基于能耗目標(biāo)優(yōu)化的多足爬墻機(jī)器人足力控制研究

魏 武 蔡釗雄 鄧高燕

華南理工大學(xué)，廣州，510640

0 引言

多足機(jī)器人是仿多足生物運(yùn)動(dòng)的一種特種機(jī)器人，是一種足式移動(dòng)機(jī)構(gòu)。常見(jiàn)的多足步行機(jī)器人包括四足步行機(jī)器人、六足步行機(jī)器人、八足步行機(jī)器人等。多足爬墻機(jī)器人作為一種特殊的多足步行機(jī)器人，是應(yīng)用于高空極限作業(yè)的一種自動(dòng)機(jī)械裝置，它既具有吸附支持的特殊性，又具有運(yùn)動(dòng)形式的特殊性（除了“直立”行走形式外，還有“倒立”、“側(cè)立”和“混立”等行走形式），更重要的是還需要滿足高空極限作業(yè)的安全性要求。多足爬墻機(jī)器人可在核工業(yè)、建筑、交通、石化、消防等領(lǐng)域完成檢測(cè)、探傷、清洗、救援等作業(yè)，具有廣泛的應(yīng)用前景。

多足機(jī)器人足力控制一直是多足機(jī)器人領(lǐng)域的研究重點(diǎn)和難點(diǎn)。近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者高度關(guān)注多足機(jī)器人的足力控制問(wèn)題，并進(jìn)行了大量研究。足力控制包括關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力控制和足底接觸控制。關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力控制研究方面，具有代表性的研究有Nahon等［1］提出的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力平方規(guī)劃方法和Chen等［2］提出的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力二次優(yōu)化方法。足底接觸力控制研究方面，具有代表性的有：王鵬飛［3］提出的機(jī)器人足底接觸力虛擬懸掛模型及足底接觸力補(bǔ)償與阻抗控制方法；Spong等［4］提出的被動(dòng)控制方法；Sangbae等［5］提出的在光滑垂直平面上的足部黏性控制方法；Sang－Ho［6］提出的適應(yīng)未知外力和粗糙地形的阻抗控制方法；Vidoni等［7］提出的用于解決多種吸附情況下的最小力矩分配問(wèn)題的靜態(tài)平衡法。

上述方法只針對(duì)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力或足底接觸力進(jìn)行優(yōu)化，沒(méi)有針對(duì)能耗目標(biāo)進(jìn)行足力的優(yōu)化，而多足爬墻機(jī)器人的能耗問(wèn)題是高空極限作業(yè)需解決的主要問(wèn)題。本文提出基于能耗性優(yōu)化的多足爬墻機(jī)器人足力控制方法，以八足爬墻機(jī)器人為例（四足及六足爬墻機(jī)器人類(lèi)似），在兼顧安全性的前提下，先對(duì)機(jī)器人的足力優(yōu)化模型進(jìn)行討論，然后再以總電機(jī)功率最小為能耗優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)多足機(jī)器人的足底接觸力進(jìn)行優(yōu)化，并給出了電機(jī)控制模型的轉(zhuǎn)換方式，最后，對(duì)本文提出的優(yōu)化方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，證明了所述方法可行有效。

1 基于安全性與能耗目標(biāo)的足力優(yōu)化模型

1.1 足力優(yōu)化模型的轉(zhuǎn)換與簡(jiǎn)化

本文研究的八足機(jī)器人采用真空吸盤(pán)式結(jié)構(gòu)，為了分析方便，以八足類(lèi)爬行動(dòng)物運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)為例進(jìn)行研究［8－9］。機(jī)器人由八條腿和軀干共9個(gè)相對(duì)獨(dú)立的模塊組成。每條腿具有6個(gè)自由度，其中髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、踝關(guān)節(jié)各有1個(gè)自由度，足關(guān)節(jié)處球鉸與真空吸盤(pán)相連，組成1個(gè)萬(wàn)向關(guān)節(jié)，具有3個(gè)自由度，髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)為主動(dòng)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，髖關(guān)節(jié)分別與膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)正交（目前常用的一種方式），髖關(guān)節(jié)與機(jī)體相連接且軸線方向與機(jī)體垂直。多足爬墻機(jī)器人總體結(jié)構(gòu)如圖1所示，關(guān)節(jié)軸線方向與轉(zhuǎn)動(dòng)方向以及球鉸的運(yùn)動(dòng)方向如圖1中箭頭所示。

1.1.1 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和足底接觸力的轉(zhuǎn)換

為了實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和足底接觸力的轉(zhuǎn)換，本文進(jìn)行下述處理：

（1）以支撐腿為研究對(duì)象，球鉸中心為原點(diǎn)（設(shè)球鉸位于吸盤(pán)上），建立特定的坐標(biāo)系ΣAi（圖1），在該坐標(biāo)系內(nèi)，第i條腿的連桿平面位于x＊z＊平面內(nèi)，且z＊軸垂直于吸附平面。

（2）考慮機(jī)器人的準(zhǔn)靜態(tài)運(yùn)動(dòng)特性（當(dāng)多足爬墻機(jī)器人處于爬行狀態(tài)時(shí)，由于速度較小，所以可以忽略加速度的影響，同時(shí)重力主要集中在機(jī)體上，可以忽略關(guān)節(jié)和連桿重力的影響，此時(shí)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)可以看成是準(zhǔn)靜態(tài)運(yùn)動(dòng)）。

圖1 八足爬墻機(jī)器人總體結(jié)構(gòu)圖

（3）機(jī)器人以一種特定步態(tài)沿直線方向爬行，髖關(guān)節(jié)在爬行過(guò)程（包括在水平面及傾斜面爬行的過(guò)程）中，轉(zhuǎn)動(dòng)方向既不需要主動(dòng)驅(qū)動(dòng)，又不被動(dòng)承受外扭矩作用，因此由力矩平衡和力平衡條件有τki＝0，si＝0，其中，τki為第i條支撐腿髖關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)扭矩，si為第i條支撐腿足底接觸力沿y＊軸方向的分力。令機(jī)體平面與吸附面保持平行，以腿的連桿平面內(nèi)的力矩平衡條件可建立以下關(guān)系：

為了使各關(guān)節(jié)電機(jī)驅(qū)動(dòng)扭矩均衡化，取τqi＝τhi，則式（1）可化為

式中，τqi、τhi分別為第i條支撐腿的膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)扭矩；pi、qi分別為第i條支撐腿足底接觸力沿x＊、z＊軸方向的分力；di為第i條支撐腿球鉸到髖關(guān)節(jié)軸線的距離；li為第i條支撐腿髖關(guān)節(jié)與球鉸之間的連線在髖關(guān)節(jié)軸線方向上的投影長(zhǎng)度。

通過(guò)上述處理完成了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力向足底接觸力的轉(zhuǎn)換。該轉(zhuǎn)換方法實(shí)現(xiàn)的前提條件是機(jī)器人沿平面做直線爬行，故本文提出的方法只適用于平面環(huán)境，但是可以適應(yīng)于任何角度的斜坡面，包括垂直的斜坡和倒立攀爬的平面。

轉(zhuǎn)換后的模型還減少了優(yōu)化變量數(shù)量：①無(wú)需對(duì)膝關(guān)節(jié)軸線和踝關(guān)節(jié)軸線平行方向的足底接觸力進(jìn)行優(yōu)化（因?yàn)閟i＝0）；②無(wú)需對(duì)髖關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力變量進(jìn)行優(yōu)化（τki＝0）；③ 只需對(duì)膝關(guān)節(jié)或踝關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力進(jìn)行優(yōu)化（τqi＝τhi）。

1.1.2 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力約束的轉(zhuǎn)換與簡(jiǎn)化

關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力約束是由電機(jī)的電流和電壓受限引起的。每條腿的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力約束，需要比較膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)最小電流受限驅(qū)動(dòng)力、最大電流受限驅(qū)動(dòng)力、最小電壓受限驅(qū)動(dòng)力和最大電壓受限驅(qū)動(dòng)力來(lái)綜合確定。由于關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力約束只需要考慮膝關(guān)節(jié)或踝關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力約束（τki＝0），所以上述方法中每條腿的驅(qū)動(dòng)約束只有2個(gè)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力約束（前述現(xiàn)有研究方法中，每條腿需要6個(gè)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力約束）。

由于受限驅(qū)動(dòng)力的計(jì)算表達(dá)式復(fù)雜，加上需要比較的次數(shù)多，所以確定支撐腿的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力約束的計(jì)算量比較大。為此本文提出一種轉(zhuǎn)換方法來(lái)減小確定支撐腿的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力約束的計(jì)算量。即通過(guò)比較膝關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)電機(jī)的最大及最小受限力矩，可有效減少確定腿的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力約束的計(jì)算量。具體方法如下：

將式（2）代入式（3）可得

式中，τanklemin、τanklemax、τkneemin、τkneemax分別為踝關(guān)節(jié)電機(jī)和膝關(guān)節(jié)電機(jī)的最小驅(qū)動(dòng)力矩和最大驅(qū)動(dòng)力矩。

式（4）為每條腿的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力約束，該約束由兩個(gè)關(guān)于pi、qi的線性不等式組成。

1.1.3 動(dòng)力學(xué)約束方程的轉(zhuǎn)換與簡(jiǎn)化

以機(jī)體為研究對(duì)象，通過(guò)支撐腿建立機(jī)體的力和力矩平衡方程，可以建立6個(gè)平衡方程（力平衡方程2個(gè)和力矩平衡方程4個(gè)），轉(zhuǎn)換過(guò)程也實(shí)現(xiàn)了約束方程的簡(jiǎn)化，本文中的6個(gè)方程只有2n個(gè)優(yōu)化變量（n為支撐腿數(shù)量），而前述現(xiàn)有方法中有3n個(gè)優(yōu)化變量。

設(shè)機(jī)器人所受主矢R＝（Rx，Ry，Rz）和主矩M＝（Mx，My，Mz）的外力作用，各足在機(jī)體坐標(biāo)系Σc中的位置矢量ri＝（rix，riy，riz）（i為腿號(hào)），所受接觸面作用反力的合力Fi＝（Fix，F(xiàn)iy，F(xiàn)iz）。根據(jù)力、力矩平衡關(guān)系有下列方程：

式中，m0為機(jī)體的質(zhì)量；a0為平動(dòng)加速度；g為重力加速度矢量。

當(dāng)多足爬墻機(jī)器人以靜步態(tài)直線行走時(shí)，可以忽略加速度的影響，因此a0＝0。由zc軸和xc軸方向的力與力矩平衡可以簡(jiǎn)化得到下面的矩陣方程：

式中，xn、yn、zn分別為各腿髖關(guān)節(jié)在坐標(biāo)系Σc中的坐標(biāo)；α為吸附面法線與重力加速度方向的夾角。

1.1.4 吸盤(pán)安全性約束轉(zhuǎn)換與簡(jiǎn)化

以吸盤(pán)為研究對(duì)象，建立關(guān)于吸盤(pán)的力平衡方程［10］。支撐腿足力的反力（實(shí)際上是球鉸對(duì)吸盤(pán)的作用力）沿著吸盤(pán)吸附面坐標(biāo)系方向分解合成，得到沿著吸盤(pán)吸附面的切向力和法向力，分別為qi和pi，以吸附力方向?yàn)檎晌P(pán)受力關(guān)系可以推導(dǎo)出摩擦力約束條件為

式中，wi為第i條支撐腿真空吸盤(pán)壓差所產(chǎn)生的對(duì)吸盤(pán)的垂直壓力（簡(jiǎn)稱吸附力，已知）；μmaxi為最大靜摩擦因數(shù)（已知）。

法向安全約束確保支撐腿吸盤(pán)有足夠的吸附力，使吸盤(pán)不脫離吸附面。由吸盤(pán)受力關(guān)系可以推導(dǎo)出法向安全約束條件為

本文建立的摩擦力約束為線性不等式約束，優(yōu)化問(wèn)題的求解計(jì)算量大大減小了。

1.2 基于能耗目標(biāo)的足力優(yōu)化

機(jī)器人在實(shí)際的工作環(huán)境中，需要連續(xù)長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行，其主要的能量均消耗在各個(gè)關(guān)節(jié)的電機(jī)之上，其行走方式將成為影響機(jī)器人運(yùn)行能耗的主要因素。為了合理地控制機(jī)器人的機(jī)械能耗、提高機(jī)器人供電電源的續(xù)航能力，需要對(duì)機(jī)器人的能耗目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。

能耗目標(biāo)采用使所有關(guān)節(jié)電機(jī)功率總和最小為目標(biāo)函數(shù)，則能耗目標(biāo)函數(shù)可表示如下：

將式（2）代入式（9），以所有支撐腿關(guān)節(jié)電機(jī)功率總和最小為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為

上述優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)具有以下特點(diǎn)：①優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于足底接觸力pi、qi的二次函數(shù)，保障了優(yōu)化模型解的連續(xù)性；②可以實(shí)現(xiàn)足底接觸力的優(yōu)化，結(jié)合式（2）可計(jì)算出所有關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力，因此可同步實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力優(yōu)化。

2 足力控制模型與電流控制模型的轉(zhuǎn)換

建立基于足底接觸力和驅(qū)動(dòng)力的足力控制模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)足力和足底接觸力的同步控制。支撐腿通過(guò)髖關(guān)節(jié)在機(jī)體上的作用力可分解成大小和方向與pi、qi相同的兩個(gè)力，pi、qi作用力的方向分別為髖關(guān)節(jié)軸線方向和法線方向，可在髖關(guān)節(jié)上安裝傳感器測(cè)量pi和qi。根據(jù)電機(jī)電流與關(guān)節(jié)力矩關(guān)系式，建立膝關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力控制模型：

（1）輸出測(cè)量值。通過(guò)pi和qi測(cè)量值可以計(jì)算出τhi的輸出值。

（2）輸入?yún)⒖贾?。通過(guò)優(yōu)化模型可以求解出pi和qi，代入τhi＝（dipi＋liqi）／2可計(jì)算出τhi，作為控制系統(tǒng)的輸入?yún)⒖贾怠?/p>

（3）控制模型。采用電機(jī)電流控制模型來(lái)實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力控制，其模型為

利用式（11）所得電流控制變量IiT，采用三段回路PID控制器就可以獲得非常好的電機(jī)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力控制效果。其控制框圖如圖2所示，實(shí)現(xiàn)方法如下：①以IiT為控制變量，電機(jī)測(cè)量得到的電流、速度和位置作為反饋量，四者的差值作為電流環(huán)回路PID控制器的輸入量；②以電流環(huán)PID控制器的輸出量為速度環(huán)的輸入量；③以速度環(huán)PID控制器的輸出量為位置環(huán)的輸入量，位置環(huán)的輸出量即為滿足關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力的實(shí)際位置量。

圖2 三段回路PID控制規(guī)律

3 實(shí)驗(yàn)與仿真

為了研究八足爬墻機(jī)器人在不同的環(huán)境下攀爬所需的最小功率以及所對(duì)應(yīng)的控制規(guī)律，使用MATLAB對(duì)攀爬不同傾斜平面時(shí)機(jī)器人的足力控制進(jìn)行優(yōu)化。將八足機(jī)器人的八條腿分為兩組，腿1、2、3、4為一組，腿5、6、7、8為另一組。當(dāng)其中一組腿的吸盤(pán)吸附在攀爬面上時(shí)，該組的腿為支撐腿，另一組的吸盤(pán)松開(kāi)，可自由擺動(dòng)，該組的腿為擺動(dòng)腿。兩組交替擺動(dòng)運(yùn)行，完成機(jī)器人沿平面直線爬行的步態(tài)，如圖3所示。圖3中，α為吸附平面的傾斜角度，顯然，該角即為吸附面法線與重力加速度方向的夾角。

圖3 直線爬行步態(tài)圖

令機(jī)器人支撐腿與髖關(guān)節(jié)軸線的夾角為β，為了既使相鄰的兩條腿在擺動(dòng)過(guò)程中不出現(xiàn)相互干涉的現(xiàn)象，又使腿有足夠的擺動(dòng)角度，增大支撐腿擺動(dòng)后機(jī)器人本體移動(dòng)的距離，提高機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)效率，將β的取值范圍設(shè)定為［－45°，45°］。

在圖4所示的吸盤(pán)吸附平面中，機(jī)器人支撐腿擺動(dòng)角度為2β＝90°，機(jī)器人本體從位置1移動(dòng)至位置2，設(shè)膝關(guān)節(jié)到球鉸的距離（即擺動(dòng)腿的長(zhǎng)度）為S，則有

圖4 機(jī)器人本體前行過(guò)程

表1 電機(jī)功率與扭矩實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

對(duì)吸盤(pán)進(jìn)行吸附實(shí)驗(yàn)，可得最大吸附力wi和最大靜摩擦因數(shù)μmaxi。膝關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)采用同一型號(hào)電機(jī)，則有τanklemin＝τkneemin及τanklemax＝τkneemax。各仿真參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)表

根據(jù)式（10），取n＝4，以式（4）、式（6）～ 式（8）為約束條件，使用簡(jiǎn)面體爬山算法（SM）進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，可得最小總功率min P關(guān)于α、β的曲面，如圖5所示。

圖5 最小總功率min P與α、β的關(guān)系

從圖5可以看出，由wi＝875N和μmaxi＝0.6所確定的吸盤(pán)安全性約束可滿足機(jī)器人吸附攀爬的需求，其消耗的最小功率與其運(yùn)動(dòng)的狀況滿足直觀的規(guī)律，具體表現(xiàn)為：當(dāng)α＝0（機(jī)器人正立爬行）及α＝π（機(jī)器人倒立爬行）時(shí)，機(jī)器人支撐腿擺動(dòng)到β＝0時(shí)所需總功率最小，往兩邊擺動(dòng)，即｜β｜增大時(shí)所需總功率P隨之增加；相反，當(dāng)α＝π／2（機(jī)器人在側(cè)立面爬行）時(shí)，機(jī)器人支撐腿擺動(dòng)到β＝0時(shí)所需總功率最大，往兩邊擺動(dòng)，即｜β｜增大時(shí)所需總功率P隨之減少。

由最優(yōu)算法計(jì)算出當(dāng)q1＝q2＝q3＝q4、p1＝p2＝p3＝p4時(shí)，總功率P最小。以q1和p1為例，α與q1、p1的關(guān)系曲線如圖6所示。

圖6 α 與q1、p1的關(guān)系

圖6說(shuō)明了多足爬墻機(jī)器人在攀爬不同傾斜角度的平面時(shí)都有且僅有一組確定的足底接觸力qi和pi，使機(jī)器人的能耗最小。

根據(jù)式（2），將足力控制分量轉(zhuǎn)換為電機(jī)的控制扭矩τ1，那么α、β 與τ1的關(guān)系曲面如圖7所示。

圖7 電機(jī)控制扭矩τ1與α、β的關(guān)系

與圖5類(lèi)似，當(dāng)α＝0及α＝π時(shí)，機(jī)器人支撐腿擺動(dòng)到β＝0時(shí)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τi最小，往兩邊擺動(dòng)時(shí)，即｜β｜增大時(shí)τi隨之增大；相反，當(dāng)α＝π／2時(shí)，機(jī)器人支撐腿擺動(dòng)到β＝0時(shí)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τi最大，往兩邊擺動(dòng)時(shí)，即｜β｜增大時(shí)τi隨之減少。這是由于式（2）確定了足底接觸力與電機(jī)扭矩的關(guān)系，而足底接觸力與最小總功率之間又有唯一確定的關(guān)系，故電機(jī)控制扭矩與電機(jī)最小總功率之間有相似的變化規(guī)律。

根據(jù)式（11）所述的電機(jī)電流控制模型，即可將仿真所得的電機(jī)控制扭矩轉(zhuǎn)換為電機(jī)的控制電流。

4 結(jié)語(yǔ)

本文以八足爬墻機(jī)器人為例，描述了多足爬墻機(jī)器人的足力優(yōu)化模型，實(shí)現(xiàn)了多足機(jī)器人的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和足底接觸力的轉(zhuǎn)換。建立了多足爬墻機(jī)器人總電機(jī)功率與機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)步態(tài)及作業(yè)環(huán)境（包括攀爬角度與吸附平面的粗糙度）的關(guān)系。在滿足爬墻機(jī)器人吸附安全性和足力負(fù)載均衡的條件下，對(duì)機(jī)器人的足底接觸力進(jìn)行優(yōu)化，提高了機(jī)器人對(duì)環(huán)境變化及支撐腿數(shù)量變化的適應(yīng)能力，并降低了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的能耗，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人電機(jī)總能耗最小化的目標(biāo)。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，本文所提出的足力控制方法減少了優(yōu)化的計(jì)算量，實(shí)現(xiàn)了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和足底接觸力的同步控制，優(yōu)化所得的扭矩控制模型簡(jiǎn)單直觀，便于轉(zhuǎn)換為機(jī)器人驅(qū)動(dòng)電機(jī)的電流控制模型。

［1］Nahon M A，Angeles J.Optimization of Dynamic Forces in Mechanical Hands［J］.Trans.of the ASME：J.of Mechanical Design，1991，113：167－173.

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