基于雙指數(shù)跳擴(kuò)散的三叉樹利率模型

李玉萍

(中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院,中國 徐州 221116)

利率是影響金融市場變化的最基本因子,利率風(fēng)險(xiǎn)來源于利率的隨機(jī)性.隨機(jī)與風(fēng)險(xiǎn)在文獻(xiàn)[1]中有很好的研究．最簡單亦是最常用的利率模型是Vasicek模型[2].比Vasicek模型更一般的是Hull-White模型[3]．為了克服利率可能為負(fù)的不足,Cox,Ingersoll和Ross提出了CIR模型[4]．在利率模型中,利率發(fā)生跳是利率變化的一個(gè)重要特點(diǎn)．1976年Meton首先引入了跳擴(kuò)散過程,Beliaeva(2008)等[5-8]在Vasicek(1977)短期利率模型中加入了指數(shù)跳,Kou(2002)[9]推導(dǎo)出了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型,這個(gè)模型最大的優(yōu)點(diǎn)就是允許正跳和負(fù)跳．Beliaeva,Nawalkha(2010)[10]用三叉樹模型研究了隨機(jī)波動率下美式利率期權(quán)的定價(jià),在文獻(xiàn)[10]中作者把三叉樹模型應(yīng)用到了隨機(jī)利率模型中,并推廣為帶有一般指數(shù)跳擴(kuò)散的三叉樹模型和帶有對數(shù)正態(tài)跳擴(kuò)散的三叉樹模型．國內(nèi)學(xué)者在三叉樹方面也取得了一些好的研究成果[11-12]．

本文運(yùn)用了Kou[9]中的雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型,并在Beliaeva等[13]的基礎(chǔ)上,把CIR過程下的短期利率模型推廣為帶有雙指數(shù)跳擴(kuò)散的三叉樹模型,它較一般的指數(shù)跳模型的優(yōu)點(diǎn)就是允許負(fù)指數(shù)跳,更接近實(shí)際市場．在這個(gè)模型下給出了隨機(jī)利率在任意時(shí)刻的值,并分析了隨機(jī)利率對期權(quán)定價(jià)的影響．本文在第1小節(jié)簡述了一般的CIR過程的三叉樹模型,第2小節(jié)推廣了帶有雙指數(shù)跳擴(kuò)散的CIR模型,第3小節(jié)則利用了三叉樹模型求出擴(kuò)散節(jié)點(diǎn)的概率和跳點(diǎn)的概率,第4小節(jié)分析了隨機(jī)利率對期權(quán)價(jià)值的影響．

1 基于CIR過程的三叉樹模型

在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下短期利率的一般CEV過程

(1)

當(dāng)p=0.5時(shí),就是CIR模型．Nelso,Ramaswamy(NR)(1990)對上面過程提出了一個(gè)路徑獨(dú)立的樹圖結(jié)構(gòu)變換,并且給出了怎樣用變換來構(gòu)造二叉樹．本文推廣了NR的方法,用該變換方法來構(gòu)造CIR過程的三叉樹．

由于短期利率的波動項(xiàng)不是常數(shù),NR(1990)提出了一種變換,作X-變換

(2)

對上述方程求反函數(shù),得到短期利率的表達(dá)式

圖1 三叉樹的節(jié)點(diǎn)

這里的INT(?)表示函數(shù)的整數(shù)部分．

x(t)的上節(jié)點(diǎn),中間節(jié)點(diǎn),以及下節(jié)點(diǎn)有如下表示形式

(3)

J滿足下面表達(dá)式

3個(gè)擴(kuò)散節(jié)點(diǎn)概率pu,pm,pd的表達(dá)式由文[10]中給出,這里就不贅述．

2 CIR過程的雙指數(shù)跳模型

一般的指數(shù)跳只考慮了上跳的可能性忽略了下跳的情況,在這里,我們假設(shè)在CIR過程下,短期利率服從雙指數(shù)跳擴(kuò)散分布,即

(4)

fΥ(y)=pη1e-η1yΙ{y≥0}+qη2e-η2yΙ{y<0}，η1>0,η2>0,

在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下,我們可以用下面的短期利率模型

(5)

其中a為任意實(shí)數(shù)．

(6)

3 CIR過程的雙指數(shù)跳擴(kuò)散樹模型

為了模擬帶有雙指數(shù)跳的短期利率,我們用下面的近似值

把[0,T]區(qū)間n等分,每個(gè)小區(qū)間為Δt,為了使分析具有一般性,我們考慮任意時(shí)刻t=iΔt的節(jié)點(diǎn)r(t)(如圖2),i=0,1,2,…,n-1,在時(shí)刻(i+1)Δt,r(t)的M個(gè)不同的值表示為

圖2 用雙指數(shù)曲線模擬跳擴(kuò)散的節(jié)點(diǎn)

3.1 擴(kuò)散點(diǎn)概率

3.2 跳點(diǎn)的概率

第1步,先考慮去掉第1個(gè)上跳節(jié)點(diǎn)、第1個(gè)下跳節(jié)點(diǎn)、最頂部的跳點(diǎn)和最底部的跳點(diǎn)．那么

其中，P{Z(T)≥a}由(6)式定義,且

第2步,考慮最頂部和最底部跳點(diǎn)的概率.

頂部跳點(diǎn)的概率可表示為

其中

同理,底部跳點(diǎn)的概率可以表示為

其中

第3步,考慮第1個(gè)上跳節(jié)點(diǎn)和第1個(gè)下跳節(jié)點(diǎn)的概率．

第1個(gè)上跳節(jié)點(diǎn)的概率可以表示為

p[r(t)+ΔJ+2]=[P{Z(Δt)≥z1}-P{Z(Δt)≥z2}]λΔt,

其中

第1個(gè)下跳節(jié)點(diǎn)的概率可以表示為

p[r(t)+ΔJ-2]=[P{Z(Δt)≥z1}-P{Z(Δt)≥z2}]λΔt,

其中

4 在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用

如圖2,r(t)在Δt后的M個(gè)節(jié)點(diǎn)的值可以表示為

? ?

r(t), 概率記為p0,

? ?

所以,Δt時(shí)間后r(t)的值可近似為

(7)

1973年,Black和Schoes推導(dǎo)出了歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式:

Ct=StN(d1)-Ke-rtN(d2),

B-S公式中假設(shè)利率為常數(shù),即無風(fēng)險(xiǎn)利率,但在實(shí)際市場中利率卻是隨機(jī)變化的,存在一定的風(fēng)險(xiǎn)．有了利率的三叉樹跳擴(kuò)散模型后,就可以利用(7)式對某個(gè)時(shí)刻的利率進(jìn)行估計(jì),將上面的期權(quán)定價(jià)模型中的常利率改為利用三叉樹跳擴(kuò)散模型計(jì)算出來的隨機(jī)利率,使期權(quán)價(jià)值的計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)際市場．

圖3給出了不同利率波動率下股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)值變化關(guān)系,該結(jié)果為期權(quán)定價(jià)研究提供了理論依據(jù)．

圖3 隨機(jī)利率對期權(quán)價(jià)值的影響

5 總結(jié)

本文引用了Kou(2002)文章中推導(dǎo)的雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型,推廣了Beliaeva,Nawalkha(2011)中的結(jié)果,并用三叉樹模型求出了跳點(diǎn)的概率,給出了任意時(shí)刻的利率值．文章最后通過數(shù)值試驗(yàn)分析了隨機(jī)利率對期權(quán)價(jià)值的影響.結(jié)果表明:利率隨機(jī)性及利率波動率的大小對歐式期權(quán)的定價(jià)是有影響的,隨機(jī)利率模型下期權(quán)的價(jià)值要比常利率下期權(quán)的價(jià)值低,并且利率的波動率越大,對期權(quán)的價(jià)值影響越大,期權(quán)的價(jià)值就越低．

參考文獻(xiàn):

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