“課題學(xué)習(xí)”類試題的命制策略及對(duì)教學(xué)的啟示

● (寧波市教育局教研室 浙江寧波 315010)

“課題學(xué)習(xí)”類試題的命制策略及對(duì)教學(xué)的啟示

●楊一麗(寧波市教育局教研室 浙江寧波 315010)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》把“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”列為獨(dú)立的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，給學(xué)生提供了進(jìn)行實(shí)踐性、探索性和研究性學(xué)習(xí)的課程渠道.課題學(xué)習(xí)作為“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”的一種呈現(xiàn)形式，目的是讓學(xué)生通過(guò)一系列的問(wèn)題(或活動(dòng))的探究過(guò)程展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)，獲得研究問(wèn)題的方法和經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)思維能力的提升，同時(shí)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解.因此“課題學(xué)習(xí)”類試題有著豐富的知識(shí)與思想內(nèi)涵，但教材中課題學(xué)習(xí)的素材有限，如何開(kāi)發(fā)和利用“數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)”的課程資源，編制“課題學(xué)習(xí)”類試題是擺在數(shù)學(xué)教師面前的新任務(wù).下面筆者以編制寧波市中考數(shù)學(xué)“課題學(xué)習(xí)”類試題為例，談?wù)勥@一類試題命制的策略與技巧.

1 命制策略

1.1 以“信息遷移”為手段編擬試題，著重考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

這一類試題往往先給出新定義或約定一種新運(yùn)算或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情境，要求學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和方法理解“新定義”，解決新問(wèn)題.其挑戰(zhàn)性在很大程度上取決于“新”的程度及所設(shè)置的問(wèn)題與“新定義”的關(guān)聯(lián)程度.以“信息遷移”為手段編擬的試題，更能體現(xiàn)知識(shí)內(nèi)涵與外延的辯證關(guān)系，體現(xiàn)考查的公平性和創(chuàng)新性.此類試題重視學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的綜合考查，對(duì)引導(dǎo)和促進(jìn)“課題學(xué)習(xí)”具有積極的意義.

例1(以下省略了原試卷中的情景圖案)閱讀下面的情景對(duì)話，然后回答問(wèn)題：

教師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．

生1：等邊三角形一定是奇異三角形！

生2：那直角三角形中是否存在奇異三角形呢？

(1)根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？

(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a.若Rt△ABC是奇異三角形，求a∶b∶c.

①求證：△ACE是奇異三角形；

②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠AOC的度數(shù)．

(2011年寧波市數(shù)學(xué)中考試題)

圖1

解(1)真命題.

(2)根據(jù)“奇異三角形”的定義及勾股定理，可得

AC2+CE2=2AE2,

即得△ACE是奇異三角形.

②由第①小題知Rt△ACE是奇異三角形,可得

或

從而∠AOC的度數(shù)為60°或120°.

編擬思路本題原計(jì)劃是想編擬一道勾股定理引申的拓展題，但在編擬過(guò)程中發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊關(guān)系以及面積已被挖掘很多，難有新意，因此決定選擇探索三邊有特殊聯(lián)系的其他三角形.于是“奇異三角形”的概念就誕生了.本題首先通過(guò)判斷命題的真假以識(shí)別學(xué)生是否了解“新定義概念”，然后從正三角形到直角三角形、從直角三角形到圓、逐步遷移加深、拓寬知識(shí)間的聯(lián)系，在理解、應(yīng)用層次上考查學(xué)生在新情景中進(jìn)行歸納、類比、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

點(diǎn)評(píng)本題是以“信息遷移”為手段編擬的試題，創(chuàng)作的靈感源自于“勾股定理”.通過(guò)“新定義”及“新問(wèn)題與新定義之間的轉(zhuǎn)化距離”這2個(gè)維度調(diào)控試題挑戰(zhàn)性的程度.試題的精妙之處在于已經(jīng)跳出勾股定理的局限，把變化的圖形中所蘊(yùn)藏的不變(三角形邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系)作為探索的方向.試題呈現(xiàn)方式新穎獨(dú)特，內(nèi)涵豐富深遠(yuǎn).它將等邊三角形、直角三角形、圓等初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容融合在一起，設(shè)計(jì)的探究?jī)?nèi)容遵循了“由特殊到一般”的規(guī)律.

1.2 以“類比”為主旨編擬試題，著重考查學(xué)生的推理能力

類比本質(zhì)上是用熟悉問(wèn)題的解決方法去解決新問(wèn)題的一種策略，它是一種創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思想方法，又是一種常見(jiàn)的知識(shí)拓展策略.類比思想在掌握數(shù)學(xué)概念、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、探索解題方法上有著重要的作用.波利亞曾說(shuō)過(guò)：“類比是個(gè)偉大的領(lǐng)路人.”成功編擬此類試題需要準(zhǔn)確分析和把握其間的類比關(guān)系，這不僅突出了對(duì)知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系的考查，更注重對(duì)學(xué)生推理能力的考查.以“類比”為主旨編擬問(wèn)題，更能實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)有序化、系統(tǒng)化的管理和應(yīng)用，體現(xiàn)考查的合理性和深刻性.

例2(1)如圖2，把等邊三角形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作等邊三角形，并去掉居中的那條線段，得到一個(gè)六角星，則這個(gè)六角星的邊數(shù)是______．

圖2

(2)如圖3，在5×5的網(wǎng)格中有一個(gè)正方形，把正方形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作正方形，并去掉居中的那條線段．請(qǐng)你把得到的圖形畫(huà)在圖4中，并寫(xiě)出這個(gè)圖形的邊數(shù)．

(3)現(xiàn)有一個(gè)正五邊形，把正五邊形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作正五邊形，并去掉居中的那條線段，得到的圖形的邊數(shù)是多少？

(2009年寧波市數(shù)學(xué)中考試題)

圖3

圖4

圖5

解3個(gè)問(wèn)題的答案分別為12,20,30；第(2)小題的解答如圖5所示.

編擬思路在編擬過(guò)程中，根據(jù)命制的雙向細(xì)目表，第21題要考查的是課題學(xué)習(xí)的內(nèi)容.我們希望考查的目標(biāo)導(dǎo)向是該題源于教材，又高于教材.因此我們最先把目光聚焦于浙教版教材七年級(jí)下冊(cè)“雪花曲線”內(nèi)容，展開(kāi)類比探索.于是建立了最簡(jiǎn)單的基本圖形——三角形，當(dāng)三角形背景更改為正方形、正五邊形后，從圖形如何擴(kuò)展,整個(gè)擴(kuò)展后的圖形彼此之間又存在怎樣的聯(lián)系入手編擬，命題嘗試著實(shí)現(xiàn)從知識(shí)立意轉(zhuǎn)變到能力立意的導(dǎo)向.

點(diǎn)評(píng)本題是以“類比”為主旨編擬的試題，要求參照正三角形邊的擴(kuò)展方法，類比構(gòu)造出正方形、正五邊形邊的擴(kuò)展方法,解決該類題且需要準(zhǔn)確把握并正確運(yùn)用其間的類比關(guān)系.通過(guò)對(duì)擴(kuò)展后圖形的邊數(shù)探究，將結(jié)構(gòu)之間的類比演變?yōu)閱?wèn)題結(jié)論和解決方法的演變，使得考查具有挑戰(zhàn)性.此類試題讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)類比，在觀察中發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，在類比中找到新思路.試題呈現(xiàn)圖文并茂、直觀形象，整體編排巧妙地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)與美感的統(tǒng)一，有利于培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、深入推理的能力.

1.3 以“歸納猜想”為主旨編擬試題，著重考查學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力

“歸納猜想”既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，又是常用的一種合情推理方式和思考策略.此類試題突出對(duì)學(xué)生猜想、發(fā)現(xiàn)能力的考查和創(chuàng)新精神的培養(yǎng).成功編擬“歸納猜想”類試題的關(guān)鍵在于對(duì)所提供的具有若干“特殊”屬性的對(duì)象的關(guān)聯(lián)程度及對(duì)具有“一般”屬性的對(duì)象顯現(xiàn)程度的掌控和運(yùn)用.以“歸納猜想”為主旨編擬試題更能突出對(duì)合情推理能力、歸納猜想能力、創(chuàng)新能力的有效考查.

例318世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式.請(qǐng)你觀察圖6中幾種簡(jiǎn)單多面體模型，回答下列問(wèn)題：

圖6

(1)根據(jù)上面的多面體模型，完成表格1中的空格：

表1 多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)

你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式是______.

(2)一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8，且有30條棱，則這個(gè)多面體的面數(shù)是______.

(3)某個(gè)玻璃飾品的外形是簡(jiǎn)單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形這2種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱.設(shè)該多面體外表面三角形的個(gè)數(shù)為x，八邊形的個(gè)數(shù)為y，求x+y的值.

(2010年寧波市數(shù)學(xué)中考試題)

解(1)6，6,V+F-E=2.

(2)20.

24+(x+y)-36=2，

從而

x+y=14.

編擬思路根據(jù)編擬計(jì)劃，要求該題是一道規(guī)律探究題，希望有較深的文化背景，最好教材中又有涉及，讓學(xué)生似曾相識(shí)卻又需要經(jīng)歷探索過(guò)程得到結(jié)果.因此最終定位于浙教版教材八年級(jí)上冊(cè)課本第57頁(yè)第4題所給出的“直棱柱”模型，當(dāng)思維超越于該模型后，就悟出根據(jù)四面體、長(zhǎng)方體、正八面體、正十二面體這4個(gè)圖形的關(guān)聯(lián)性歸納猜想出歐拉公式，突出對(duì)學(xué)生合情推理能力、歸納猜想能力的考查.

點(diǎn)評(píng)本題是以“歸納猜想”為主旨編擬的規(guī)律探究題，這正是歸納發(fā)現(xiàn)的功效.第(3)小題是以能力立意的試題，是對(duì)得出的一般性命題的深化應(yīng)用，解決該問(wèn)題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)給出的條件得到簡(jiǎn)單多面體的棱數(shù).它的思想已在探索n邊形的對(duì)角線條數(shù)的教學(xué)中滲透過(guò)，從而能夠有效地考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移、重組能力，充分展現(xiàn)學(xué)生的思維方式和思維水平.本題在問(wèn)題解決的同時(shí)也給我們帶來(lái)了數(shù)學(xué)文化的熏陶.

1.4 以“數(shù)學(xué)問(wèn)題”為對(duì)象編擬試題，著重考查學(xué)生的探究能力

以數(shù)學(xué)問(wèn)題為對(duì)象編擬的試題,其主要特點(diǎn)表現(xiàn)為:關(guān)注知識(shí)的縱向深化、各部分知識(shí)之間的聯(lián)系，從數(shù)學(xué)思想方法的角度有較為普遍的作用,同時(shí)又突出對(duì)學(xué)生探究能力等思維能力的考查.

例4四邊形一條對(duì)角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線的2個(gè)端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線的2個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．如圖7，點(diǎn)P為四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PA≠PC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

(1)如圖8，畫(huà)出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)．

(2)如圖9，作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法)．

(3)如圖10，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

(4)試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況(說(shuō)出相應(yīng)四邊形的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明)．

圖7

圖8

圖9

圖10

解(1)(2)略.

(3)聯(lián)結(jié)DB，通過(guò)證明△DCF≌△BCE,可得PD=PB，即得點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

(4)①當(dāng)四邊形的對(duì)角線互相垂直且任何一條對(duì)角線不平分另一對(duì)角線或者對(duì)角線互相平分且不垂直時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；

②當(dāng)四邊形的對(duì)角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對(duì)角線的中垂線經(jīng)過(guò)另一對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；

③當(dāng)四邊形的對(duì)角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對(duì)角線的中垂線都不經(jīng)過(guò)另一條對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；

④四邊形的對(duì)角線互相垂直且至少有1條對(duì)角線平分另一對(duì)角線時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)．

編擬思路此題是整卷的壓軸題，以課題學(xué)習(xí)的形式出現(xiàn)，一方面是針對(duì)師生對(duì)課題學(xué)習(xí)的模糊認(rèn)識(shí)，以引導(dǎo)師生認(rèn)識(shí)課題學(xué)習(xí)的本質(zhì)是通過(guò)一系列的問(wèn)題(或活動(dòng))的探究過(guò)程展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的活動(dòng).我們希望該題先以簡(jiǎn)約的模型出現(xiàn)，再逐步深入，以體現(xiàn)知識(shí)間的縱向聯(lián)系和重要的數(shù)學(xué)思想方法.本題圍繞著四邊形的對(duì)角線垂直、平分這2個(gè)維度進(jìn)行思考，幾個(gè)問(wèn)題相互關(guān)聯(lián)而又逐步深入，達(dá)到考查學(xué)生能力、體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心思想的目的.

點(diǎn)評(píng)本題首先給出新定義“四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)”，之后從簡(jiǎn)單特殊的菱形入手，再到一般情形下的規(guī)律研究，體現(xiàn)從特殊到一般的規(guī)律.本題較好地考查了學(xué)生的探究問(wèn)題、歸納概括及語(yǔ)言表達(dá)的能力，突出對(duì)分類討論、數(shù)學(xué)結(jié)合、歸納猜想、轉(zhuǎn)化與化歸等重要數(shù)學(xué)思想的考查.題中所蘊(yùn)含的豐富的思想內(nèi)涵對(duì)教學(xué)有著較大的啟發(fā)和思考.

2 教學(xué)啟示

2.1 加強(qiáng)讀題訓(xùn)練，提高學(xué)生的閱讀理解能力

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，通過(guò)對(duì)近幾年中考閱卷情況的分析發(fā)現(xiàn)：讀不懂?dāng)?shù)學(xué)試題，成了學(xué)生解題思維障礙的第一道關(guān)卡.由于課題學(xué)習(xí)類試題都是通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言類似于小專題的形式向?qū)W生傳遞信息的，因此閱讀能力的培養(yǎng)凸顯重要.數(shù)學(xué)閱讀不同于一般文字材料的閱讀，因?yàn)樯婕皵?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，所以是一種十分精確的閱讀.同時(shí)數(shù)學(xué)閱讀更顯過(guò)程，途中需要數(shù)學(xué)思維能力的支撐，在閱讀中思考，在思考中閱讀.而深入的閱讀更需要知識(shí)的再現(xiàn)與聯(lián)想.

在日常教學(xué)中，可以精選近幾年中考中出現(xiàn)的課題學(xué)習(xí)類試題，引領(lǐng)學(xué)生從文字、符號(hào)、圖形著眼進(jìn)行讀題訓(xùn)練，從數(shù)學(xué)內(nèi)涵層面展開(kāi)知識(shí)間的類比與聯(lián)想，以促進(jìn)學(xué)生閱讀理解能力的提升.

2.2 教學(xué)中多經(jīng)歷活動(dòng)過(guò)程，提高學(xué)生合情推理的能力

課題學(xué)習(xí)類試題往往需要學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行觀察、動(dòng)手操作和直觀發(fā)現(xiàn)，在日常的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷這些過(guò)程，使直觀操作和邏輯推理有機(jī)地整合在一起，使推理成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù).只有提高學(xué)生的合情推理能力，學(xué)會(huì)研究問(wèn)題的方式方法，才能使學(xué)生在面對(duì)陌生的題目背景時(shí)也能自主探究，利用已有的知識(shí)和信息獨(dú)立解決問(wèn)題，體驗(yàn)探究性學(xué)習(xí)過(guò)程的樂(lè)趣.

2.3 教學(xué)中多關(guān)注數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生掌握解決問(wèn)題的方法提供依據(jù)

“課題學(xué)習(xí)”類試題常包含較多的核心知識(shí)和核心思想，數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想和手段，要從根本上解決問(wèn)題，需要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵.而數(shù)學(xué)思想常蘊(yùn)含于各個(gè)數(shù)學(xué)分支中的公理、定理、公式、法則和解決問(wèn)題中，因此學(xué)生不能明確感受到數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，從而無(wú)法真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)內(nèi)容的精華.因此教師應(yīng)有意識(shí)地挖掘教材，通過(guò)教學(xué)使數(shù)學(xué)思想從隱含滲透狀態(tài)轉(zhuǎn)化為外顯狀態(tài)，幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，更好地形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，為學(xué)生較好地解決課題學(xué)習(xí)類試題提供有力的保障.

[1] 張遠(yuǎn)增.2010年全國(guó)中考數(shù)學(xué)考試評(píng)價(jià)報(bào)告[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

[2] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

[3] 孔凡哲,潘冠.論數(shù)學(xué)試題的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2008(3)：13-15.