基于奇異值分解和小波變換的圖像壓縮算法

王懷光，張培林，張云強，任國全

(軍械工程學(xué)院，河北 石家莊 050003)

隨著圖像采集和計算機技術(shù)的快速發(fā)展，圖像數(shù)據(jù)廣泛用于機械故障診斷和狀態(tài)監(jiān)測。目前故障診斷與狀態(tài)監(jiān)測的發(fā)展方向是智能化、系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化和高速化，如何將大量圖像數(shù)據(jù)進行存儲和傳輸成為亟待解決的“瓶頸”問題[1]。因此，為了使采集的圖像能夠?qū)崟r連續(xù)傳輸，并減小數(shù)據(jù)存儲空間，對圖像進行數(shù)據(jù)壓縮非常必要。

圖像壓縮的目的是通過一定的方式或手段用比原圖像少的數(shù)據(jù)來代替原始圖像信息。圖像壓縮可分為有損壓縮和無損壓縮兩類。無損壓縮利用數(shù)據(jù)的統(tǒng)計冗余進行壓縮，可完全恢復(fù)圖像而不引起任何失真，但壓縮比有限。有損壓縮利用人類視覺對圖像中的某些頻率成分不敏感的特性，允許壓縮過程損失一定的信息，從而獲得較大的壓縮比，如離散余弦變換和小波變換等[2]。在有損壓縮算法中，小波變換壓縮算法效果較好，應(yīng)用領(lǐng)域最為廣泛。然而二維小波是一維小波的張量積，只有有限個方向，不能很好地表達圖像中的曲線奇異性特征[3]，從而導(dǎo)致壓縮后的圖像邊緣和紋理可能出現(xiàn)明顯失真。奇異值分解(SVD)是一種簡單的矩陣變換方法。文獻[4]和文獻[5]將SVD分別應(yīng)用于儲糧害蟲和遙感圖像壓縮，取得了較好的壓縮效果。SVD壓縮具有圖像重建誤差小，無方塊效應(yīng)，以及計算復(fù)雜度和壓縮比有較好的折中等優(yōu)點。另外，圖像的奇異向量構(gòu)成的矩陣沒有明顯的曲線奇異性特征，如果進行小波變換壓縮，可以避免小波變換在圖像壓縮方面的不足。

因此，為保證圖像重建質(zhì)量，同時提高圖像壓縮比，本文將SVD與小波變換相結(jié)合，提出一種基于奇異值分解和小波變換的圖像壓縮方法。首先利用SVD對圖像進行初步壓縮，然后對保留的奇異向量構(gòu)成的矩陣通過小波變換進一步壓縮，以提高圖像壓縮比。

1 基于奇異值分解和小波變換的圖像壓縮

1.1 圖像奇異值分解壓縮

矩陣的奇異值分解是矩陣理論的重要內(nèi)容。假設(shè)矩陣Am×n∈Rm×n，Rank(A)=r，則存在兩個正交陣Um×m和Vn×n，使得

(1)

式中：U和V稱為核矩陣，且UUT=VVT=I；Σ=diag(λ1,λ2,…,λr)，λ1≥λ2≥…≥λr>0是A的非零奇異值。對于實矩陣A，它的奇異值分解結(jié)果具有唯一性。令U=[u1,u2,…,um]，V=[v1,v2,…,vn]，則ui和vi分別為第i個奇異值對應(yīng)的左奇異向量和右奇異向量。矩陣A可進一步表示為向量積的線性組合，如公式(2)所示。由此可知，圖像完全可以由它的非零奇異值及對應(yīng)的奇異向量表示。

(2)

如果用矩陣的F-范數(shù)表示圖像的能量，則由公式(3)可知，圖像的能量可以由圖像的全部非零奇異值表示。

‖A‖F(xiàn)=‖USVT‖F(xiàn)=‖U‖F(xiàn)‖S‖F(xiàn)‖VT‖F(xiàn)=

(3)

有研究表明，如果用前k(k

圖像奇異值分解壓縮的關(guān)鍵在于k的選擇。如果k取的太大，所得到的壓縮比太小；反之，圖像重建質(zhì)量太差。本文從能量的角度自適應(yīng)地選擇參數(shù)k的大小，即通過設(shè)定能量比閾值，使算法自適應(yīng)地選取占圖像總能量一定比例的奇異值重建原始圖像。

1.2 圖像小波變換壓縮

小波變換具有多尺度分析能力，可以將圖像分解到不同分辨率上進行處理。圖像經(jīng)小波變換后，每一分辨率下的小波系數(shù)均由一個低頻子代(LL)和水平(LH)、垂直(HL)和對角(HH)3個方向的高頻子代組成。小波分解只對低頻子代進行再分解而保持高頻子代不變，因此圖像經(jīng)過J層小波分解后，會產(chǎn)生3J+1個子代，不同子代表示圖像不同頻率信息，如圖2(a)所示。

圖像進行小波變換后，并沒有實現(xiàn)圖像的壓縮，而只是對整個圖像的信息進行重新分配。如圖2(b)和(c)所示，圖像低頻子代包含了圖像大部分信息，因此，一幅圖像最主要的信息是低頻信息；圖像高頻子代僅包含圖像少量信息，且大部分系數(shù)都接近0?；谛〔ㄗ儞Q的圖像壓縮充分利用這一變換特性，將輸入的原始圖像進行小波變換，保持低頻系數(shù)不變，并對各分辨率下的高頻系數(shù)都進行閾值量化處理，將絕對值低于閾值的高頻系數(shù)置零，使保留下來的低頻系數(shù)和少量高頻系數(shù)不但包含了原始圖像中的主要信息，而且大大減少了存儲空間，從而實現(xiàn)圖像信息的有效壓縮[7]。

1.3 基于SVD和小波變換的圖像壓縮算法

為了確保壓縮后的圖像質(zhì)量，同時提高壓縮比。本文結(jié)合圖像奇異值分解和小波變換，對圖像進行兩級壓縮，具體壓縮算法如圖3所示。

首先對圖像進行奇異值分解，得到圖像的左奇異向量矩陣U、右奇異向量矩陣V和奇異值矩陣S。通過設(shè)定能量比閾值，自適應(yīng)地選擇k個較大的奇異值，而舍棄圖像其余奇異值，實現(xiàn)圖像的第1級壓縮。圖像第1級壓縮之后，數(shù)據(jù)變?yōu)閗個奇異值和2k個奇異向量。然后，將k個左奇異向量和k個右奇異向量分別看作兩個圖像矩陣，并進行小波變換。保持低頻系數(shù)不變，通過閾值量化的方法對各分辨率下的高頻系數(shù)進行處理，將絕對值低于閾值的高頻系數(shù)置零，實現(xiàn)圖像的進一步壓縮。編碼方法采用采用熵編碼中應(yīng)用效果較好的的Hufman編碼方法[2]。

基于奇異值分解和小波變換的圖像數(shù)據(jù)重建過程如圖4所示，在對壓縮結(jié)果進行Hufman解碼和小波逆變換之后，利用公式即可獲得重建后的圖像。

(4)

2 試驗與結(jié)果分析

為驗證本文圖像壓縮算法的有效性，選擇采集的某型火炮炮膛疵病圖像進行圖像壓縮試驗，并引入圖像奇異值分解壓縮方法和小波壓縮方法作為對比試驗。試驗中選擇“db4”小波對圖像進行3層分解，小波高頻子代系數(shù)采用全局硬閾值進行量化處理[8]。由于圖像的能量主要集中在少數(shù)較大的奇異值上，兼顧圖像重建質(zhì)量和壓縮比，選擇能量比閾值為99.9%。

試驗通過重建圖像的視覺效果和量化評價指標兩個方面對圖像壓縮算法進行比較。在量化評價方面，選擇圖像壓縮比CR、壓縮編碼時間T、Erms均方根誤差和峰值性噪比PSNR4個評價標準。其中Erms和PSNR定義如下:

(5)

(6)

圖5和圖6分別為脫落疵病圖像和裂紋疵病圖像壓縮后的重建結(jié)果。表1和表2給出了不同壓縮方法的量化評價指標，其中表1為脫落疵病圖像的結(jié)果，表2為裂紋疵病圖像的結(jié)果。從視覺角度觀察，3種不同壓縮算法都能夠很好地重建原始圖像，圖像重建質(zhì)量差別不大。但是由表1和表2看出，奇異值分解算法速度最快，小波變換算法的圖像重建質(zhì)量最好，本文算法的壓縮比最高。由于奇異值分解壓縮和小波變換壓縮算法都屬于有損壓縮，本文壓縮算法是兩級壓縮，所以圖像重建質(zhì)量有所降低，但是本文算法在圖像重建質(zhì)量稍有下降的情況下，顯著提高了圖像壓縮比。

表1 脫落疵病圖像不同壓縮算法性能比較

表2 裂紋疵病圖像不同壓縮算法性能比較

為進一步比較不同壓縮算法的性能，試驗中對10幅炮膛疵病圖像進行壓縮，通過改變能量比閾值和小波系數(shù)量化閾值得到不同壓縮比條件下的重建圖像，計算圖像的均方根誤差Erms和峰值信噪比PSNR，平均結(jié)果如圖7和圖8所示。從圖7和圖8可以看出，在相同壓縮比的條件下，奇異值分解算法的Erms最大，而PSNR最小，圖像重建質(zhì)量最差，其次是小波變換壓縮算法，本文設(shè)計的壓縮算法具有較小的Erms和較大的PSNR值，圖像重建質(zhì)量最好。

綜上所述，本文有效結(jié)合了奇異值分解算法和小波變換算法兩者的優(yōu)點，在保證圖像重建質(zhì)量的條件下，可有效提高圖像壓縮比和壓縮編碼時間。

3 結(jié) 論

本文在研究圖像奇異值分解壓縮和小波變換壓縮的基礎(chǔ)上，將二者有機結(jié)合，提出了基于奇異值分解和小波變換的圖像壓縮方法。該方法結(jié)合了奇異值分解和小波變換的優(yōu)點，在保證圖像重建質(zhì)量情況下，能有效提高圖像壓縮比，并節(jié)省了壓縮編碼時間。如何更好地選擇圖像能量比閾值和小波變換系數(shù)量化閾值，從而改善圖像重建質(zhì)量的同時提高圖像壓縮效率，將是進一步研究的重點。

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