用展開(kāi)法求正則長(zhǎng)波方程的新解

曾玉婷,陳 浩

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣東廣州 510631)

曾玉婷,陳 浩*

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣東廣州 510631)

BENJAMIN等[1]在1971年提出了正則長(zhǎng)波方程(Regularized-Long-Wave Equation)，簡(jiǎn)稱(chēng)RLW方程：

(1)

其中a,b,d為常數(shù)．

通過(guò)行波變換u(x,t)=u(ξ)，ξ=x-Vt，方程(1)可化為

(2)

其中u′=uξ=du/dξ．積分一次，得到

(3)

m+2=2m．

(4)

可得m=2．

(5)

其中G(ξ)滿足二階常微分方程，

G″+G′+μ=0，

(6)

(7)

由式(7)易得

(2α2μ+α1

(8)

及

(8α2μ+3α1

(2α1μ+6α2μ.

(9)

常數(shù)項(xiàng)：

Va(2α2μ+μα1

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

解由式(10)～(14)組成的方程組可得

(15)

此時(shí)代回式(5)可以得到方程(1)的形式解：

(16)

(17)

所以

(18)

代回式(16)可得方程的解，則

(19)

這是一個(gè)新的孤子解．

(20)

與文獻(xiàn)[9]作比較，即RLW方程中系數(shù)取為a=β,b=-1,d=-α，此時(shí)式(20)變?yōu)椋?/p>

(21)

在文獻(xiàn)[9]中當(dāng)p=2時(shí)方程由推廣的RLW方程變成RLW方程，它的解為：

(22)

解(21)與解(22)在形式上都是sech2解，只是,μ等系數(shù)可以取不同的值，這說(shuō)明求出新的孤子解(19)在滿足的條件下，可以變形得出經(jīng)典解．圖1是取一定的初始條件時(shí)的孤子解(19)的圖像.

圖1 鐘形孤子解

按孤子穩(wěn)定性的論證[10]，可以證明孤子解(19)在受到小擾動(dòng)時(shí)，孤子的能量和波形、波速都是穩(wěn)定的．

G=e(cosξ+sinξ)，

(23)

(24)

(25)

這是一個(gè)周期解．方程的圖像如圖2所示，從圖中可以看出這是一個(gè)周期解，不是孤子解．

G=e(C1+C2ξ).

(26)

則

(27)

(28)

這是有理式解,解的圖像如圖3所示，易知解(28)的能量是不穩(wěn)定的，在受到小擾動(dòng)后波形會(huì)發(fā)生變化，不是穩(wěn)定解．所以此解并無(wú)特殊意義．

圖2 周期解

圖3 有理式解

2 結(jié)論

[1] BENJAMIN T B，BONA J L，MAHONY J J．Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems[J]．Phill Trans R Soc Lond A，1972，272：47-78．

[2] MORRISON P J，MEISS J D，CAREY J R．Scattering of RLW solitary waves[J]．Physica，1984：324-336．

[3] YAN C T．Regularized long wave equation and inverse scattering transform[J]．Phys，1993，24：2618-2630．

[4] BEKIR A．New exact travelling wave solutions for regularized long-wave，phi-four and Drinfeld-Sokolov equations[J]．Int J Nonlinear Sci，2007，6：46-52

[5] LEWIS J C，TJON J A．Resonant production of solitons in the RLW equation[J]．Phys Lett A，1979，73： 63-72．

[6] RASLAN K R．A computational method for the regularized long wave (RLW) equation[J]．Appl Math Comput，2005，167(26)：1101-1118．

[7] 李志斌．非線性數(shù)學(xué)物理方程的行波解[M]．北京：科學(xué)出版社，2007．

[8] WANG M L，LI X Z，ZHANG J L．The (G′/G)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics [J]．Phys Lett A，2008，372：417．

[10] 龐小峰．孤子物理學(xué)[M]．重慶：重慶科技出版社，2000．

ZENG Yuting，CHEN Hao*

(School of Physics & Telecommunication Engineering，South China Normal University，Guangzhou 510631，China)

2011-03-18

*通訊作者，chenhao@scnu.edu.cn

1000-5463(2012)01-0072-04

O481．3

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【責(zé)任編輯 莊曉瓊】