一種精簡化的球桿系統(tǒng)控制器建模方法

鐘秉翔 高國芳

(重慶科技學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院，重慶 401331)

0 引言

在實(shí)際生活或工程實(shí)踐中，一個熟練的操作人員憑借豐富的生活經(jīng)驗(yàn)或?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)，可以非常嫻熟、巧妙地控制一個復(fù)雜過程，并得到滿意的控制效果。能否采用自動控制的機(jī)器來代替人的行為，以及如何通過功能模擬實(shí)現(xiàn)這些有效的控制行為等關(guān)于人的控制行為功能模擬的智能控制器設(shè)計問題，均屬于智能系統(tǒng)辨識或建模問題。眾所周知，實(shí)現(xiàn)專家控制系統(tǒng)的前提是必須要有有效的專家經(jīng)驗(yàn)知識;而模糊控制的設(shè)計必須依據(jù)人類直接控制被控對象的成功經(jīng)驗(yàn)，沒有這類經(jīng)驗(yàn)，模糊規(guī)則將無法設(shè)計。

理論研究表明，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、自適應(yīng)模糊系統(tǒng)的控制系統(tǒng)具有一定的學(xué)習(xí)能力，能夠更好地適應(yīng)環(huán)境和系統(tǒng)特性的變化，適合不確定復(fù)雜系統(tǒng)的建模與控制。然而，隨著問題復(fù)雜性的增加，計算機(jī)控制系統(tǒng)在執(zhí)行數(shù)值運(yùn)算時需要的時間呈指數(shù)增長，計算量呈指數(shù)增長，易出現(xiàn)維度災(zāi)難［1－3］。分析國內(nèi)外關(guān)于模糊系統(tǒng)、神經(jīng)控制器和支持向量機(jī)模型精簡化研究的現(xiàn)狀發(fā)現(xiàn)，這些系統(tǒng)都局限于模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)的優(yōu)化［4－6］。

本文針對控制器變量眾多、易出現(xiàn)維度災(zāi)難、系統(tǒng)復(fù)雜性增加等問題，以球桿系統(tǒng)作為研究對象，設(shè)計了精簡化的球桿系統(tǒng)控制器模型。通過尋找輸入空間的主要特征變量，剔除次要因素，精簡輸入空間維數(shù)，減少控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型復(fù)雜性;同時采用核函數(shù)方法和虛假最近鄰點(diǎn)法，實(shí)施智能控制器模型的非線性回歸建模，實(shí)現(xiàn)球桿系統(tǒng)的自動控制。

1 理論基礎(chǔ)

本文從輸入空間維數(shù)的精簡和優(yōu)化角度考慮，運(yùn)用虛假最近鄰點(diǎn)法(faulse nearest neighbor point algorithm，F(xiàn)NN)確定輸入向量嵌入維數(shù)，再通過核主元分析法(kernel principal component analysis，KPCA)提取特征值，實(shí)現(xiàn)了對非線性輔助變量空間的特征提取。

1.1 虛假鄰點(diǎn)法

虛假鄰點(diǎn)法的基本思想是當(dāng)維數(shù)從m變成(m+1)時，考察軌線x的鄰點(diǎn)中的真實(shí)鄰點(diǎn)和虛假鄰點(diǎn)［7］。當(dāng)沒有虛假的鄰點(diǎn)時，可以認(rèn)為吸引子的幾何結(jié)構(gòu)被完全展開。設(shè)xβ(n)為xn的最近鄰點(diǎn)，它們之間的距離為‖xβ(n)－xn‖(m)，當(dāng)維數(shù)增加到 m+1時，它們之間的距離為‖xβ(n)－ xn‖(m+1)。若‖xβ(n)－ xn‖(m+1)比‖xβ(n)－xn‖(m)大很多，可以認(rèn)為這樣的鄰點(diǎn)是虛假的。因此，若式(1)成立，則稱xβ(n)為xn的虛假鄰點(diǎn)，其中，Rt為閾值。

試驗(yàn)證明，Rt可在［10，50］之間選取。對于無限長的精確數(shù)據(jù)，采用上述標(biāo)準(zhǔn)可獲得較好的結(jié)果。對于有限長具有噪聲的數(shù)據(jù)，則補(bǔ)充以下標(biāo)準(zhǔn)，若:

則稱 xβ(n)為xn的虛假鄰點(diǎn)，At為閾值。文獻(xiàn)［8］建議取At=2。

對實(shí)測時間序列，m從2開始，計算虛假最近鄰點(diǎn)的比例，直到虛假最近鄰點(diǎn)的比例小于5%。當(dāng)虛假最近鄰點(diǎn)不再隨著m的增加而減少時，可認(rèn)為吸引子的幾何結(jié)構(gòu)完全打開，此時的m即為嵌入維數(shù)。

1.2 核函數(shù)主元分析的基本原理

核主成分分析(KPCA)法利用核映射的原理，將原始空間的數(shù)據(jù)映射到高維特征空間，在特征空間中再對數(shù)據(jù)進(jìn)行線性主元分析(principal component analysis，PCA)分析(對應(yīng)于原始空間的非線性運(yùn)算)［8－11］。因此，它實(shí)現(xiàn)了樣本空間的非線性特征提取，具體的算法實(shí)現(xiàn)過程如下。

設(shè)X為原始空間Rn×l中的樣本數(shù)據(jù)，n為變量維數(shù)，l為樣本數(shù)。對其進(jìn)行非線性變換Φ(X)后，將其映射到高維特征空間H中。Φ(X)的協(xié)方差矩陣C的表達(dá)式為:

特征向量v為原始樣本空間x在特征空間Φ(X)上的主元方向，其滿足:

將每個樣本 xj(j=1，2，…，l)變換為 Φ(xj)后，與式(4)進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，可得:

由于vi是Φ(xi)的線性組合，于是存在αi(i=1，2，…，l)滿足:

式中:j=1，2，…，l;αi(j)為向量 αi的第 j個元素。

將式(3)、式(6)代入式(5)，可得:

式中:i=1，2，…，l;特征值 λi≥0。

在再生核希爾伯特空間(reproducing kernel Hilbert space，RKHS)中，滿足Mercer定理的核函數(shù)對應(yīng)非線性函數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算，即:

這里，核矩陣要經(jīng)過中心化處理。利用式(8)，可將式(7)變?yōu)?

式中:α 為特征向量，且 α=[α1，…，αl]。

在特征空間中，特征向量 α=[α1，…，αl]經(jīng)過PCA特征提取后，將得到滿足主元貢獻(xiàn)率的前k個主元向量α=[α1，…，αk]以及相應(yīng)的主元特征向量v=[v1，…，vk]。在此基礎(chǔ)上，原始空間X的主元向量=(x1，x2，…，xk)可通過Φ(X)在主元方向v上的投影得到，即:

式中:p=1，2，…，k;αp(i)為特征向量 αp中的第 i個元素;vp為v的第p個特征向量;K( xi，x)為核函數(shù)。

通過以上步驟，不但實(shí)現(xiàn)了矩陣從X∈Rl×n到～X∈Rl×k的非線性特征提取，同時也實(shí)現(xiàn)了非線性輔助變量空間的特征提取。

2 球桿系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

為模擬人工操縱小球在橫桿的某一指定位置，采用固高科技有限公司的球桿系統(tǒng)GBB1004，通過自動控制電機(jī)的轉(zhuǎn)動，使小球穩(wěn)定在橫桿上的某一平衡位置。球桿系統(tǒng)主要由機(jī)械部分和智能伺服驅(qū)動和控制計算機(jī)等部分組成。其中機(jī)械部分包括底座、小球、橫桿、減速皮帶輪、支撐部分、馬達(dá)等，球桿系統(tǒng)機(jī)械部分結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 球桿系統(tǒng)機(jī)械部分結(jié)構(gòu)Fig.1 Partial structure of the mechanical part of the cue system

小球可以在橫桿上自由滾動，橫桿的一端通過轉(zhuǎn)軸固定，另一端由一連桿與齒輪相連，可以上下轉(zhuǎn)動。通過控制直流伺服電機(jī)的位置，帶動皮帶輪轉(zhuǎn)動，再通過傳動機(jī)構(gòu)就可以控制橫桿的傾斜角α。直流伺服電機(jī)帶有增量式編碼器，可以檢測電機(jī)的實(shí)際位置β。在橫桿上的凹槽內(nèi)，有一線性的傳感器用于檢測小球的實(shí)際位置。α和β兩個實(shí)際位置的信號都被傳送給控制系統(tǒng)，構(gòu)成一個閉環(huán)反饋系統(tǒng)。當(dāng)皮帶輪轉(zhuǎn)動角度為β、橫桿的轉(zhuǎn)動角度為α、連桿和齒輪的連接點(diǎn)與齒輪中心的距離為d、橫桿的長度為L時，橫桿的傾斜角α和β之間存在以下數(shù)學(xué)關(guān)系:

電機(jī)的運(yùn)動通過IPM100智能伺服驅(qū)動器進(jìn)行控制，IPM100是一個智能的高精度、全數(shù)字的控制器，內(nèi)嵌100 W的驅(qū)動電路?；诜答伩刂圃恚诘玫絺鞲衅餍盘柡髮π盘栠M(jìn)行處理，然后給電機(jī)繞組施加適當(dāng)?shù)腜WM電壓信號，這樣，相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩作用于電機(jī)軸，使電機(jī)開始運(yùn)動。

3 球桿系統(tǒng)控制方案

球桿系統(tǒng)是一個典型的非線性系統(tǒng)，球桿系統(tǒng)中小球位置的控制不僅與橫桿的實(shí)際位置和小球的實(shí)際位置有關(guān)，還與以前的橫桿和小球的位置有關(guān)。因此，小球位置可以表示為關(guān)于小球的時間序列和橫桿位置的時間序列非線性方程。小球系統(tǒng)的非線性方程可以表示為:

式中:x1(k)，x1(k－1)，…，x1(k－m1)，x2(k)，x2(k－1)，…，x2(k－ m2)為原始變量組;x1(k)，x1(k－1)，…，x1(k－m1)為小球位置的時間序列;x2(k)，x2(k－1)…，x2(k－m2)為橫桿轉(zhuǎn)角的時間序列;m1、m2分別為時間序列的嵌入維數(shù)。

在處理非線性輸入變量選擇問題時，可合理地提取特征和減少維度。為此，建立的球桿系統(tǒng)控制器數(shù)學(xué)模型如圖2所示。

圖2 球桿系統(tǒng)控制器數(shù)學(xué)模型Fig.2 The mathematical model of the cue system controller

由于模型的階數(shù)和信息融合結(jié)構(gòu)均未知，如考慮所有的輸入時延信息，將大大降低其實(shí)時性能。因此，可采用本文的方法進(jìn)行輸入相空間的特征提取和信息融合相空間結(jié)構(gòu)的確定。

由于球桿系統(tǒng)控制器的輸入相空間由小球位置信號和橫桿轉(zhuǎn)動角度及其時間延時組成，而球桿系統(tǒng)是一個模型階數(shù)、結(jié)構(gòu)均未知的復(fù)雜系統(tǒng)。因此，首先要選擇小球位置信號和橫桿轉(zhuǎn)動角度及其時間序列，通過虛假鄰點(diǎn)法計算輸入樣本的嵌入維數(shù)，從而確定作為球桿控制器模型的初始輸入相空間。

建立球桿系統(tǒng)所需的原始樣本數(shù)據(jù)經(jīng)過采集卡采集至計算機(jī)，共采集500組數(shù)據(jù)。本文通過異常點(diǎn)剔除和歸一化處理后，把剩下的488個數(shù)據(jù)分成兩組，其中400個數(shù)據(jù)用來建模和交叉檢驗(yàn)，另外88個作為測試數(shù)據(jù)集。

4 試驗(yàn)結(jié)果

樣本數(shù)據(jù)經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后，利用虛假鄰點(diǎn)法計算輸入樣本的嵌入維數(shù)，所得虛假最近鄰點(diǎn)比例與嵌入維數(shù)關(guān)系如表1所示。

表1 鄰點(diǎn)比例與嵌入維數(shù)關(guān)系Tab.1 Relationship between proportion of neighbor point and embedded dimensionality

從表1可以看出，m1增加到6，m2增加到5，虛假最近鄰點(diǎn)不再減少，所以嵌入維數(shù)取m1為6，m2為5。

根據(jù)KPCA原理，可以計算出經(jīng)KPCA提取出的主成分、與主成分對應(yīng)的各方差貢獻(xiàn)率以及總方差貢獻(xiàn)率，主元分析結(jié)果如表2所示。

表2 主元分析結(jié)果Tab.2 Result of principal component analysis%

表2中，前8個主元的總累計方差貢獻(xiàn)率已經(jīng)達(dá)到了86.22%。文獻(xiàn)［10］提出當(dāng)前k個主元所累積的方差貢獻(xiàn)率足夠大時(一般大于85%)，就可以只取前k個主元作為新特征向量，即可以很好地反映過程信息而濾去冗余信息。因此，可認(rèn)為前8個主成分已無相關(guān)性，且包括了原始數(shù)據(jù)的絕大部分信息，則選擇上述8個主元分量建立模型，利用最小二乘法即可建立數(shù)學(xué)模型。

不同模式下的控制效果比較曲線如圖3所示。

圖3 控制效果比較曲線Fig.3 Comparison curves of control effects

模型的訓(xùn)練精度和泛化能力可以用均方根誤差(root mean square percentage error，RMSPE)表示，其可定義為:

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)，計算其訓(xùn)練誤差和測試誤差，計算結(jié)果如表3所示。

表3 兩種建模方法的精度比較Tab.3 Precision comparison of two modeling methods

從仿真試驗(yàn)結(jié)果可知，2種模型都能達(dá)到預(yù)期效果;但從模型檢驗(yàn)來看，KPCA+FNN模型具有較好的泛化能力。綜合考慮模型的復(fù)雜性、控制精度和泛化能力，KPCA+NN的建模方法更適合用于功能模擬智能控制器模型設(shè)計。

5 結(jié)束語

本文設(shè)計的球桿系統(tǒng)控制器利用虛假最近鄰點(diǎn)法確定球桿系統(tǒng)的輸入向量維數(shù)［12］;采用核主元分析方法提取輸入特征向量，精簡輸入空間的維數(shù);利用最小二乘法進(jìn)行線性回歸，建立球桿控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。試驗(yàn)結(jié)果表明，基于虛假最近鄰點(diǎn)法和核主元分析法的球桿系統(tǒng)控制器能較好地模擬人的控制行為且有較好的泛化性能。該建模方法有利于提高球桿控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度，減少輸入變量嵌入維數(shù)，避免維度災(zāi)難，從而為解決復(fù)雜控制系統(tǒng)中易出現(xiàn)的的維度災(zāi)難和精簡化建模等問題提供了一定思路。

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