進給速度曲線敏感點識別的NURBS插補算法。敏感點根據弓高誤差在離線處理階段確定，此后的進給速度規(guī)劃即基于此已識別的敏感點。相鄰敏感點之間的加減速則根據兩點之間的距離進行自適應控制。進而，整個插補進給速度曲線可通過連接所有敏感點區(qū)域速度段來完成。

1 進給速度敏感點識別

眾所周知，加工自由曲線時保持恒定的加工速度將無法限制弓高誤差。對于給定的加工軌跡，弓高誤差取決于速度曲線，本文將進給速度指令值vF下弓高誤差超過給定值的點稱為敏感點。因此，首先需要正確地計算弓高誤差，然后進行速度曲線的正確規(guī)劃。

傳統(tǒng)方法計算弓高誤差Ei時，采用局部區(qū)域的圓弧近似方法，表達式如下：

式中，Li為插補周期步長；v（ui）為C（ui）點的進給速度；T為恒定的插補周期；ρi為曲線在u＝ui處的曲率半徑。

為了識別整個NURBS曲線上的敏感點，有必要在插補開始之前對整個0到1的參數空間進行離散。參數步長Δui越大，越有利于提高計算效率，但為了提高敏感點識別的精度，步長值越小越好。為了在計算效率和識別精度之間獲得平衡，通過以下法則來確定參數步長Δui：

（1）初始參數步長Δui預設為Δui＝2Δui－1；

（2）如果下式滿足：

式中，la為以a為起點，參數中點為終點的弦長；lb為以參數中點為起點，b為終點的弦長；lab為以a為起點，b為終點的弦長；ξ為逼近誤差率。

他本來會撲到熊身上，把它殺了的?？墒撬男膮s開始了那種警告性的猛跳。接著又向上猛頂，迅速跳動，頭像給鐵箍箍緊了似的，腦子里漸漸感到一陣昏迷。

則接受Δui的值，否則執(zhí)行第（3）步；

在式（2）中，我們選擇ξ＝1%。整個處理過程將在獲得合適的參數增量Δui之后結束，并以C（ui）點離散整個NURBS曲線。

如果設定弓高誤差的公差為Et，則當Ei＞Et時，C（ui）為敏感點；當Ei≤Et時，C（ui）不為敏感點。

若C（ui）是敏感點，則該點的最大允許進給速度vs可用下式定義：

整個敏感點識別的過程不僅僅是獲得一系列的敏感點信息，同時任意兩個離散計算點之間的距離信息也被存儲，用于后續(xù)插補規(guī)劃。

2 敏感點之間的進給速度規(guī)劃算法

如果敏感點存在，則進給速度不能在整個加工過程中保持恒定的vF。因此，需要在敏感點附近區(qū)域進行加減速。然而，NURBS曲線上相鄰兩個敏感點之間的距離是不同的，所以加減速方案需要根據不同的情況進行自適應調整。

假設兩點之間的距離足夠保證進給速度由vs1加速到vF以及由vF減速到vs2進行平滑加減速所需的長度，我們有必要獲得完成這兩個過程所需的距離。如圖1所示，在加速階段，存在ta1、ta2、ta3三個 時間階段，分別實 現 了 Δva1、Δva2、Δva3的速度變化量。在ta1、ta3階段，進行速度增加的同時，加速度也在變化。為保證過程的平滑性，加速度以恒定的加加速度j＝jmax進行變化。在ta2階段，加速度保持為恒定的amax。

圖1 加減速階段劃分（Ss＝Sa＋Sd）

首先，必須獲得ta1、ta3階段的加速時間：

式中，ta1為加速度從0變化到amax所需的時間；ta3為從amax變化到0所需的時間。

從圖1可知：

同理，對于降速階段速度曲線，進給速度需要從vF平滑過渡到下個敏感點所需速度vs2。降速時間td1、td3的表示式為

圖2 帶恒定速度區(qū)域v＝vF的進給速度曲線（Ss＞Sa＋Sd）

否則，若Ss＜Sa＋Sd，則表示速度無法達到vF。此時，需要調整兩敏感點之間最大速度值，vmax←vmaxη，其中，參數η設置為0.618。

重復式（4）～式（12）的計算，并校驗是否滿足式（12）。若不滿足，則需要按上述方式進行調整。當滿足式（12），保持恒定速度的時間由以下法則確定：

vmax≠vF時的S′a、S′d與vmax＝vF時的Sa、Sd不同，有 S′a＜ Sa，S′d＜ Sd。 從 式 （13）可 知，若vmax≠vF，并且Ss－S′a－S′d≠0，則存在一個恒速度為（vmax＋vs2）／2的安全緩沖區(qū)域（security buffer），如圖3所示。如果vmax≠vF，且Ss－S′a－S′d＝0，則不存在該安全緩沖區(qū)，如圖4所示。

圖3 帶安全緩沖區(qū)域速度曲線（Ss＜Sa＋Sd）

圖4 不帶安全緩沖區(qū)速度曲線（Ss＜Sa＋Sd）

在曲線插補的開始階段，也必須具有加速階段，盡管第1個插補點不必是敏感點。對于曲線末尾階段情況也一樣。但在本算法中，在曲線始末端通過設置vs＝0的方法來實現加減速控制。也即是說將始末兩點視為敏感點，這樣就無需設計專門的算法解決始末端的加減速問題。

3 仿真和分析

采用三次NURBS曲線來驗證本插補算法的有效性。曲線控制參數如表1所示。

表1 NURBS曲線參數

示例NURBS曲線的形貌如圖5所示，可以看到三個較明顯的高曲率區(qū)域。事實上，在弓高誤差允許值Et＝0.5μm時，這些點即為敏感點。

圖5 NURBS曲線形貌

仿 真 實 驗 在 vF為 80mm／s、100mm／s、140mm／s三個不同的進給速度指令值下實施。仿真使用的加工參數如表2所示。

表2 加工參數

圖6～圖8所示為不同進給速度指令值vF條件下的插補速度vf曲線，從中可以看出，敏感點的存在與否（或者其位置）在不同的進給速度指令值條件下可能發(fā)生變化，特別地，在vf＝80mm／s以下時，該NURBS曲線不存在敏感點。

圖6 vF＝80mm／s時的插補速度曲線

圖9～圖11所示為不同進給速度指令值vF條件下的輪廓誤差?？梢钥闯觯哒`差被嚴格限制在0.5μm以內。盡管在敏感點處，弓高誤差和速度的預設值是通過式（3）確定的，但由于插補計算時，兩點之間的距離不是嚴格的精確值，當插補計算到達敏感點時，實際速度已經與式（3）的預設值產生了差異。

圖7 vF＝100mm／s時的插補速度曲線

圖8 vF＝140mm／s時的插補速度曲線

圖9 vF＝80mm／s時的輪廓誤差

圖10 vF＝100mm／s時的輪廓誤差

圖11 vF＝140mm／s時的輪廓誤差

4 結語

本文提出的基于進給速度曲線敏感點識別的插補方法，可以有效地確定高曲率區(qū)域的速度敏感點。在兼顧計算效率和識別準確性的問題上，本文設計了可靠的法則以確定參數步長增量。同時，設計了一套在兩個相鄰的速度敏感點之間進行自適應速度規(guī)劃的算法，提出采用安全緩沖區(qū)的方法進行距離自適應。算法不僅考慮了插補加工的平滑性和安全性，同時兼顧加工精度和效率。NURBS插補仿真結果顯示，本算法能夠有效處理敏感點距離與進給速度之間存在復雜關系的不同情況。

［1］Lei W T，Sung M P，Lin L Y，et al.Fast Realtime NURBS Path Interpolation for CNC Machine Tools［J］.International Journal of Machine Tools ＆Manufacture，2006，43：1－12.

［2］Huang J，Yang D.A Generalized Interpolator for Command Generation of Parametric Curves in Computer Controlled Machines［C］／／ASME Japan／USA Symposium on Flexible Automation.San Francisco，CA，USA，1992：286－292.

［3］Yang D，Kong T.Parametric Interpolator Versus Linear Interpolator for Precision CNC Machining［J］.Comput－Aided Design，1994，26（3）：225－233.

［4］Nam S H，Yang M Y.A Study on a Generalized Parametric Interpolator with Real－time Jerk－limited Acceleration［J］.Computer－Aided Design，2004，36（1）：27－36.

［5］Erkorkmaz K，Altintas Y.High Speed CNC System Design.Part I：Jerk Limited Trajectory Generation and Quintic Spline Interpolation［J］.International Journal of Machine Tools ＆ Manufacture，2001，41：1323－1345.

［6］Yeh S，Hsu P.Adaptive－feedrate Interpolation for Parametric Curves with a Confined Chord Error［J］.Computer－Aided Design，2002，34（2）：229－237.

［7］Yong T，Narayanaswami R.A Parametric Interpolator with Confined Chord Errors，Acceleration and Deceleration for NC Machining［J］.Computer－Aided Design，2003，35（13）：1249－1259.

［8］Shen Hongyao，Fu Jianzhong，Chen Zichen.Axisbased Look－ahead Interpolator for Machining of Surfaces Represented by Nurbs Curves［J］.Machining Science and Technology，2008，12（4）：546－562.