兩兩NQD隨機陣列加權(quán)和的弱大數(shù)定律和完全收斂性

伊艷娟,王文勝，趙麗媛

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

兩兩NQD隨機陣列加權(quán)和的弱大數(shù)定律和完全收斂性

伊艷娟,王文勝，趙麗媛

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

利用截尾和矩不等式方法研究了在剩余h-可積條件下，兩兩NQD隨機陣列加權(quán)和的弱大數(shù)定律和完全收斂性，得到兩個重要的定理，推廣和改進了已有的相應(yīng)結(jié)果.

剩余h-可積；弱大數(shù)定律；完全收斂性；兩兩NQD陣列；加權(quán)和

1 背景及預(yù)備知識

Lehmann[7]在1966年提出了兩兩NQD的概念.兩兩NQD列是包含兩兩獨立和NA序列在內(nèi)的非常廣泛的概念，其中NA列在多元統(tǒng)計分析、滲透模型和可靠性理論中有廣泛應(yīng)用.因此，研究兩兩NQD列顯得更為基本，更為重要.到目前為止，已有一些文獻討論了兩兩NQD列不同條件下的大數(shù)定律和完全收斂性定理，其中包括王和蘇[8]討論的同分布兩兩NQD列的弱大數(shù)定律，以及在混合條件下Marcinkixicz-Zygmund強大數(shù)定律和完全收斂性定理.吳[9]討論了Kolmogorov-Chung型強大數(shù)定律并去掉了文獻[8]中的混合條件，獲得了與獨立一致的完全收斂性定理.萬[10]研究了兩兩NQD列在類似Cesàro可積的條件下，獲得了與獨立情形一樣的弱大數(shù)定律和完全收斂性定理.Baek等[11]討論了h-可積條件下兩兩NQD隨機陣列加權(quán)和的完全收斂性.接著，章[12]討論了h-可積條件下兩兩NQD隨機陣列加權(quán)和帶有緩變函數(shù)的完全收斂性定理.

剩余h-可積性比h-可積性更弱，也就是說，若一個隨機變量序列是h-可積的，則一定是剩余h-可積，反之，不一定成立.但到目前為止，對剩余h-可積的研究仍然很少.本文主要研究了在剩余h-可積條件下，兩兩NQD隨機陣列加權(quán)和的弱大數(shù)定律及完全收斂性，并且推廣和改進了文獻[11]的結(jié)果，將h-可積條件下的結(jié)果推廣到了剩余h-可積條件下.

定義1[13]一個隨機變量序列{Xn,n≥1}被稱為是完全收斂到常數(shù)a，如果對任何ε>0，有

在這種情況下，我們稱Xn完全收斂到a.

定義2[7]稱隨機變量X和Y是NQD(Negatively Quadrant Dependent)的，若對任意x,y∈R，有P(X

定義3[6]{ank}為常數(shù)陣列，稱隨機變量陣列{Xnk,un≤k≤vn,n≥1}是關(guān)于{ank}剩余h-可積的，若其滿足：

(1)

和

(2)

(3)

和

(4)

引理1[9]設(shè)隨機變量X與Y是NQD的，則

1)EXY≤EXEY.

2)對任意的x,y∈R，都有P(X

3)如果f,g同為非降(或非增)函數(shù)，則f(X)與g(Y)仍為NQD的.

則有

2 主要結(jié)論及證明

定理1設(shè){Xnk,1≤k≤n,n≥1}為方差有限的行兩兩NQD隨機陣列,{ank,1≤k≤n,n≥1}是常數(shù)陣列，{h(n)，n≥1}是單調(diào)不減正常數(shù)序列,滿足h(n)↑∞(n→∞).如果滿足下列條件：

(a){Xnk}是關(guān)于常數(shù)陣列{ank}剩余h-可積的；

證明記

Xnk′=XnkI(|Xnk|≤h(n))-h(n)I(Xnk<-h(n))+h(n)I(Xnk>h(n))，
Xnk″=(Xnk+h(n))I(Xnk<-h(n))+(Xnk-h(n))I(Xnk>h(n)).

則Xnk′,Xnk″均為Xnk的不降函數(shù)，由引理1知{Xnk′}和{Xnk″}也是NQD的.對任意給定的ε>0，有

由Markov不等式及Xnk′=min(Xnk,h(n))，有

(5)

最后一個不等式由定理條件(b)及剩余h-可積條件式(3)得到.

(6)

最后一個不等式由剩余h-可積條件式(4)得到.

綜合式(5)和式(6)，定理1得證.

定理2設(shè){Xnk,1≤k≤n,n≥1}為零均值且方差有限的行兩兩NQD隨機陣列，{ank,1≤k≤n,n≥1}是常數(shù)陣列，{h(n)，n≥1}是單調(diào)不減正常數(shù)序列，滿足h(n)↑∞(n→∞).如果滿足下列條件：

(a){Xnk}是關(guān)于常數(shù)陣列{ank}剩余h-可積的；

那么，對所有的ε>0，有

(7)

和

因此，不失一般性，我們假設(shè)ank>0，Xnk′和Xnk″的記法如定理1.則由引理1可知{Xnk′}和{Xnk″}也是NQD的，令

要證式(7)，只需證明：

(8)

和

(9)

對于式(8)，由Markov不等式及方差有限,有

(10)

為證式(9),先證

考慮到EXnk=0，再根據(jù)剩余h-可積的第二個條件式(2)，可得

要證式(9),只需證

由Markov不等式，引理2及Xnk′=min(Xnk,h(n))，有

(11)

結(jié)合式(10)和(11)，定理2得證.

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WeakLawsofLargeNumbersandCompleteConvergenceforWeightedSumsofPairwiseNQDRandomVariable

YI Yan-juan, WANG Wen-sheng, ZHAO Li-yuan

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

This paper discussed weak law of large numbers and complete convergence of the weighted sums of pairwise NQD random arrays under residualh-intergrability with the truncated and means moment inequality method, obtained two important theorems, which have extended and improved corresponding results.

residualh-integrability; weak law of large numbers; complete convergence; pairwise NQD random arrays; weighted sums

2011-11-02

王文勝(1970—),男,教授,博士,主要從事概率極限理論及其應(yīng)用研究.E-mail:wswang@stat.ecnu.edu.cn

11.3969/j.issn.1674-232X.2012.04.005

O211.4MSC201060F15

A

1674-232X(2012)04-0310-05