一堂微專題復(fù)習(xí)中的稚化思維

周云

摘 要：以提高學(xué)生水平為宗旨的上海高考數(shù)學(xué)試題，強(qiáng)調(diào)通性通法，重在學(xué)生的理解能力。高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)承前啟后，重在知識、方法和專題的復(fù)習(xí)，是學(xué)生的知識系統(tǒng)化、條理化并且能靈活運(yùn)用的關(guān)鍵時期.“含參問題、分段函數(shù)、超越方程”，這類問題抽象性比較強(qiáng)，理解起來比較難.在高三備考過程中，學(xué)生對其理解和掌握，確實(shí)有一定困難，容易造成漏解和錯解.鑒于此，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知，通過“階梯遞進(jìn)”的方式、利用稚化思維，和學(xué)生共同研究，旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.

關(guān)鍵詞：上海高考；含參；稚化思維

數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化和函數(shù)與方程等知識，作為第二輪專題復(fù)習(xí)的重要解題思想方法，在實(shí)際應(yīng)用中非常廣泛，但是很多學(xué)生缺乏這樣的思維習(xí)慣，不擅長將代數(shù)的文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言，特別是等價轉(zhuǎn)化，容易在分析題目時產(chǎn)生較大的障礙.為此，筆者在課堂中，以微專題的形式，盡快地在學(xué)生頭腦中建立數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思維習(xí)慣，并強(qiáng)化這種能力.這些經(jīng)實(shí)踐證明，顯然有利于他們更有效地掌握數(shù)學(xué)知識.為落實(shí)重點(diǎn)，克服難點(diǎn)，筆者結(jié)合學(xué)生的知識，多次運(yùn)用稚化教育思維，搭橋、設(shè)梯來化解難點(diǎn)，突出重點(diǎn)，取得了良好的教學(xué)效果.

一、稚化思維研究方程的解

引例 方程2sinx+ =1在區(qū)間[0，2π]上的所有解的和等于 .

生1：先求出這個方程的通解x|x+ =2kπ+ ，2kπ+ ，k∈Z，

再根據(jù)范圍確定特解，所有的解為 ， ，它們的和是 .

生2：畫出函數(shù)y=2sinx+ ，x∈[0，2π]與y=1圖象，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)有且只有兩個，由圖象的對稱可知，方程2sinx+ 的解有兩個，記為x1，x2，它們的和等于 .

師：很好，求三角方程在給定區(qū)間上所有解的和，可以直接求解，也可以從數(shù)形結(jié)合的角度思考.那么含參數(shù)的三角方程問題，又如何求解呢？

設(shè)計意圖：利用學(xué)生熟悉的簡單三角方程，盡量放低教學(xué)的起點(diǎn)，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，讓學(xué)生體會直接求解和數(shù)形結(jié)合的異曲同工，引導(dǎo)學(xué)生合理選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.

例1 （上海高考2012 理12）設(shè)常數(shù)a使方程sinx+ cosx=a在閉區(qū)間[0，2π]恰有三個解x1，x2，x3，則x1+x2+x3= .

生3：類似地，方程2sinx+ =a的通解

x|x+ =2kπ+arcsina，2kπ+π-arcsina，k∈Z，在[0，2π]上的特解分別是x1，x2，x3.

師：可是通解含了參數(shù)，怎么辦？

生4：可以考查函數(shù)a=2sinx+ 的周期性T=2π，而區(qū)間[0，2π]的長度恰好等于一個周期，所以方程sinx+ cosx=a在閉區(qū)間[0，2π]恰有三個解時，x1=0，x3=2π，此時a= ，再代入方程，求出x2= ，所以x1+x2+x3= .

師：很好，本題涉及含參的反三角方程，直接做有些困難，利用周期性，很快得到問題的求解.對于討論這類含參的方程的解的個數(shù)，是否還有其他解法呢？

生5：數(shù)形結(jié)合，a=2sinx+ 在閉區(qū)間[0，2π]恰有三個解時，a= ，同上.

設(shè)計意圖：從學(xué)生解決問題的實(shí)際出發(fā)，和他們共同探討為什么進(jìn)行不下去的原因所在，思考如何繼續(xù)進(jìn)行下去的方法，這樣及時點(diǎn)出學(xué)生的所思所想，達(dá)到良好的教學(xué)互動.事實(shí)上，含參數(shù)的反三角方程，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中一個很大的障礙，合理的等價轉(zhuǎn)化，用數(shù)形結(jié)合來解決，便可以避免盲目的分類討論，更形象直觀.一題多解，讓學(xué)生在比較、討論和甄別中，找出最簡便的解法和富有新意的解題思路，有利于加深學(xué)生對多種解題方法的認(rèn)識，從而更熟練地運(yùn)用自如.

例2 已知方程x=lnx-5=0，x+ex-5=0的實(shí)根分別是x1，x2，則x1+x2= .

師：lnx=5-x，ex=5-x，直接解方程的話，貌似不會解？

生6：lnx=5-x1？圳x1=e5-x1，對照方程組ex2=5-x2e5-x1=x1，猜測5-x2=x1，所以x1+x2=5.

師：很大膽的猜測，大家覺得答案對嗎？（同學(xué)們紛紛點(diǎn)頭同意）怎么證明呢？

生7：函數(shù)f（x）=ex+x-5單調(diào)遞增，f（1）·f（2）<0，f（x）=ex+x-5只有一個零點(diǎn)，所以5-x2=x1.

師：理由非常充分，很完美的解答.既然是從函數(shù)的角度思考，那么是否有其他想法？

生8：數(shù)形結(jié)合，y=lnx，y=ex互為反函數(shù)，它們的圖象y=x于對稱，而y=5-x也關(guān)于y=x成軸對稱圖形，由圖象可知，交點(diǎn)為A（x1，y1）、B（x2，y2），它們關(guān)于點(diǎn)P ， 對稱，所以x1+x2=5.

師：想法很好，超越方程一般沒有解析解，而只有近似解，只有特殊的超越方程才可以求解.在大學(xué)階段常用的近似解法有牛頓切線法、冪級數(shù)解法等等，也可以編制一段程序用計算機(jī)求解.但上海的高考中，更多的是化歸思想，利用數(shù)形結(jié)合求解.

注：超越方程——等號兩邊至少有一個含有未知數(shù)的初等超越函數(shù)式的方程，如指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程、反三角方

程等.

設(shè)計意圖：從不熟悉的方程聯(lián)想到熟悉的函數(shù)圖象，讓學(xué)生自然而然地找到解題的思路，圖形的細(xì)致觀察和對稱軸的巧妙應(yīng)用是“點(diǎn)睛之筆”.這樣接地氣的稚化思維，從學(xué)生的角度思考問題，和學(xué)生一起學(xué)習(xí)、探究，共同進(jìn)步.

二、稚化思維研究分段函數(shù)的性質(zhì)

例3 函數(shù)f（x）=x2+4x x≥04x-x2 x<0，則不等式f（2-x2）>f（x）的解集是 .

生9：分類討論即可.

當(dāng)2-x2≥0且x≥0時，（2-x2）2+4（2-x2）>x2+4x，所以x∈

[0，1）；

當(dāng)2-x2≥0且x<0時，（2-x2）2+4（2-x2）>4x-x2，所以x∈

（-2，0）；

當(dāng)2-x2≤0且x≥0時，4（2-x2）-（2-x2）2>x2+4x，所以x∈？準(zhǔn)；

當(dāng)2-x2≤0且x≤0時，4（2-x2）-（2-x2）2>4x-x2，所以x∈？準(zhǔn)；

綜上所述，不等式的解集是x∈（-2，1）.

師：同學(xué)們很辛苦地完成了以上解答，但是作為一個填空題，會不會太費(fèi)時費(fèi)力了？（學(xué)生點(diǎn)頭同意）大家好好觀察一下f（x）的解析式，是我們熟悉的分段函數(shù)，而f（2-x2）>f（x）需要函數(shù)的什么性質(zhì)來支撐呢？

生10：單調(diào)性.

師：你的眼光很犀利，明察秋毫，那請同學(xué)們思考、交流一下.

生11：f（x）=x2+4x x≥04x-x2 x<0在定義域R上是增函數(shù)，由f（2-x2）>f（x）可得2-x2>x，所以所求的解集是x∈（-2，1）.

設(shè)計意圖：在老師看來，利用分段函數(shù)的單調(diào)性，三言兩語就可以搞定了，但學(xué)生在實(shí)際做題過程中，直接利用分類討論，雖然很繁瑣，但是入手簡單直接.和學(xué)生一起走走“歪路”，“裝傻地”陪他們一起經(jīng)歷復(fù)雜的計算過程，師生感同身受，然后再來觀察對比發(fā)現(xiàn)，用數(shù)形結(jié)合研究含參的分段函數(shù)問題實(shí)在是妙不可言，從而達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的.

變式 已知函數(shù)f（x）=xx.當(dāng)x∈[a，a+1]時，不等式f（x+2a）>4f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

生12：f（x）=xx=x2，x≥0-x2，x<0是奇函數(shù)，且在定義域R上是增函數(shù).

師：4f（x）能不能轉(zhuǎn)化某一個函數(shù)值呢？

生13：4f（x）=f（2x）.

師：謝謝你的精彩發(fā)現(xiàn)，至此答案“呼之欲出”了.

生14：f（x+2a）>4f（x）等價于f（x+2a）>f（2x），即x+2a>2x，2a>（x）max=a+1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>1.

設(shè)計意圖：用變題的形式稚化思維，“例3”作了很好的鋪墊，讓學(xué)生自然而然地找到解題的“鑰匙”，一遇見分段函數(shù)、含參不等式，就會充滿熟悉感，聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合，勇敢地拾階而上，從而把未知的問題等價轉(zhuǎn)化為已掌握的知識來解答，達(dá)到多題一解的效果.言外之意，就是用一種方法可以搞定一類題目，舉一反三，破除“題海戰(zhàn)術(shù)”的怪圈.

三、稚化思維研究含參的不等式

例4 已知：當(dāng)x>0時，不等式 ≥kx+b恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x= 時取等號，則k= .

師：“當(dāng)且僅當(dāng)x= 時取等號”，怎么理解？

生15：x= 代入不等式時等號成立，即 = k+b.

師：大家同意嗎？（同學(xué)們一致同意）很好，這是我們最困惑的地方，正確理解是王道.那么，不等式 ≥kx+b恒成立呢？

生16：分離參變量就好，（3x-1）k≤ .

師：請同學(xué)們自己動手完成.

生17：當(dāng)x> 時，k≤- 恒成立，易得k≤- ，當(dāng)x> 時，k≤- 恒成立，易k≥- 得，綜上所述，可知k=- .

u

設(shè)計意圖：以階梯式問題為引導(dǎo)，從代數(shù)的角度和學(xué)生一起進(jìn)行局部探究，先由“當(dāng)且僅當(dāng)”可以得到k、b的方程，求出b；再和學(xué)生一起挖掘“不等式恒成立”，利用等價轉(zhuǎn)化和分離參變量，對x討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和恒成立思想，即可求得.這樣降低學(xué)生的思考起點(diǎn)，側(cè)重于啟發(fā)、引導(dǎo)，和學(xué)生一步一步搭建階梯，解決含兩個變量的問題.

師：如果從函數(shù)的角度來看，y= 與y=kx+b的圖象是我們非常熟悉的，大家是不是可以畫圖試試看？

生18：由題意可知，當(dāng)x= 時，兩條圖象相切，所以kx2+（k+b）x+b-1=0，即 = k+bΔ=（k+b）2-4k（b-1）=0？圯k=

設(shè)計意圖：以啟發(fā)為引導(dǎo)，從幾何的角度和學(xué)生一起進(jìn)行局部探究，先從學(xué)生熟悉的反比例型函數(shù)和一次函數(shù)出發(fā)，通過觀察，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求值、取舍、定范圍，借助圖形的直觀性，實(shí)施轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜問題簡單化，從而快速求解.

以上幾例，涉及含參問題、分段函數(shù)、超越方程，是高中公認(rèn)的難點(diǎn)所在，通法直接去解答的話，難度較大，正難則反，讓學(xué)生體會用化歸思想用數(shù)形結(jié)合來做，往往有意想不到的收獲，最后來完成2017春考題.

四、稚化思維研究規(guī)劃問題

（2017年上海春考）設(shè)a，b∈R，若函數(shù)f（x）=x+ +b在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的零點(diǎn)，則f（1）的取值范圍為 .

【分析】函數(shù)f（x）=x+ +b在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的零點(diǎn)，即方程x2+bx+a=0在區(qū)間（1，2）上有兩個不相等的實(shí)根，g（x）=x2+bx+a ∴Δ>01<- <2g（1）>0g（2）>0？圯b2>4a-40a+2b+4>0

畫出有序?qū)崝?shù)對（a，b）所表示的區(qū)域，求出目標(biāo)函數(shù)z=f（1）=a+b+1的范圍即可.

∴目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)（1，-2）時，z的最小值為0；目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)（4，-4）時，z的最大值為1.

∴z=f（1）的取值范圍是（0，1）.

設(shè)計意圖：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，涉及兩個參數(shù)問題，約束條件非線性的規(guī)劃問題，屬于難題.在考場上，很多學(xué)生會比較茫然，無從下手.由于2017上海高考數(shù)學(xué)首次不分文理，而線性規(guī)劃作為上海教材的必修內(nèi)容，線性規(guī)劃在高中只是要求學(xué)生會簡單地分析數(shù)學(xué)問題和解決問題，旨在為學(xué)生進(jìn)入大學(xué)以后更深入地學(xué)習(xí)埋下伏筆.本題對學(xué)生來說是一次不小的挑戰(zhàn)，而此題用數(shù)形結(jié)合思想來解答是較好的解法.

教學(xué)反思：作為一名高中數(shù)學(xué)教師，我覺得不僅僅要敢于稚化自己，同時也要注意分寸，把握好時機(jī)，盡量課前做足功課，選取關(guān)鍵性的問題化繁為簡.畢竟稚化的過程，勢必會增加學(xué)生的思考時間，教師應(yīng)事先做到心中有數(shù)，才能提高課堂效率，答疑

解惑.

參考文獻(xiàn)：

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編輯 溫雪蓮