一道調考試題結論的拓展與應用

● (黃陂區(qū)第一中學盤龍校區(qū) 湖北武漢 430312)

一道調考試題結論的拓展與應用

●李紅春(黃陂區(qū)第一中學盤龍校區(qū) 湖北武漢 430312)

每年高三各地的調考試題，總會出現(xiàn)一些經典之作，它們如串串珠璣，精彩紛呈，極富代表性和示范性.對這些試題進行深入探索，挖掘其潛在價值，對其延伸拓展，既能有效激發(fā)學生的學習和研究興趣，又有利于拓展想象力，提高思維的靈活性和實效性．筆者對2012年武漢市高三4月調考文科壓軸題作了一些探討，現(xiàn)整理成文，供大家參考．

1 試題的呈現(xiàn)

(1)求橢圓的標準方程；

(2)略；

從特殊到一般是發(fā)現(xiàn)新結論、創(chuàng)造新成果的重要途徑，也是高考命題的常用手法.做完這道試題以后，筆者始終感覺意猶未盡，根據(jù)第(3)小題的題設條件，筆者深信這個問題一定隱藏著某種一般化的結論，于是在一番推理和演算之后得出了如下優(yōu)美的結論(為行文方便，約定結論都是在存在的情況下展開討論的)．

2 結論的拓展

圖1

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，則直線AT的方程為

即

代入橢圓方程得

(1)

又點A(x1,y1)在橢圓上，故

即

代入式(1)整理得

于是

由y1≠0得

故

因此直線CD的斜率

(2)

y1x2-y2x1=m(y1-y2)，

代入式(2)得

因此

評注定理1的證明“看似尋常最崎嶇，成如容易卻艱辛”，其中“設而不求”思想和“整體法”的運用值得細心體會．

圖2

圖3

以美啟真，這是數(shù)學發(fā)現(xiàn)和數(shù)學創(chuàng)造的一條重要途徑.我們知道圓錐曲線間有著許多共同的或相似的性質，從統(tǒng)一美的角度看，拋物線也應有類似的結論．

證明設A(x1,y2),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，則直線AT的方程為

即

代入拋物線方程得

因此

y1·y3=-2pt.

由y1≠0知

故

同理可得

因此直線CD的斜率為

(3)

設直線AB的方程為

x=ay+m，

代入y2=2px得

y2-2pay-2pm=0，

故

y1·y2=-2pm.

因此

評注從以上3個結論不難發(fā)現(xiàn)：在圓錐曲線方程確定的前提下，這2個定點的具體位置決定了2條直線斜率的比值．這一結論是多么的樸素而深刻，讓人不得不嘆服數(shù)學的神奇！

3 美妙的性質

特殊與一般是辯證的關系，我們對數(shù)學結論的探究既要善于從特殊到一般找到問題的“共性”，有時也要善于從一般到特殊找到問題的“個性”．既然在圓錐曲線方程確定的前提下，M,T這2個定點的具體位置決定了2條直線斜率的比值，而斜率互為相反數(shù)無疑是2條直線位置關系中一種極為特殊的情況，我們何不作一些特殊的探討呢？

即

a2=tm.

圖4

圖5

同理，雙曲線也有類似的結論：

圖6

當直線AB與直線CD的斜率互為相反數(shù)時，它們的傾斜角互補.由圖形的對稱性可知，當直線AB⊥x軸時，直線CD⊥x軸時，它們的傾斜角依然互補，因此上述結論表征為滿足條件時2條直線的傾斜角互補更為直觀．

評注圓錐曲線中的焦點和準線在圓錐曲線性質中有著重要的地位，它們是圓錐曲線定義的基礎，上面這3個結論不但讓我們領略了焦點和準線在圓錐曲線性質中的重要地位，而且更讓我們體會到數(shù)學中無處不在的和諧與統(tǒng)一美！

4 結論的應用

提出一個問題很多時候比解決一個問題更重要．事實上,由上面這些結論，我們可以編擬出很多精彩紛呈的好題，限于篇幅這里略舉2例，有興趣的朋友不妨多試試！

例1(文章開頭的題目第(3)小題)

解取m=-2,t=1,a=3，由定理1的結論知

圖7

解(1)由定理1知

即

a2=5c2，

故

通過對2012年這道武漢市高三年級4月調考試題結論的拓展與研究，不但領略到了調考試題的價值，而且也感受到了數(shù)學探究的樂趣.通過對這道調考試題的探究，從特殊中拓展出了一般性的結論，又從一般性的結論中發(fā)現(xiàn)出特殊的規(guī)律，而且體會到結論的應用價值，這些遠遠超出了起初解題時的預料！其實，許多高考和調考試題都凝結了命題者巨大的智慧和心血，它們有的立意高遠，有的背景深刻，有的內涵豐富，有的創(chuàng)意新穎.在研究的過程中，我們可以豐富數(shù)學方法，學習樸素的數(shù)學原理，完成火熱的數(shù)學思考，激發(fā)蘊藏的生命活力，使我們領悟解題方法，領悟解題思想，領悟問題的深層次聯(lián)系，使解題能力和思維品質向更深和更高層次發(fā)展和升華！