舟過水無痕:《平行四邊形的性質(zhì)（一）》教學實錄及點評

張琴琴，胡同祥

（樂山市實驗學校，四川 樂山 614000）

數(shù)學知識的過程性教學主要應關(guān)注數(shù)學知識的生成過程，即數(shù)學知識的形成過程，要加強對它們的開發(fā)呈現(xiàn)，并試圖讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識“生長”的全過程，怎樣實現(xiàn)把數(shù)學知識“生長過程”教學化，使學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程，需要教師二次開發(fā)教材，設(shè)計數(shù)學知識的“生長過程”。

一、平行四邊形的性質(zhì)（一）

（一）學法與教法

學法：觀察、猜想、驗證、歸納、應用。

教法：觀察猜想法為主，直觀演示法、設(shè)疑誘導法為輔。

（二）教學過程

1.課題引入

師：請同學們回憶一下，我們進入初中以后對平面幾何的學習順序是怎樣的？

生A：初一的第一學期學習了點、線、角，第二學期學習了三角形。

師：這學期我們將進入第二種多邊形——平行四邊形的學習。請同學們再回憶一下，上學期我們在學習三角形的知識時，重點探究學習了哪種特殊三角形的性質(zhì)和判定？

生（全體）：等腰三角形。

師：與上學期相類似，這學期我們學習四邊形，也先學習一種特殊的四邊形——平行四邊形。所以我們今天的學習任務就是探究學習平行四邊形的性質(zhì)。

師：黑板板書：平行四邊形的性質(zhì)（一）

活動一：

師：在學習之前，請同學們想一想：平行四邊形在日常生活中有哪些應用，你能舉幾個實例嗎？

生B：學校門口的伸縮門。

師：很好，我們每天都在進出校門，伸縮門里蘊含著許多平行四邊形。

生C：教室里的窗戶是平行四邊形。

師：窗戶是同學們學認識過的什么圖形？

生（全體）：長方形。

師：長方形在我們初中又可以稱作為矩形，這是一種特殊的平行四邊形，是我們今后要學習的內(nèi)容。

生D：門和書。

師：門、書的表面都是平行四邊形。

下面請同學們欣賞一組平行四邊形在日常生活中的應用實例展播：（多媒體播放）

師：通過同學們的舉例和圖片的展播，讓我們深刻地感受了平行四邊形在我們?nèi)粘Ｉ钪械膽檬欠浅V泛的。因此我們這節(jié)課學習平行四邊形的知識是不是一件非常有意義的事情呢？

生（全體）：是。

2.概念的形成和鞏固

師：平行四邊形對于同學們來說并不陌生，早在小學的時候我們就認識它了。那么，請同學們仔細觀察圖片，究竟什么樣的四邊形叫平行四邊形呢？

生E：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形。

師：回答得非常好。

板書：1.定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形。

2.表示：?ABCD，如圖 1。

鞏固練習：請從下列圖形中找出平行四邊形。

3.性質(zhì)的探究與驗證

活動二：

師：同學們能否根據(jù)定義畫一個平行四邊形？

師生動手：教師在黑板上畫，學生在練習本上畫。

師：請同學們看黑板圖8：一個平行四邊形有幾條邊？有幾個內(nèi)角？有幾條對角線？

生（全體）：四條邊，四個內(nèi)角，兩條對角線。

師：（動手連接兩條對角線交于點O）

平行四邊形的這些邊、角、對角線究竟有些怎樣的特殊性質(zhì)呢？請同學們以學習小組為單位展開討論。

活動三：

生：分小組熱烈討論。

（幾分鐘后討論結(jié)束）

師：請小組代表發(fā)言。

生F:平行四邊形對邊相等，對角相等。

生G：平行四邊形對角線平分內(nèi)角。

生H：平行四邊形對角線互相平分。

生I：平行四邊形鄰角互補。

師：你們能想出什么辦法去驗證這些猜想是否正確呢？

生（少數(shù)）：用度量的方法。

師：非常好，請大家馬上行動起來。

生（全體）：用三角板、量角器進行度量。

師：你們度量的結(jié)果是怎樣的？

生J：平行四邊形的對邊相等，對角相等，鄰角互補，對角線互相平分，但對角線不平分內(nèi)角。

師：掌聲送給這位同學，回答得非常棒。

一般平行四邊形的對角線是不能平分對角的，只有一種特殊的平行四邊形具有這條性質(zhì)，那是我們后一步要學的內(nèi)容。

剛才我們用度量的方法對大家的猜想進行了初步驗證，下面，再請同學們思考:能不能用我們所學過的知識去證明你們的猜想？

生K：我們可以先判斷平行四邊形是不是中心對稱圖形，如果是中心對稱圖形就可以根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)證明我們的猜想。

師：非常好，那怎樣判斷平行四邊形是否為中心對稱圖形呢？請問：什么是中心對稱圖形？

生（全體）：把一個圖形繞自身的某一個點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，這個圖形就叫中心對稱圖形。

活動四：

師：出示自制教具（一張透明紙和一張硬紙板疊合，上下分別畫了兩個全等的彩色平行四邊形重合在一起，對角線交點用一顆圖釘穿過，透明紙可以自由旋轉(zhuǎn)）

請一位同學上來旋轉(zhuǎn)透明紙，同學們觀察在旋轉(zhuǎn)過程中兩個平行四邊形是否能再次重合，如果重合了，至少要旋轉(zhuǎn)多少度？

生L：（上講臺旋轉(zhuǎn)透明紙）至少旋轉(zhuǎn)180°，兩個平行四邊形就能完全重合。

師：這就說明了平行四邊形是中心對稱圖形，那么中心對稱圖形的性質(zhì)是什么？

生M：對應邊相等，對應角相等，對應點到對稱中心的距離相等。

師：（手指教具）點A與點C是對應點，則點A到對稱中心O的距離等于點C到點O的距離，即OA=OC,同理：OB=OD；AB的對應邊是CD，則AB=CD，同理：AD=BC；∠BAD的對應角是∠BCD，則∠BAD=∠BCD，同理：∠ABC=∠ADC；從而再次證明了同學們對平行四邊形性質(zhì)的猜想是正確的。

下面，讓我們一起來歸納一下平行四邊形的性質(zhì)。（如圖9）

師板書，生口答。

邊：對邊平行（位置），對邊相等（數(shù)量）。

角：對角相等。

對角線：互相平分。

對稱性：中心對稱圖形。

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD，AD∥BC

AB=CD，AD=BC

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AO=CO，BO=DO

師：好，接下來試試同學們的身手吧。

4.性質(zhì)的應用

多媒體展示，圖10。

（小試身手）如圖，在?ABCD中，

已知：BC=8，周長等于 24，則 AD=_____，AB=____，

CD=______；

生：（口答）

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD=BC=8，AB=DC

∵?ABCD=24

∴AB+CD=24-16=8

∴AB=CD=4

例題探究：

例 1.圖 11，在?ABCD 中，AB=5，BC=8，BE 平分∠ABC交AD于E，求DE的長。

生：（口述分析）∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠EBC

∵在?ABCD中：AD∥BC

∴∠AEB=∠EBC

∴∠ABE=∠AEB

∴AB=AE=5

又 ∵AD=8，

∴ED=AD-AE=3

師：請同學們馬上動手在練習本上寫出推理過程。

生（全體）動手寫；師巡視學生做題情況。

師：請做練習本上一題，并通過展臺展示，糾正表述過程中的錯誤。

（變式）：若一個平行四邊形的一條內(nèi)角平分線把一條邊分成2cm和3cm的兩條線段，求該平行四邊形的周長。

師：請同學們獨立思考后在練習本上畫出草圖，請一位同學在黑板上畫。

生 1：（走上講臺畫圖，圖 12）

師：有沒有不同意見的？

生 2：（走上講臺畫圖，圖 13）

師：哪位同學畫的是正確的？

生：（全體）都正確。

師：（點評）非常好，同學們真棒。這道題考查的是一種非常重要的數(shù)學思想——分類討論思想。一個平行四邊形的一條內(nèi)角平分線把一條邊分成2cm和3cm的兩條線段，并沒有告訴我們究竟哪條是2cm、哪條是3cm，所以，分成的線段中，有可能第一條是2cm，也有可能第一條是3cm。

5.小結(jié)與回顧

回顧這節(jié)課，你有哪些收獲？

（多媒體展示）

①知識：平行四邊形的定義、性質(zhì)。

②方法：證明直線平行、線段相等、角相等的新方法。

二、教學反思

《平行四邊形的性質(zhì)》(華東師大版)承接上一章的內(nèi)容，課本的設(shè)計意圖是利用圖形平移和旋轉(zhuǎn)的特征來得出平行四邊形的性質(zhì)。筆者在設(shè)計本節(jié)課時就遵循著這個原則，先讓學生看圖片，體會到平行四邊形在日常生活中的廣泛應用，給出平行四邊形的定義，再由學生動手畫出一個平行四邊形，然后觀察猜想出其性質(zhì)?？紤]到對角線互相平分這一性質(zhì)在得出平行四邊形是中心對稱圖形后即可推導出，所以我對教材進行了整合，把下一節(jié)的內(nèi)容提前講了，并在課堂上加上相應的練習。因為本章課標明確要求學生能夠嚴格說理過程，所以筆者在得出平行四邊形性質(zhì)的同時加上幾何語言的描述，在練習中也注意規(guī)范學生的說理過程。

上完課后，筆者總體感覺還可以，主線清晰，重點突出，基本達到了預期效果，課堂氣氛較活躍，使學生的參與意識與自我表現(xiàn)力增強。在探究平行四邊形性質(zhì)和推導性質(zhì)的過程中，學生通過動手操作和自制教具、多媒體課件的演示，就能很容易發(fā)現(xiàn)平行四邊形的性質(zhì)。在猜想平行四邊形的性質(zhì)時，對于學生給出的錯誤猜想——對角線平分內(nèi)角，筆者沒有立刻給與評判，而是讓學生通過自己來動手度量后自己否定這個結(jié)論。這種做法發(fā)既鼓勵了學生勇于大膽猜想的精神，又培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。例題能夠引導學體會數(shù)學中的兩種重要思想，即整體思想和分類討論思想。能根據(jù)學生的具體情況在練習的過程中及時發(fā)現(xiàn)問題，并通過投影指出錯誤，規(guī)范說理過程，反饋工作做得較到位。對于例1的講解，筆者通過先讓學生分析，再讓他們自己寫推理過程的方式，從中發(fā)現(xiàn)了不少學生容易出錯的地方，部分學生在說思路的時候跳躍性太大，寫證明過程的時候有缺失條件的情況，比如沒有交代平行四邊形的前提就直接得出對邊平行、對邊相等的結(jié)論，是部分學生的共同毛病，通過老師和同學的點評便得以糾正。對于例1的變式問題，則讓學生獨立思考，畫出草圖，訓練了學生的靈活思維和基本的幾何作圖能力，同時也讓學生感受了“分類討論”的重要數(shù)學思想。

教學中的不足之處：一是在引導學生猜想驗證性質(zhì)的時候，教師可以通過使用幾何畫板現(xiàn)場演示準確度量邊、角、對角線是否相等的過程。因為學生作圖和度量必定會存在一些誤差，由于作圖的不標準和度量的不準確可能會導至學生得出錯誤結(jié)論。而幾何畫板是可以標準作圖，準確度量線段長度和角度的，同時也能培養(yǎng)學生嚴謹?shù)?、科學的探究精神。二是由于擔心時間不夠、完不成教學任務，所以給學生討論和獨立思考問題的時間有點短，顯得有點走過場，這些都是在教學中應注意的問題。當然，本節(jié)課還有許多值得總結(jié)和回味，同時需要解決的教學細節(jié)。

三、教后點評

（一）總評

本課題的教學，學生通過觀察生活中的實例認識了平行四邊形。學生通過參與數(shù)學活動進一步感悟到探索方法在探索概念的形成過程和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程的作用，學生在探索的過程中獲得了成功的體驗，提高了學生的興趣，增強學生間合作意識，培養(yǎng)了學生創(chuàng)新精神。為了達到這個目標，本課時讓學生置身于知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程之中，讓學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等數(shù)學活動的過程中感悟平行四邊形的性質(zhì)，理解平行四邊形的性質(zhì)，課堂教學體現(xiàn)了重視以問題解決為中心的自主、合作、探究學習方式。

從初中數(shù)學有效教學的宏觀評價來看，本節(jié)課三維目標設(shè)定合理，所選教學內(nèi)容適切，課堂教學環(huán)境和諧，教學過程細致嚴謹，學習方式和手段多元，學習效果顯著。所以，本節(jié)課從學生體現(xiàn)的顯性效果，還是從學生的長遠發(fā)展的隱性效果來看，都值得在初中數(shù)學有效教學研究過程中學習和借鑒。

（二）詳細評析

1.設(shè)置動手操作活動，培養(yǎng)學生的探索能力

平行四邊形的性質(zhì)，學生在小學就有初步了解，若單純地讓教師引導學生回憶，讓學生記住結(jié)論，然后再利用這些結(jié)論進行解題，這會禁錮學生的思維，就是我們常常提到的把學生“教死”了。執(zhí)教者應從生活中的平行四邊形入手，讓學生初步認識平行四邊形，從感性認識逐步上升到理性認識；教者在引導學生探討性質(zhì)時設(shè)計了讓學生動手操作、合作探討的情境，同時利用了平行四邊形的模型教具從旋轉(zhuǎn)的角度來加以驗證，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗。該課堂教學方法的設(shè)計，不僅調(diào)動了學生的積極性，而且引導學生從理性的角度進行觀察發(fā)現(xiàn)，進行推理結(jié)證，學生自然地進入數(shù)學知識“生長過程”的場景中，教者已經(jīng)潛移默化地將研究問題的方法“教授”給學生，無形之中培養(yǎng)了學生的探索能力。

2.注重數(shù)學三語言的結(jié)合，規(guī)范了數(shù)學表達

數(shù)學語言是教學知識、思想、方法的載體，數(shù)學思維借助數(shù)學語言進行，依靠數(shù)學語言顯示。因此，掌握數(shù)學語言是學習數(shù)學知識的基礎(chǔ)，數(shù)學語言是數(shù)學教學的關(guān)鍵，同時掌握數(shù)學語言之間的轉(zhuǎn)化是解決問題的重中之重。因此，將文字語言、符號語言、圖形語言進行結(jié)合教學，讓學生會用數(shù)學語言，習慣地用數(shù)學語言來表達、解釋數(shù)學。在整個認識平行四邊形和探索其性質(zhì)中，教者僅僅結(jié)合圖形進行標記，同時在圖形旁邊用幾何語言（符號語言）進行旁批，同時引導學生用文學語言敘述，但最終歸結(jié)到了符號語言上，這樣潛移默化地進行結(jié)合性訓練為學生學習其他特殊幾何圖形的性質(zhì)打下了基礎(chǔ)。

3.開發(fā)知識“生長過程”，實現(xiàn)過程結(jié)果并重

在數(shù)學教學中，既重視結(jié)果，又重視過程，這已經(jīng)是新課程改革中形成的共識。從某種角度來講，過程比結(jié)果更重要，這節(jié)課重點放在平行四邊形性質(zhì)這個結(jié)果產(chǎn)生的過程上，通過師生共同畫圖，小組合作，師生共同小結(jié)出結(jié)論，利用平行四邊形是中心對稱圖形加以說明，這些設(shè)計環(huán)節(jié)無疑為學生主動探索性質(zhì)的來龍去脈提供了平臺，為性質(zhì)的“生長過程”創(chuàng)造了條件，讓學生真實地經(jīng)歷這些“生長過程”，甚至做到了結(jié)果與過程并重。

4.豐富問題形式，促進學科思維拓展

這節(jié)課的課堂教學中，對于平行四邊形性質(zhì)的應用多樣，主要圍繞邊、角、對角線的性質(zhì)進行多維度訓練，并在引領(lǐng)，拓展原型與變式題進行無縫結(jié)合，讓學生的思維順勢，感受變式訓練中“根本”不變，在訓練之后進行思想與方法的提煉和總結(jié)，這是解題教學的升華，一些好的研究方法和思維拓展得到了激活。

[1]孫紅強.楊輝.好一個“一點鎖定180”[J].中國數(shù)學教育（初中版），2009（9）.