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    干散貨航運(yùn)市場運(yùn)費(fèi)期權(quán)定價(jià)計(jì)算方法研究*

    2012-12-01 03:59:22林國龍尹利賢
    關(guān)鍵詞:布朗運(yùn)動(dòng)干散貨運(yùn)費(fèi)

    林國龍 尹利賢

    (上海海事大學(xué)物流研究中心 上海 200135)

    0 引 言

    鑒于干散貨航運(yùn)市場自身的市場特性,其在受到企業(yè)自身經(jīng)營狀況的影響外,注定還受到世界經(jīng)濟(jì)和政治發(fā)展、干散貨航運(yùn)市場的供求關(guān)系、投機(jī)因素、自然因素等的沖擊,這就引起干散貨國際航運(yùn)市場運(yùn)價(jià)的劇烈波動(dòng),給市場參與者帶來了巨大的經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn).為此,Tvedt[1]以BIFFEX(波羅的海運(yùn)費(fèi)指數(shù)期貨)為基礎(chǔ)建立了一個(gè)期權(quán)定價(jià)模型,給出了航運(yùn)費(fèi)率市場的一些特征.Kavussanos和 Nomikos[2]提出了關(guān)于運(yùn)價(jià)期貨市場最優(yōu)對(duì)沖的理論并給出實(shí)證研究結(jié)果.1992年,遠(yuǎn)期運(yùn)費(fèi)協(xié)議(forward freight agreement,F(xiàn)FA)進(jìn)入市場.Kavussanos[3]與其他學(xué)者合作既研究了遠(yuǎn)期與即期運(yùn)價(jià)之間的波動(dòng)性關(guān)系,也檢驗(yàn)了FFA隨時(shí)間變化的套期保值率在降低運(yùn)費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)上的有效性.Kavussanos[4]等人就注意到相較于目前干散貨FFA的結(jié)算價(jià)格是基于交割月的最后七個(gè)交易日的平均價(jià)格,1999年11月以前的干散貨FFA的結(jié)算價(jià)格是基于交割月的最后5個(gè)交易日的平均價(jià)格.這樣的清算方法能很好的模擬船隊(duì)的現(xiàn)金流,也就能提高對(duì)沖能力.Kemna和Vorst[5]通過改變波動(dòng)率和敲定價(jià)格提出了一個(gè)幾何平均期權(quán)的定價(jià)解析公式,但是得不出算術(shù)平均期權(quán)模型.Rogers和Shi[6]提出了用有限差分法來解析亞式期權(quán)問題,他們根據(jù)比例縮放的性質(zhì),將平均亞式期權(quán)價(jià)格計(jì)算簡化為解一個(gè)二元拋物線偏微分方程.但這種方法僅適用于較低的波動(dòng)率和較短的到期時(shí)間.

    運(yùn)費(fèi)期權(quán)的意義在于,它為航運(yùn)經(jīng)營者和投資者提供了一種效率更高的航運(yùn)金融工具.將期權(quán)引入航運(yùn)市場,只是為航運(yùn)經(jīng)營者和投資者提供了一種新的選擇,而航運(yùn)經(jīng)營者和投資者可以根據(jù)其對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的承受程度選擇更適合自己的運(yùn)價(jià)交易工具.運(yùn)費(fèi)期權(quán)既可以在OTC場外交易,也可以選擇交易所進(jìn)行清算.

    1 定價(jià)模型框架

    1.1 模型的假設(shè)條件

    假設(shè)市場投資者能自由進(jìn)出市場,且借入利率和貸出利率相等,均為無風(fēng)險(xiǎn)利率r.另外,假設(shè)存在風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q與測度P等價(jià)的鞅測度.基本的FFA是一種現(xiàn)金結(jié)算合同,等于St的算術(shù)平均值與FFA價(jià)格F(t,0,T)之差再乘以一個(gè)常數(shù)D,D不僅取決于價(jià)格是按美元/天還是美元/噸計(jì)算,D還取決于FFA協(xié)議覆蓋的日歷年的天數(shù)以及協(xié)議中涉及的船型等.FFA的值可通過T時(shí)刻得到的現(xiàn)金流折算得到,并計(jì)算鞅測度Q下的條件期望.因?yàn)檫M(jìn)入FFA市場不需要花費(fèi)任何成本,因此,可得下式

    在Black-Scholes環(huán)境下,即期和遠(yuǎn)期價(jià)格均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布(或幾何布朗運(yùn)動(dòng)).在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中,在鞅測度下,原生資產(chǎn)的連續(xù)模型是適合幾何布朗運(yùn)動(dòng)的,因此,用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來描述即期運(yùn)費(fèi)的動(dòng)態(tài)性.

    式中:St為t時(shí)刻原生資產(chǎn)(航運(yùn)運(yùn)價(jià)指數(shù))的現(xiàn)貨價(jià)格,不可交易;μ,σ均為常數(shù),其中μ為期望回報(bào)率,σ為波動(dòng)率;Wt為隨機(jī)布朗運(yùn)動(dòng).

    根據(jù)Girsanov定理,進(jìn)行測度變換得到St在風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q下的微分為

    式中:λ=(μ-σr)為一實(shí)值函數(shù),其中r為風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià),且r=

    式(4)的解即為在鞅測度Q意義下,原生資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)行規(guī)律為

    亞式期權(quán)可以看作是歐式期權(quán)在遠(yuǎn)期協(xié)議下的一種推廣.下面僅以亞式看漲期權(quán)為例.亞式看漲期權(quán)的價(jià)格在到期日T的值依賴于整個(gè)路徑的均值

    于是,該期權(quán)在到期日的收益為max(St-K)+.由于在鞅測度Q下,原生資產(chǎn)(航運(yùn)均價(jià)指數(shù))折現(xiàn)價(jià)格為一鞅,因此,敲定價(jià)格為K的算術(shù)平均亞式上漲期權(quán)的價(jià)格由折現(xiàn)條件期望給出:

    式中:CF(K,t)為敲定價(jià)為K的算術(shù)平均亞式看漲期權(quán)在時(shí)刻t的價(jià)格;EQ(·)為在概率測度Q下求期望.

    1.2 FFA價(jià)格的近似計(jì)算

    由式(2)知,F(xiàn)FA價(jià)格F(t,0,T)為測度Q 下現(xiàn)貨價(jià)格S期望的算術(shù)平均,即F(t,0,T)由平均價(jià)格決定.為計(jì)算平均價(jià)格,將期權(quán)的有效期[0,T]進(jìn)行n等分,設(shè)第i個(gè)時(shí)刻為Ti,則Si為運(yùn)費(fèi)在Ti時(shí)刻的值,則其算術(shù)平均價(jià)格SA=根據(jù)假設(shè),各個(gè)時(shí)段的運(yùn)費(fèi)價(jià)格均遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng),但算術(shù)平均價(jià)格SA已不再服從對(duì)數(shù)正數(shù)分布,這樣就很難找到SA的密度函數(shù).所以,考慮用對(duì)數(shù)正態(tài)分布Q(t)近似代替運(yùn)費(fèi)現(xiàn)貨價(jià)格的算術(shù)平均值SA,從而找到亞式看漲期權(quán)價(jià)格C(t,T)的近似值.

    式中:W(t)為維納過程.

    由于用Q(t)近似作為SA的近似值,所以參數(shù)ˉμ,ˉσ必須使Q(t)與SA的一階矩和二階矩相等.

    當(dāng)對(duì)n取極限,離散情況就轉(zhuǎn)換成連續(xù)情況,有

    這樣,由Q(t)與SA的一階矩和二階矩相等,列方程可解得

    因此,在無風(fēng)險(xiǎn)收益率為ˉμ,運(yùn)費(fèi)價(jià)格St的波動(dòng)率為ˉσ的情形下,初始價(jià)格為S0,執(zhí)行價(jià)格為K的歐式看漲期權(quán)價(jià)格則為

    由于用幾何布朗運(yùn)動(dòng)Q(t)=S0eX(t),作為SA的 近 似 值,因 此 用 E{[Q(T)-K]+}代 替E{[SA-K]+}就可得到無風(fēng)險(xiǎn)利率r,波動(dòng)率σ,初始價(jià)格S0和執(zhí)行價(jià)格K的情形下的看漲期權(quán)價(jià)格C(t,T)的近似值,即為

    N(x)是標(biāo)準(zhǔn)累積正態(tài)分布函數(shù).相應(yīng)的,看跌期權(quán)也可以近似得出.

    1.3 運(yùn)費(fèi)期權(quán)價(jià)格

    從式(1)和式(2)可以看出FFA的合約價(jià)格F(t,0,T)可以被定義為[0,T]時(shí)間段內(nèi),時(shí)刻t到交付時(shí)間T之間價(jià)格的算術(shù)平均,即亞式期權(quán)就是歐式期權(quán)在遠(yuǎn)期協(xié)議下的應(yīng)用.由式(2)知,設(shè)定運(yùn)費(fèi)期權(quán)中存在敲定價(jià)格K,且以T為到期日的看漲期權(quán)的收益可以等價(jià)的表示為

    類似的,看跌期權(quán)的表達(dá)式為

    從金融學(xué)理論可知,未定權(quán)益期權(quán)的價(jià)值可由定價(jià)測度下的預(yù)期收益減去無風(fēng)險(xiǎn)利率產(chǎn)生的收益給出.相應(yīng)的,對(duì)于到期日為T的亞式期權(quán),在t<T時(shí)刻看漲期權(quán)的價(jià)值C(t,T)和看漲期權(quán)價(jià)值P(t,T)分別可由以下式子得出:

    具有固定敲定價(jià)格K和交易日期 的亞式看漲期權(quán)可以表述為

    同理,相應(yīng)的看跌期權(quán)可以表示為

    2 實(shí)際操作

    如前所述,F(xiàn)FA合約和運(yùn)費(fèi)期權(quán)的結(jié)算價(jià)格均為結(jié)算期合同航線的平均價(jià)格,而結(jié)算期一般為合約月份的最后7個(gè)交易日或者整個(gè)合約月份.這2種結(jié)算程序不會(huì)同時(shí)使用于一份協(xié)議中(盡管在OTC市場上,參與雙方可以根據(jù)自己的意愿自由協(xié)定結(jié)算合約),選擇合適的固定期對(duì)運(yùn)費(fèi)期權(quán)定價(jià)來說是很有用的.

    假設(shè)租船人現(xiàn)有一份0.5 a后到期的看漲期權(quán)合約,即期運(yùn)費(fèi)為22 500美元/d,敲定價(jià)格K=25 000美元/d,即期運(yùn)費(fèi)的隱含波動(dòng)率為σ=30%.設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)中性運(yùn)費(fèi)漂移率為λ=0.03.在實(shí)際的定價(jià)實(shí)例中,將觀察到的FFA價(jià)格作為輸入量,常數(shù)D為每個(gè)月的日歷天數(shù),為便于計(jì)算將0.5 a計(jì)為180 d,根據(jù)之前的公式用EXCEL求解可得相應(yīng)的日期權(quán)價(jià)格為1 200美元.如果一個(gè)看漲期權(quán)在到期時(shí)市場的運(yùn)費(fèi)價(jià)格高于合約中的敲定價(jià)格,就可以執(zhí)行手中這個(gè)看漲期權(quán),這時(shí),總的運(yùn)費(fèi)率就是該期權(quán)執(zhí)行的敲定價(jià)格與期權(quán)價(jià)格之和.當(dāng)市場的運(yùn)費(fèi)價(jià)格低于期權(quán)敲定價(jià)格的時(shí)候,該期權(quán)是沒有價(jià)值的,這時(shí)總的運(yùn)費(fèi)率就是市場上即期運(yùn)費(fèi)率與期權(quán)價(jià)格之和.通過EXCEL進(jìn)行蒙特卡洛模擬(模擬10 000次)得到半年后的平均運(yùn)費(fèi)為26 562美元,因?yàn)楦哂谇枚▋r(jià)格,所以行使期權(quán),那么運(yùn)費(fèi)率即為4 717 000美元.如果沒有買期權(quán)合約,則所付費(fèi)用為4 781 160美元.這樣就實(shí)現(xiàn)了套期保值,維護(hù)了自己的利益[7-9].

    3 結(jié)束語

    考慮到具有固定敲定價(jià)格的算術(shù)平均亞式期權(quán)不能輕易得到顯性解,本文將運(yùn)費(fèi)期權(quán)轉(zhuǎn)化為一類特殊的歐式期權(quán)來進(jìn)行計(jì)算期權(quán)金.但是在對(duì)FFA的價(jià)格進(jìn)行推導(dǎo)的過程中,運(yùn)費(fèi)現(xiàn)貨價(jià)格的算術(shù)平均值SA不再服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),因此采用數(shù)學(xué)上對(duì)連續(xù)問題所慣常采用的方法,即轉(zhuǎn)換成離散問題,最后求極限.在此筆者用幾何布朗運(yùn)動(dòng)近似代替離散時(shí)間下的算術(shù)平均亞式期權(quán)價(jià)格,得到其一階矩和二階矩后,通過對(duì)一階矩和二階矩求極限,得到了與連續(xù)情況下算術(shù)平均價(jià)格的一階矩和二階矩相等的結(jié)果,這樣,連續(xù)問題就被轉(zhuǎn)換成離散問題,給實(shí)際操作帶來了便利.但運(yùn)費(fèi)期權(quán)作為一種新興的期權(quán),其定價(jià)問題仍處于初步探索階段,如運(yùn)費(fèi)期權(quán)的其他特性,周期變化,以及隱含波動(dòng)率的估算本文都沒有涉及到,這也是日后值得研究的課題.

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