僅有一個平衡點(diǎn)的超混沌系統(tǒng)的控制與同步

胥紅星

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 工業(yè)管理學(xué)院, 河南 鄭州 450046)

目前，關(guān)于混沌的研究已經(jīng)發(fā)展成為一個應(yīng)用廣泛的研究領(lǐng)域，在物理、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，許多新的混沌模型不斷被發(fā)現(xiàn)，如著名的Chen系統(tǒng)[1]、Lü系統(tǒng)[2]等.

最初，人們認(rèn)為實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的控制和同步是不可能的.1990年，Grebogi和Yorke提出的控制混沌思想產(chǎn)生了廣泛的影響[3].同年，Pecora和Carroll提出了混沌同步的思想[4].隨后，人們提出了各種控制混沌的方法,如線性與非線性反饋控制[5]、自適應(yīng)反饋控制[6-7]等，并作了大量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.文獻(xiàn)[8]基于Lü系統(tǒng)提出了一個新混沌模型，僅有一個平衡點(diǎn)，但具有兩個正的Lyapunov指數(shù)，表現(xiàn)出更為復(fù)雜的動力學(xué)行為，是個典型的超混沌系統(tǒng).本研究根據(jù)系統(tǒng)本身的特性，進(jìn)一步分析了該系統(tǒng)的動力學(xué)行為，采用線性反饋法把其鎮(zhèn)定到不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).利用非線性反饋法實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的同步性，數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論的可行性.

1 混沌模型及性質(zhì)分析

混沌模型描述如下:

(1)

其中，x，y，z，u為狀態(tài)變量，當(dāng)a+b>c時(shí)，系統(tǒng)是耗散的且系統(tǒng)僅有一個平衡點(diǎn)O(0，0，0，0),取a=36，b=3，c=26，d=10時(shí)，系統(tǒng)存在典型的超混沌吸引子,如圖1所示.當(dāng)a=36，b=3，c=26時(shí)，隨著參數(shù)d的變化，系統(tǒng)產(chǎn)生超混沌，混沌，周期，倍周期動力學(xué)行為，d∈[0，50]系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜如圖2所示.

圖1 混沌系統(tǒng)的吸引子

圖2 d∈[0，50]系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)

2 系統(tǒng)(1)的控制問題

限定參數(shù)大于0，由于系統(tǒng)(1)有且僅有一個平衡點(diǎn)，利用線性反饋法設(shè)計(jì)合理的控制器實(shí)現(xiàn)平衡點(diǎn)O(0，0，0，0)的控制.

設(shè)受控系統(tǒng)如下：

(2)

其中，v1，v2，v3，v4為控制器.

3 混沌系統(tǒng)的同步

定義1對于兩個非線性混沌系統(tǒng)：

(3)

(4)

令(1)為驅(qū)動系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)為

(5)

令e(t)=(e1，e2，e3，e4)T=(x1-x，y1-y，z1-z，u1-u)T，則誤差系統(tǒng)為:

(6)

其中，vi(t)為反饋控制器，i=1，2，3，4.

定理2對系統(tǒng)(6), 選取如下控制器：

(1)v1(t)=ze2-ye3，v2(t)=-k2e2，v3(t)=0，v4(t)=-k4e4；

(2)v1(t)=ze2，v2(t)=-k2e2，v3(t)=ye1，v4(t)=-k4e4.

類似可證在控制器(2)下系統(tǒng)的同步性成立.

4 數(shù)值仿真

用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，設(shè)初值點(diǎn)為(0.1,0.3,0.5,0.2)，根據(jù)定理1，取反饋增益k2=44，k4=11,得到相空間的穩(wěn)定軌跡，如圖3所示.根據(jù)定理2，取反饋系數(shù)k2=21，k4=1，則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)是全局同步的，如圖4所示，可以看出設(shè)計(jì)控制器的有效性.

圖3 線性反饋下系統(tǒng)(1)的狀態(tài)曲線

圖4 非線性反饋下的同步誤差

5 結(jié)論

研究了僅有一個平衡點(diǎn)的超混沌的控制和同步問題，利用線性反饋方法把系統(tǒng)鎮(zhèn)定到平衡點(diǎn)，設(shè)計(jì)了非線性反饋控制器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的全局同步，數(shù)值仿真驗(yàn)證了控制器的有效性.

參考文獻(xiàn)：

[1]Lorenz E.Deterministic non-periods flows[J].J Atmos Science,1963,20(3):130-141.

[2]Chen G,Ueta G T.Yet another chaotic attractor[J].Int J Bifurcat Chaos,1999,9(7):1465-1466.

[3]Lü J,Chen G.A new chaotic attractor coined[J].Int J Bifurcat Chaos,2002,12(3):659-661.

[4]Ott E,Grebog I C,York J.Cont rolling chaos[J].Physical Review Letters,1990,64(11):1196-1199.

[5]Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Letters,1990,64(8):821-824.

[6]Yassen M T.Cont rolling chaos and synchronization for new chaotic system using linear feedback control[J].Chaos Solitons & Fractals,2005,26(3):913-920.

[7]Wu X Y,Guan Z H,Wu Z P.Adaptive synchronization between two different hyperchaotic systems[J].Nonlinear Analysis,2008(13):46- 51.

[8]Shen Q K,Zhang T P.Novel design of adaptive neural network controller for a class of non-affine nonlinear systems[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2012,17(3):1107-1116.

[9]Jia H Y,Chen Z Q,Yuan Z Z.A novel one equilibrium hyper-chaotic system generated upon Lu attractor[J].Chin Phys B,2010,19(2):5-7.