盈不足術(shù)的思想和方法

柴 學(xué) 林

(蘭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，蘭州 730070)

盈不足術(shù)是我國數(shù)學(xué)史上解答應(yīng)用題的一種方法，它是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的重要章節(jié)之一。盈不足術(shù)問題就是我們常說的“盈虧問題”的一般情況。許多數(shù)學(xué)史家的研究表明，盈不足術(shù)的方法在解答應(yīng)用題中，有其應(yīng)用的廣泛性。它既給出了線性問題的精確解，又給出了非線性問題的近似解，在古代算法中確實稱得上是“萬能”的解題方法。研究“盈不足術(shù)”的思想和方法，對認(rèn)識我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就具有重要的意義，同時也可探視現(xiàn)行數(shù)學(xué)解題思路的淵源。

1 盈不足術(shù)與它的數(shù)學(xué)模型

《九章算術(shù)》中的盈不足術(shù)是以“共買物”問題為例給出的。我們先看一道例題，并注意解題過程中的一些思維方法。

例1：今有共買物，人出八(錢數(shù))，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價各幾何？(《九章算術(shù)》卷第七，盈不足，第1題)

根據(jù)《九章算術(shù)》中的盈不足術(shù)的思想，其解答方法可以表達(dá)為：

所以，人數(shù)為7，物價為53。

上面用盈不足術(shù)進(jìn)行解題時，“維乘”是指：8×4=32，7×3=21；“相并”是指：32+21=53，3+4=7。而物價應(yīng)該理解為：53÷(8-7)=53；人數(shù)應(yīng)該理解為：7÷(8-7)=7。

這樣，計算人數(shù)的表達(dá)式是：7÷(8-7)，也就是(3+4)÷(8-7)。這正是我們現(xiàn)在解答“盈虧問題”時的思路。所以，《九章算術(shù)》中的這一古算法的思想一直流傳至今，對我國古今數(shù)學(xué)教育都有很深刻的影響。

在例題1中的已知數(shù)出現(xiàn)的是一次“盈”、一次“不足”(即就是“虧”)。如果以這種“盈虧問題”為特例，那么就可以建立如下的數(shù)學(xué)模型：

今有共買物，人出x1(錢數(shù))，盈y1；人出x2，不足y2。問人數(shù)、物價各幾何？

盈不足術(shù)的解答方法為：

(1)

在《九章算術(shù)》中，x1、x2稱作所出率，所出率的“以少減多”是指：若x1>x2，則x1-x2；若x1

(1′)

盈不足術(shù)公式(1)和公式(1′)是怎樣推導(dǎo)出來的呢？根據(jù)李繼閔(1938—1993，生前任西北大學(xué)數(shù)學(xué)系教授)的觀點，是在“比率算法”(《九章算術(shù)》中盈不足術(shù)以前的一種古算法)的基礎(chǔ)上，為突破比率算法的局限性而創(chuàng)造的一種新的解題方法[1]266。實際就是現(xiàn)在的直線內(nèi)插法的思想在比例關(guān)系中的應(yīng)用。

從例1的數(shù)學(xué)模型中，可以看出，要求每人應(yīng)出的錢數(shù)x0，就是求應(yīng)用題中滿足“不盈不虧”的一個正數(shù)。根據(jù)古人把問題的有關(guān)數(shù)據(jù)按一定順序排列起來，研究比率關(guān)系的方法，我們可以把“每人出錢x1，買物1，盈錢y1；每人出錢x2，買物1，不足錢y2”的問題，按其數(shù)據(jù)排列為下面的形式，再由成正比例量的關(guān)系，把第一列的數(shù)分別乘y2，把第二列的數(shù)分別乘y1，問題就可以轉(zhuǎn)化為：“每人出錢x1y2，買物y2，盈錢y1y2；每人出錢x2y1，買物y1，不足錢y1y2”的問題，再進(jìn)行計算。

(2)

2 盈不足術(shù)的解題思想

《九章算術(shù)》中的盈不足術(shù)的解題思想，不限于對例題1的那種類型的應(yīng)用題進(jìn)行求解。我們知道，一般的應(yīng)用題，其答案是確定的一個數(shù)。如果我們以事先設(shè)定的一個數(shù)作為其答案，那么就可以根據(jù)題意進(jìn)行假設(shè)試驗，若假設(shè)實驗的數(shù)據(jù)正好合適，則這個數(shù)就是答案；若假設(shè)實驗的數(shù)據(jù)不合適，則與題目中的已知數(shù)相比較出現(xiàn)的不是盈就是不足。通過兩次假設(shè)，就可以得到兩個盈數(shù)或虧數(shù)。從而，一般的應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為盈不足問題進(jìn)行解答。所以，盈不足術(shù)的解題思想和方法被稱為“雙設(shè)法”，后來一直被歐洲人稱為“雙假位法”[1]263。

利用盈不足術(shù)解一般應(yīng)用題的思路框圖為：

(3)

例2：今有漆三得油四、油四和漆五。今有漆三斗，欲令分易油，還自和余漆。問出漆、得油、和漆各幾何？(《九章算術(shù)》卷第七，盈不足，第15題。)

分析與解：斗是古代的體積單位，三斗就是30升。把這道題用現(xiàn)代話說就是：已知三份漆可以換得四份油，四份油可以調(diào)和五份漆(都是按體積計算)?，F(xiàn)有30升漆，如果用其中一部分去換油，換來的油又去調(diào)和余下來的漆。如果剛好把漆用完，問用去換油的漆有多少升？換得了多少升油？這些油又調(diào)和了多少升漆？

我們用盈不足術(shù)的解題方法“雙設(shè)法”來思考解答。假設(shè)取出9升漆，9÷3=3，可以換得油：4×3=12(升)，用12升油就可以調(diào)和漆：5×3=15(升)；9升漆和15升漆相加得24升漆，比原有的30升漆少6升，也就是不足6升。同樣，再假設(shè)取出12升漆，用12升漆去換得16升油，則可以調(diào)和20升漆；12升漆加20升漆得32升漆，比原有的30升漆多2升，也就是余2升漆。這樣問題就變成了盈不足問題。簡單地表示如表1：

表1

出漆(升)得油(升)和漆(升)與30升相比較91215不足6121620盈2

這是一道數(shù)量關(guān)系為線性關(guān)系的應(yīng)用題?，F(xiàn)在的解法當(dāng)然是思路自然，推理清楚，方法簡單。但是用盈不足術(shù)的方法解答，通過假設(shè)試驗，按固定的模式計算出了精確結(jié)果，其解題思路是很有特色的。

3 盈不足術(shù)的現(xiàn)代解釋

前面提到，盈不足術(shù)是基于“比率關(guān)系”，即比例關(guān)系和直線內(nèi)插思想的產(chǎn)物。下面我們用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識來研究盈不足術(shù)，從而進(jìn)一步明確和理解它的數(shù)學(xué)思想和方法。

(1)對線性問題的討論。

設(shè)函數(shù)f(x)=kx+b，是應(yīng)用題中數(shù)量之間的關(guān)系，求滿足應(yīng)用題條件的數(shù)x0，就是求函數(shù)f(x)=kx+b與x軸的交點橫坐標(biāo)x。如圖所示，根據(jù)比例關(guān)系有：

(5)

(6)

把盈數(shù)記為正，不足數(shù)記為負(fù)時，由于y1<0，因此-y1>0，那么(6)式正就是(1)式的求解的形式。

如果設(shè)盈不足y是每人出錢數(shù)x的函數(shù)，那么有y=Bx-A，其中A為物價數(shù)，B為人數(shù)。因而根據(jù)(5)式或(6)式，例1的解題方法就是：

由于錢數(shù)之差等于每人出錢數(shù)的差與人數(shù)的乘積，而且x1>x2，因此有，y2+(-y1)=B(x1-x2)，所以，就可以求出物價與人數(shù)：

所以，如果我們用正、負(fù)數(shù)分別表示盈數(shù)和虧數(shù)時，盈虧問題的求解公式可以統(tǒng)一為下面(5′)的形式：

(5′)

如果不用正、負(fù)數(shù)的記法，那么在“一次盈一次虧”的問題中，用相并(相加)的思想求解；在“兩次都盈”或“兩次都虧”問題中，用相減(即“以少減多”)的思想求解。這樣盈不足術(shù)就可適用于任何情況了。

(2)對非線性問題的討論。

設(shè)函數(shù)y=f(x)是非線性函數(shù)，在區(qū)間[x1，x2]上連續(xù)，并且有f(x1)f(x2)<0，因此函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1，x2]上至少有一個根x0，使f(x0)=0，由此以(x2，y2)、(x1，y1)為端點的直線段L，是函數(shù)y=f(x)的一條弦。如圖所示，弦直線L的方程是：

因此有：

再根據(jù)前面線性問題的討論知道，弦直線L與x軸交點的橫坐標(biāo)為：

(7)

4 用盈不足術(shù)解現(xiàn)行數(shù)學(xué)問題

例3：雞兔同籠不知數(shù)，三十六頭籠中露，看來足有一百只，幾只雞幾只兔？

分析與解：假設(shè)有36只雞，足數(shù)就有2×36=72(只)，足數(shù)不足100-72=28(只)；假設(shè)有15只雞，足數(shù)就有2×15=30(只)，因此兔就有36-15=21(只)，足數(shù)有4×21=84(只)，共有足數(shù)30+84=114(只)，足數(shù)盈114-100=14(只)。根據(jù)盈不足術(shù)有：

因此，雞是22只，兔是：36-22=14(只)。

答：雞是22只，兔是14只。

這個數(shù)學(xué)問題是“雞兔同籠”問題，先用兩次假設(shè)，轉(zhuǎn)化為“一盈與一不足”問題，然后用盈不足術(shù)進(jìn)行解答。

例4：甲、乙兩人在相距360米的兩點同時出發(fā)，相向而行，甲每分鐘行40米，乙每分鐘行50米。多少分鐘后甲、乙兩人相遇？

分析與解：假設(shè)2分鐘后甲、乙兩人相遇，則行了(40+50)×2=180(米)，比360米少180米。就是不足180米；假設(shè)3分鐘后甲、乙兩人相遇，則行了(40+50)×5=270(米)，比360米少90米，就是不足90米。根據(jù)盈不足術(shù)有：

答：4分鐘后甲、乙兩人相遇。

例5：甲每小時行10千米，乙每小時行8千米。甲、乙兩人同行一段路，乙比甲多用了3小時，這段路長多少千米？

分析與解：按盈不足術(shù)進(jìn)行兩次假設(shè)檢驗，如表2，然后根據(jù)盈不足術(shù)進(jìn)行解答。

表2

假設(shè)路程甲所用時間乙所用時間乙比甲多幾小時與“乙比甲多3小時”比較40千米4小時5小時1小時不足2小時80千米8小時10小時2小時不足1小時

答：這段路長120千米。

這兩個例子都是一般的行程問題，也可以用盈不足術(shù)進(jìn)行解答。

盈不足術(shù)以其特定的數(shù)學(xué)模型，可以解答各種數(shù)學(xué)問題。這種在解題過程中，既有假設(shè)檢驗，又有推理分析，并且注重演算程序化、模式化的思想和方法，在數(shù)學(xué)理論中尤其是在遠(yuǎn)古時期的數(shù)學(xué)理論中是一種很有價值的解題方法。用盈不足術(shù)解答數(shù)學(xué)問題，規(guī)律性強(qiáng)，演算程序化，適用范圍較大，對研究數(shù)學(xué)解題策略和方法有一定啟發(fā)性。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳文俊.《九章算術(shù)》與劉徽[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1982.

[2]傅敏，王仲春，等.數(shù)學(xué)教學(xué)研究新論[M].成都：電子科技大學(xué)出版社，1995：56～60.

[3]郭金彬.劉徽“術(shù)”中求術(shù)的方法和技巧[J].自然辯證法通訊，2004，(5)：86～87.