裴啟明，蔣 龍 (長江大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

Lorenz系統(tǒng)中的普適序列探究

裴啟明，蔣 龍 (長江大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

在內(nèi)分岔參數(shù)空間下，當(dāng)x*=2.0,25.3≤z*≤35.0時(shí)，Lorenz系統(tǒng)出現(xiàn)了龐加萊映象僅在第一象限或第三象限的局域混沌。對其進(jìn)行符號(hào)動(dòng)力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)該混沌吸引子的龐加萊映象能被分割成2部分，必須建立2個(gè)字的符號(hào)動(dòng)力學(xué)，從而找到了通常只能存在于單峰映射中的普適序列。

Lorenz方程；符號(hào)動(dòng)力學(xué)；普適序列

符號(hào)動(dòng)力學(xué)是一種拓?fù)渑c數(shù)值相結(jié)合的研究方法，其基本思想為粗?；枋鯷1-2]。它起源于19世紀(jì)末20世紀(jì)初J.Hadmard和M.Morse的工作，曾是證明拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究中各定理和遍歷理論的有力工具。利用符號(hào)動(dòng)力學(xué)對動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行分析可以獲取許多單純借助分析或數(shù)值方法不能得到的整體性的結(jié)論[3]。

在內(nèi)分岔參數(shù)空間下，Lorenz系統(tǒng)的新形式為：

(1)

文獻(xiàn)[4]對該系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)的研究，指出當(dāng)x*=2.0, 25.3≤z*≤35.0時(shí)，系統(tǒng)處于局域混沌，該吸引子的龐加萊映象僅有第一象限或第三象限中的一支，如圖1中離散點(diǎn)所示。下面，筆者對其進(jìn)行了符號(hào)動(dòng)力學(xué)分析。

1 不穩(wěn)定周期軌道序列

圖2給出相應(yīng)的首歸映射。它是一個(gè)單峰映射，圖2中菱形給出映射的臨界點(diǎn)C。臨界點(diǎn)C對應(yīng)于x-y平面上吸引子與穩(wěn)定流型的切點(diǎn)，它將相平面分割成2部分，分別用字母L、R表示，如圖1所示。C點(diǎn)左邊的L支單調(diào)上升，則L具有偶性；其右邊的R支單調(diào)下降，則R具有奇性?？梢?，此時(shí)的符號(hào)序列描述需要2個(gè)字。圖1還給出了不穩(wěn)定流型與穩(wěn)定流型之間另外的2個(gè)主切點(diǎn)(菱形)和過切點(diǎn)的穩(wěn)定流型(虛線)。根據(jù)實(shí)數(shù)大小，此時(shí)的自然序?yàn)椋?/p>

圖1 龐加萊截面上的混沌吸引子(離散點(diǎn))，穩(wěn)定流型(虛線)以及切點(diǎn)(菱形) 圖2 首歸映射

LCR

(2)

于是得到排序規(guī)則：

EL…EC…ER…OL…OC…OR…

(3)

式中,E(O)代表含有偶數(shù)(奇數(shù))個(gè)字母R的有限字符串，稱為偶(奇)字節(jié)。

由C點(diǎn)決定的揉序列字為：

H=RLLRLRRRRRLLRLR

由H可給出允字條件：

L(Σ)≤HR(Σ)≤H

(4)

式中，L(Σ)是序列Σ的L后繼序列集，即對序列Σ的符號(hào)逐個(gè)審查，一旦遇到字母L就收集其后續(xù)序列，得一個(gè)新序列；繼續(xù)對這個(gè)新序列進(jìn)行審查，遇到字母L后又收集其后續(xù)序列。反復(fù)進(jìn)行搜集，直到?jīng)]有新的序列出現(xiàn)為止。將每一次得到的新序列集合起來，即為L(Σ)。R(Σ)的定義類似。

表1 x*=2.0,z*=25.3時(shí)周期至6的不穩(wěn)定允許字及其首字母的位置坐標(biāo)(x,y)

根據(jù)排序規(guī)則(2)、(3)和允字條件(4)，可以給出x*=2.0,z*=25.3時(shí)周期直至6的不穩(wěn)定周期字，如表1所示?？梢?，周期至6的不穩(wěn)定序列少了RRLL，RLLL，LLRL，RLLRR，RLLLR，RLLLL，RLLRRR，RLLRRL，RLLLRR，RLLLRL，RLLLLR，RLLLLL等12個(gè)，這是被允字條件(4) 禁止的結(jié)果。例如Σ=(RRLL)∞，其R的后繼序列之一R(Σ)=RLLRRLLR…>H，這與條件R(Σ)≤H相違背。

2 穩(wěn)定周期軌道序列——普適序列

圖3 x*=2.0,z*=25.4366時(shí)，龐加萊截面上暫態(tài)軌道的首歸映射，臨界點(diǎn)(空心圓)以及穩(wěn)定周期序列7P=RLRRRRC(菱形)

以上給出的是參數(shù)一定時(shí)的不穩(wěn)定周期軌道序列。利用符號(hào)動(dòng)力學(xué)，也能給出不同參數(shù)下的穩(wěn)定周期軌道序列字。當(dāng)參數(shù)范圍內(nèi)存在周期窗口時(shí)，區(qū)間上僅有少量的軌道點(diǎn)，不能給出相應(yīng)的首歸映射，因此不能明確地標(biāo)注軌道點(diǎn)的符號(hào)。然而，由文獻(xiàn)[3]可知至少有2種方法來解決這個(gè)難題：

1)可以在周期窗口附近的混沌區(qū)域選取參數(shù)，得到混沌吸引子并將周期點(diǎn)添加到該混沌吸引子上。大多數(shù)情況下，可以通過從混沌吸引子上計(jì)算的揉序列對來產(chǎn)生與不穩(wěn)定周期軌道共存的穩(wěn)定周期軌道。

2)可以采用一系列初值，并盡可能地保留系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定周期之前的暫態(tài)點(diǎn)。通過這些暫態(tài)點(diǎn)，就可以像前面一樣建立首歸映射。如果暫態(tài)較多時(shí)，用該方法計(jì)算穩(wěn)定周期軌道序列更方便。如x*=2.0,z*=25.4366時(shí)，龐加萊截面上暫態(tài)軌道的首歸映射如圖3中離散點(diǎn)所示，它與圖2的形狀一樣。其中空心圓為臨界點(diǎn)，菱形為周期軌道點(diǎn)，數(shù)字表示迭代次序。可見，此時(shí)系統(tǒng)處于7P(P表示周期)態(tài)，相應(yīng)的序列記為7P=RLRRRRC。

結(jié)合以上2種方法，可以給出x*=2.0,25.27

表2 x*=2.0,25.27

表3 x*=0.5-0.0000001z*,21.5

[1]Hao B L.Applied Symbolic Dynamics[J].Chinese Journal of Physics，1998，36(6)：753-757.

[2]郝柏林,鄭偉謀.二維映射的實(shí)用符號(hào)動(dòng)力學(xué)[J].非線性動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，1995，2(1)：1-11.

[3]Hao B L, Liu J X, Zheng W M.Symbolic Dynamics Analysis of the Lorenz Equations[J].Phys Rev E，1998，57：5378-5415.

[4]裴啟明，蔣龍.Lorenz系統(tǒng)在內(nèi)分岔參數(shù)空間中的新現(xiàn)象探討[J].長江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，8(7)：1-4.

[5]Hao B L, Zheng W M.Applied Symbolic Dynamics and Chaos[M].Singapore: World Scientific, 1998.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.09.001

O415.5

A

1673-1409(2012)09-N001-03

2012-04-25

湖北省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(D20101303)。

裴啟明(1977-)，女，2001年大學(xué)畢業(yè)，碩士，講師，現(xiàn)主要從事非線性科學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。

[編輯] 洪云飛