高階方向?qū)?shù)與乘積函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的形式一致性探討

張 騫 (隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 慶陽 745000)

高階方向?qū)?shù)與乘積函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的形式一致性探討

張 騫 (隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 慶陽 745000)

推導(dǎo)了乘積函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和高階方向?qū)?shù)的計(jì)算，并對兩者進(jìn)行比較，得出了其形式一致性的結(jié)果。

高階導(dǎo)數(shù)；方向?qū)?shù)；一致性

導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)[1-4]是微積分理論中很重要的知識點(diǎn)，其中高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)，而對于高階方向?qū)?shù)更少涉及。為此，筆者主要給出了乘積函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和高階方向?qū)?shù)的概念及計(jì)算，得到兩者的規(guī)律以及簡單表示方法。

1 乘積函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

1.1f(x)g(x)的高階導(dǎo)數(shù)

設(shè)f(x)與g(x)分別為任意階可導(dǎo)函數(shù)，f(x)與g(x)可視為f(x)與g(x)的零階導(dǎo)數(shù)f(0)(x)與g(0)(x)，則：

[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

[f(x)g(x)]″=f″(x)g(x)+2f′(x)g′(x)+f(x)g″(x)

[f(x)g(x)]?=f?(x)g(x)+3f″(x)g′(x)+3f′(x)g″(x)+f(x)g?(x)

利用數(shù)學(xué)歸納法可以得到f(x)g(x)的n階導(dǎo)數(shù)：

其形式與二項(xiàng)式(a+b)n的展開式相似，于是乘積函數(shù)f(x)g(x)的n階導(dǎo)數(shù)可以簡單表示為[f(x)+g(x)](n)。

1.2f(x)g(x)h(x)的高階導(dǎo)數(shù)

設(shè)f(x)、g(x)與h(x)分別為任意階可導(dǎo)函數(shù)，則:

(fgh)′=f′gh+fg′h+fgh′

(fgh)″=f″gh+fg″h+fgh″+2f′g′h+2f′gh′+2fg′h′

(fgh)?=f?gh+fg?h+fgh?+3f″g′h+3f′g″h+3f″gh′+3f′gh″+3fg″h′+3fg′h″+6f′g′h′

同理，利用數(shù)學(xué)歸納法可知f(x)g(x)h(x)的n階導(dǎo)數(shù)：

與三項(xiàng)式(a+b+c)n的展開式相似，于是乘積函數(shù)f(x)g(x)h(x)的n階導(dǎo)數(shù)可以簡單表示為[f(x)+g(x)+h(x)](n)。

1.3f1f2…fk的高階導(dǎo)數(shù)

依次類推可知乘積函數(shù)f1f2…fk的n階導(dǎo)數(shù)與(a1+a2+…+a3)n的展開式相似，于是乘積函數(shù)f1f2…fk的n階導(dǎo)數(shù)可以簡單表示為[f1+f2+…+f3](n)。

2 高階方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)f(x,y)在任意點(diǎn)P(x,y)存在所有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則f沿任一方向l的二階方向?qū)?shù)都存在，且：

式中，cosα，cosβ為方向l的方向余弦?？珊唵伪硎緸椋?/p>

依次有：

+(fxxy(P)cos2α+2fxyy(P)cosαcosβ+fyyy(P)cos2β)cosβ

=fxxx(P)cos3α+3fxxy(P)cos2αcosβ+3fxyycosαcos2β+fyyy(P)cos3β

可表示為：

若f(x,y)存在n階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：

推廣到三元函數(shù)的n階方向?qū)?shù)：

式中， cosα，cosβ, cosγ為方向l的方向余弦。

對于任意多元函數(shù)，也有：

式中， cosα1,cosα2,…,cosαk為方向l的方向余弦。

3 形式一致性

通過上述2類高階導(dǎo)數(shù)形式的比較，可以得到：

2)[f(x)g(x)]?與f?l(x,y)均相似于二項(xiàng)式(a+b)3的展開式。

可見，乘積函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)與高階方向?qū)?shù)具有形式一致性。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊)[M] .第3版.北京：高等教育出版社，2001.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下冊)[M] .第3版.北京：高等教育出版社，2001.

[3] 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義(上冊)[M].第4版.北京：高等教育出版社，2003.

[4] 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義(下冊)[M].第4版.北京：高等教育出版社，2003.

[5] 張騫. 高階方向?qū)?shù)與多元Taylor定理的簡單形式[J]. 菏澤學(xué)院學(xué)報(bào)，2011(2)：11-13.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.09.002

O175.15

A

1673-1409(2012)09-N004-02

2012-06-16

張騫(1976-)，男， 2000年大學(xué)畢業(yè)，碩士，副教授，現(xiàn)主要從事非線性泛函分析和函數(shù)論方面的教學(xué)與研究工作。

[編輯] 洪云飛