黏土的一維非平行等效時間線流變模型

胡亞元

（浙江大學(xué)a.巖土工程研究所；b.軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室，杭州 310027）

軟土的受荷變形特性研究是巖土工程領(lǐng)域的主要研究課題之一，許多巖土力學(xué)專家對此進行了深入分 析[1－10]。張先偉和王常明[1]、薛新華和張我華[2]研究了軟土的結(jié)構(gòu)損傷特性。Crawford根據(jù)壓縮流變試驗繪制了正常固結(jié)土不同歷時的e-lgp曲線[4]，Bjerrum 建立了 黏土流變 的等時 間線模型[5]；Lerouel等提出了一維等應(yīng)變率模型[6]。Yin＆ Graham[7]，Yin等[8]建立了一維等效時間線流變模型，即Yin-Graham彈黏塑性模型（Elastic viscoplastic model，簡稱EVP model）。胡亞元依據(jù)超塑性理論（也稱巖土耗散本構(gòu)理論）論證了Yin－Graham一維等效時間線模型本質(zhì)上是準塑性的黏彈性模型[12]。余湘娟和殷宗澤整理黏土蠕變試驗結(jié)果后發(fā)現(xiàn)[13－14]，荷載對正常固結(jié)土的次固結(jié)系數(shù)有明顯影響，正常固結(jié)土不同等效時間線之間一般為不平行直線。然而，殷建華和Graham在建立一維等效時間線流變模型時，假定不同等效時間線為相互平行的直線[7－8]。顯然，殷建華和Graham一維等效時間線流變模型無法反映不平行等效時間線的流變性質(zhì)，對于等效時間線不平行時的一維流變模型，據(jù)筆者所知，文獻還未報導(dǎo)，有必要對其進行研究。

筆者首先在連續(xù)介質(zhì)流變理論框架下進一步分析殷建華和Graham所提出的等效時間的物理內(nèi)涵，建立等效時間與不可逆流變速率之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系，揭示等效時間本構(gòu)模型的建模思路是采用根據(jù)簡單加荷歷史求得的流變速率去建立能適應(yīng)復(fù)雜加荷歷史的流變模型，從而把殷建華和Graham所提出的等效時間的物理內(nèi)涵統(tǒng)一在連續(xù)介質(zhì)流變理論的框架之內(nèi)。然后根據(jù)等效時間線不平行時的性質(zhì)以及等效時間與流變速率之間的關(guān)系獲得等效時間線不平行時流變速率的計算公式，進而獲得等效時間線不平行時黏土的一維流變微分本構(gòu)方程。文后算例把非平行等效時間線流變本構(gòu)模型在驟然施加恒載條件下所獲得的理論結(jié)果與室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)[13]進行了對比，結(jié)果表明兩者較吻合，說明本文的流變模型是合理的。

1 流變速率與等效時間之間的關(guān)系分析

建立等效時間流變模型，首先需要在連續(xù)介質(zhì)的框架內(nèi)確定流變速率與等效時間物理內(nèi)涵的內(nèi)在聯(lián)系。借鑒殷建華和Graham的研究成果，本文也采用彈簧和黏性均為非線性的Maxswell黏彈性力學(xué)元件來模擬黏土的一維流變性質(zhì)[7]。Maxswell黏彈性力學(xué)元件圖為：

圖1 殷建華－Graham EVP模型的力學(xué)元件組合

根據(jù)圖1有：

一維條件下彈性應(yīng)變與應(yīng)力的一般關(guān)系為：

式中的p為有效應(yīng)力，對于一維豎向壓縮情況其為豎向有效應(yīng)力，對于一維等向壓縮情況其為有效應(yīng)力張量的球應(yīng)力。根據(jù)連續(xù)介質(zhì)理論，一維條件下流變速率的一般形式可表示為

在本文中，加荷歷史指的是應(yīng)力或應(yīng)變隨時間增加或減少的不同加荷方式；加荷路徑指的是應(yīng)力或應(yīng)變在其空間中具體的變化跡線。式（3）表達式實際暗含了以下假定：“黏土的流變速率只與應(yīng)變ε和應(yīng)力p有關(guān)，而與到達該應(yīng)變量ε和應(yīng)力p的加荷歷史無關(guān)”。即對于不同的加荷歷史，到達特定應(yīng)變量ε和應(yīng)力p時的流變速率是一致的。這一性質(zhì)告訴我們，在實際黏土力學(xué)試驗中，可以把從簡單加荷歷史中求得的流變速率規(guī)律用到復(fù)雜加荷歷史的建模工作中去。

對于巖土材料而言，由于其流變速率的本構(gòu)關(guān)系較為復(fù)雜，因此根據(jù)巖土試驗直接測定流變速率隨應(yīng)變量和有效應(yīng)力的變化關(guān)系較為困難，而測定應(yīng)變隨時間的變化規(guī)律則相對較為容易。因此在巖土試驗中一般先測定應(yīng)變隨時間的變化規(guī)律，再根據(jù)應(yīng)變隨時間的變化曲線反算流變速率。設(shè)巖土試驗中測定應(yīng)變隨時間的變化曲線時選定的應(yīng)力加荷歷史為：

式中的s為應(yīng)力歷史選擇因子，對于一條具體的應(yīng)力加荷歷史而言s值是恒定的；當(dāng)s變化時，可以形成建模所需的其它應(yīng)力加荷歷史。把式（4）代入到式（3）后再代入到式（1）得：

式（5）中函數(shù)對變量的偏微分函數(shù)采用了函數(shù)下標是其變量的標記方式來表示。顯然，對于一條具體的應(yīng)力歷史s恒定，式（5）是一個一元微分方程，對于t＝0時的初始應(yīng)變值ε0＝ε0（s），根據(jù)一元微分方程理論可知式（5）必存在解，其形式可表示為[15]：

式（6）表明，應(yīng)變ε、應(yīng)力歷史選擇因子s和時間t具有唯一關(guān)系。

現(xiàn)采用應(yīng)變ε和應(yīng)力p作為坐標構(gòu)成一個面N（p，ε），則由式（3）可知流變速率是N（p，ε）面上的一個函數(shù)。而由式（4）和式（6）又可知，當(dāng)應(yīng)力歷史選擇因子s和t＝0時的初始應(yīng)變值ε0＝ε0（s）恒定時，根據(jù)式（4）所確定的應(yīng)力p和根據(jù)式（6）所確定的應(yīng)變ε組成的點 （p，ε）在N（p，ε）面上形成了一條隨時間變化的曲線。當(dāng)s變化時，該曲線在N（p，ε）面上也隨著發(fā)生移動，從而在N（p，ε）面的某個區(qū)域內(nèi)形成一個面R（p，ε）。顯然有R（p，ε）?N（p，ε），把面R（p，ε）稱為應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系面，簡稱本構(gòu)面R（p，ε）。

從另一視角能更深入地理解本構(gòu)面R（p，ε）在反算流變速率中所具有的重要作用。由式（4）可知，選擇不同的s可以形成不同的應(yīng)力隨時間變化曲線即不同的應(yīng)力加荷歷史，因此通過改變s可以形成一個應(yīng)力歷史簇 〈p〉，記為：〈p〉＝ 〈p ＝Γ（s，t），s∈可選擇域〉，根據(jù)該應(yīng)力歷史簇〈p〉中的每一條具體的應(yīng)力歷史，由式（6）可求得相應(yīng)的應(yīng)變歷史線，從而形成與應(yīng)力歷史簇〈p〉相對應(yīng)的應(yīng)變隨時間的變化曲線簇 〈ε〉，簡稱應(yīng)變歷史簇 〈ε〉，即：〈ε〉＝[ε＝Η[s，t，ε0（s）]，s∈ 可選擇域]。顯然，根據(jù)應(yīng)力歷史簇〈p〉和與之相對應(yīng)的應(yīng)變歷史簇〈ε〉可構(gòu)成一個坐標為 （p，ε）的面，即為上文所簡稱的本構(gòu)面R（p，ε），現(xiàn)在我們來證明，當(dāng)函數(shù)ε＝Η[s，t，ε0（s）]和p＝Γ（s，t）關(guān)于自變量s和t的Jacobian行列式的值不為零時，根據(jù)應(yīng)力歷史簇〈p〉和應(yīng)變歷史簇〈ε〉可以反推流變速率關(guān)系式式（3）。推導(dǎo)過程如下：

根據(jù)應(yīng)變隨時間變化線簇ε＝Η[s，t，ε0（s）]可得：

根據(jù)應(yīng)力歷史簇特性p＝Γ（s，t）又有：

根據(jù)式（1）有：

同時，根據(jù)多元函數(shù)論可知，當(dāng)函數(shù)ε＝Η[s，t，ε0（s）]和p＝Γ（s，t）關(guān)于自變量s和t的Jacobian行列式值不為零時，則存在唯一反函數(shù)Ω（ε，p）和Ξ（ε，p）[16]，使得：

把式（9）中的s和t用式（10）代替就可以求得式（3）。式（9）和式（10）表明，當(dāng)應(yīng)力歷史簇 〈p〉和與之相對應(yīng)的應(yīng)變歷史簇 〈ε〉構(gòu)成的本構(gòu)面R（p，ε）窮盡實際可能的一切本構(gòu)點時，那么根據(jù)應(yīng)力歷史簇〈p〉和與之相對應(yīng)的應(yīng)變歷史簇〈ε〉可求得實際需要的任意本構(gòu)點的流變速率。

值得注意的是〈p〉雖然是一個應(yīng)力歷史簇，但該應(yīng)力歷史簇卻未包括所有的應(yīng)力歷史。如黏土蠕變試驗常用的恒載簇〈p〉＝〈p＝s，s∈可選擇域〉，式中s一旦選定即為不隨時間變化的常數(shù)，它顯然無法包含類似p＝s＋at這樣的應(yīng)力歷史的。不過，雖然力學(xué)試驗所選定的應(yīng)力歷史簇〈p〉不能包含實際可能的其它應(yīng)力歷史，但不同應(yīng)力歷史間的流變速率與應(yīng)力歷史無關(guān)，因此根據(jù)應(yīng)力歷史簇〈p〉及其相應(yīng)的應(yīng)變歷史簇〈ε〉所求得的流變速率，卻可以用以建立適用于其它任何應(yīng)力歷史的流變本構(gòu)模型。因此可見，當(dāng)根據(jù)土工試驗直接總結(jié)流變速率關(guān)系式式（3）存在困難時，可以采用應(yīng)力歷史簇〈p〉和與其相應(yīng)的由土工試驗測定的應(yīng)變歷史簇〈ε〉反算流變速率并由此間接建立巖土的流變模型。

眾所周知，應(yīng)變隨時間的變化規(guī)律與應(yīng)力歷史密切相關(guān)，對流變模型而言與應(yīng)力歷史無關(guān)的是流變速率而不是實際時間，因此應(yīng)力和應(yīng)變歷史簇中的時間t并不同于其他一般應(yīng)力歷史的時間t，一般應(yīng)力歷史的時間t與應(yīng)力歷史簇間的時間t之間的關(guān)系只能通過流變速率式（3）建立聯(lián)系，而應(yīng)力和應(yīng)變歷史簇中的時間t的作用僅是計算流變速率式（3）。如果把應(yīng)力歷史簇 〈p〉和應(yīng)變歷史簇 〈ε〉中計算流變速率所用的時間和一般應(yīng)力歷史條件下的持續(xù)時間均采用相同符號t來表示就會相互混淆。為區(qū)別這兩個時間，考慮到時間在應(yīng)力歷史簇 〈p〉和應(yīng)變歷史簇〈ε〉中的作用是計算流變速率，同時也強調(diào)應(yīng)力歷史簇〈p〉和應(yīng)變歷史簇〈ε〉在計算流變速率時的重要性，在下文中，筆者把應(yīng)力歷史簇〈p〉和應(yīng)變歷史簇〈ε〉所涉及的時間t用大寫的Te來表示，并把Te稱為應(yīng)力歷史簇 〈p〉在初始時刻ε（Te＝0）＝ε0（s）下的等效時間，把初始時刻線ε（Te＝0）＝ε0（s）稱為參考等效時間線。如果等效時間的大小與所選擇的參考等效時間線無關(guān)，則把該等效時間稱為絕對等效時間，并把它記為T[12]。顯然，根據(jù)等效時間的定義，當(dāng)實際應(yīng)力歷史屬于應(yīng)力歷史簇〈p〉和初始時刻線為參考等效時間線時，有

當(dāng)〈p〉為恒載簇〈p＝s，s∈ 可選擇域〉時；由于p＝s，參考等效時間線表達式中的s用p替換后可寫為ε（Te＝0）＝ε0（p），其式即為Yin-Graham一維EVP模型中壓縮線表達式ε＝＋（λ／υ）ln（p／p0）的推廣[4]；此時應(yīng)變歷史簇 〈ε〉也可用p表示為ε＝Η[p，Te，ε0（p）]，它是Yin-Graham一維EVP模型中應(yīng)力、應(yīng)變和等效時間唯一關(guān)系表示式（見文獻[7]中的式（4））的推廣。由此可見，本文等效時間及其參考等效時間線的定義包含了殷建華和Graham對等效時間及其參考等效時間線的定義，殷建華和Graham流變模型中的等效時間及其參考等效時間線是本文的特殊形式。

2 恒載簇作用下黏土流變的不平行等效時間線體系

土工試驗常采用恒載簇〈p＝s〉來研究黏土的流變特性，當(dāng)s選擇不同數(shù)值時形成了不同恒載作用下的流變試驗。由于恒載簇中的應(yīng)力歷史滿足p＝s，故下文為行文簡便直接用p來代替s。Crawford[4]和余湘娟等[13－14]根據(jù)土工實驗證明，黏土流變的等效時間線是相互不平行的直線?，F(xiàn)在利用這一性質(zhì)來推導(dǎo)函數(shù)ε＝Η[p，Te，ε0（p）]的具體形式。

等效時間線不平行時的示意圖見圖2，把恒載作用下流變試驗中正常固結(jié)黏土蠕變變形時間為T0時的總應(yīng)變隨應(yīng)力變化線作為等效時間Te＝0的參考等效時間線ε（Te＝0）＝ε0（p），把p0作為參考應(yīng)力，把p0在參考等效時間線上所對應(yīng)的應(yīng)變ε0作為參考應(yīng)變，令：υ＝1＋et0為比容，et0為土體的初始孔隙比。根據(jù)圖2中Te＝0時的參考等效時間壓縮線，A點的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中的λ0為參考等效時間壓縮線上的壓縮系數(shù)。

圖2 黏土流變的等效時間線體系

根據(jù)恒載p0條件下的流變試驗，B點的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中的ψ0為參考應(yīng)力p0條件下的蠕變系數(shù)。根據(jù)Te＝0時的參考時間壓縮線和恒載p條件下的流變試驗，C點的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中的ψp（p）為恒載p條件下的蠕變系數(shù)。另根據(jù)恒載p0條件下的流變試驗和等效時間Te壓縮線，C點的應(yīng)變又有：

式中的λT（Te）為等效時間Te壓縮線上的壓縮系數(shù)。根據(jù)應(yīng)力、應(yīng)變和等效時間具有唯一性的性質(zhì)，式（14a）和式（14b）計算的應(yīng)變應(yīng)相等，由此得：

注意到λT是關(guān)于等效時間Te的函數(shù)而ψp是關(guān)于應(yīng)力p的函數(shù)，因此式（15）中等式左邊僅是等效時間的函數(shù)，等式右邊僅是應(yīng)力p的函數(shù)，故該等式只有左右是常數(shù)才有可能成立，令該常數(shù)為ζ，有：

式中的常數(shù)ζ反映了壓縮指數(shù)隨等效時間和蠕變系數(shù)隨應(yīng)力的變化規(guī)律，由式（16）可得：

把式（17a）代入到式（14b）或把式（17b）代入到式（14a）均可得：

在推導(dǎo)式（19）時并未對C點作任何限定，因此式（19）對于任意的應(yīng)力p和等效時間Te均成立，故式（19）是ε＝Η[p，Te，ε0（p）]當(dāng)黏土等效時間線不平行時的具體函數(shù)表達式。注意到當(dāng)應(yīng)力歷史屬于應(yīng)力歷史簇時式（11）成立，故根據(jù)式（9）由式（18）和式（11）得：

同時根據(jù)式（18）又可得：

把式（19）代入到式（20）得：

盡管式（21）是基于特定的應(yīng)力歷史簇〈p〉獲得的，但根據(jù)式（3）流變速率只與應(yīng)力p和應(yīng)變ε有關(guān)而與應(yīng)力歷史無關(guān)的性質(zhì)，故它可以用于其它任意應(yīng)力歷史所涉及的流變速率計算。

黏土的彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可表示為：

式中的κ為回彈指數(shù)，由式（22）可得：

把式（21）和式（23）代入式（1）有：

式（24）即是等效時間線不平行時的準塑性黏彈性本構(gòu)方程。

根據(jù)物理意義可知，當(dāng)ζ＝0時非平行等效時間線退化為平行等效時間線。本文的本構(gòu)方程將退化為Yin-Graham一維流變模型。把ζ＝0代入到式（24）得：

除采用不同的符號表示物理參數(shù)外，式（25）與Yin-Graham一維流變模型相同，這說明推導(dǎo)是正確的。

與Yin-Graham 一維流變模型相類似[6]，如令：

則式（13）—（18）中的T0＋Te可用T 來代替。式（18）是反映等效時間線ε＝Η[p，Te，ε0（p）]的函數(shù)表達式，把式（18）中的T0＋Te用T來代替后得：

先把式（26）代入到式（17a）和式（17b）后，再根據(jù)式（27）、式（17a）和式（17b）得：

式（28）表明，任何一條等效時間線的T值大小與T0值的選擇無關(guān)[12，18]，即與選擇哪一條等效時間線為參考等效時間線無關(guān)，因此T為絕對等效時間。

在土工試驗室內(nèi)常用孔隙比來代替應(yīng)變量，故采用e＝e0－υ（ε－ε0）把式（27）和（24）變換得：

設(shè)t＝0時軟土的初始孔隙比為e＝et0，初始有效應(yīng)力為p＝pt0。當(dāng)土體驟然施加附加有效應(yīng)力pf即當(dāng)p＝pt0驟然增加到pA＝pt0＋pf時，根據(jù)式（30）可求得孔隙比隨時間的變化曲線為：

3 模型參數(shù)的確定及驗證

余湘娟等采用室內(nèi)試驗研究了汕揭高速公路工程中軟土的壓縮流變特性[13]。根據(jù)其試驗數(shù)據(jù)[13]繪制的恒有效應(yīng)力為100kPa、200kPa、400kPa和1200kPa的應(yīng)變隨時間變化曲線如圖3所示，他們發(fā)現(xiàn)軟土的蠕變系數(shù)與軟土壓力有關(guān)，軟土的等效時間線一般是不平行線。筆者將根據(jù)它們的試驗數(shù)據(jù)來確定模型參數(shù)；同時，當(dāng)有效應(yīng)力驟然加載到800kPa和1600kPa時，其應(yīng)變隨時間的變化曲線如圖6所示。筆者將用它們的試驗數(shù)據(jù)與根據(jù)式（31）計算的理論預(yù)測值相對比，以驗證本文本構(gòu)模型的合理性。

根據(jù)圖3的試驗數(shù)據(jù)，圖4給出了不同等效時間的e-lgp曲線，從圖中可以看出，不同等效時間的e-lgp曲線是不平行的。這些e-lgp曲線的壓縮指數(shù)隨絕對等效時間的變化圖如圖5所示。根據(jù)本文第一節(jié)“流變速率與等效時間之間的關(guān)系分析”中的理論研究，建立流變速率與等效時間的定量關(guān)系時需要選擇一個參考等效時間線。理論上，任意一條等效時間線均可以作為參考時間線。但在土力學(xué)中，室內(nèi)土工參數(shù)一般按照室內(nèi)試驗歷時1.0d來測定的，因此，本文選絕對等效時間T＝1.0d線為參考絕對等效時間T0線，故T0＝1.0d；同理，任何一個壓力均可以取為參考有效壓力，但鑒于在經(jīng)典土力學(xué)中，根據(jù)100kPa至200kPa引起的孔隙比變化量來計算土體的壓縮系數(shù)，故本文選p0＝100kPa為參考有效應(yīng)力，據(jù)圖3e-lgt曲線可知p0＝100kPa時的蠕變系數(shù)為ψ0＝0.01387；根據(jù)試驗數(shù)據(jù)可得p0＝100kPa在參考絕對等效時間T0＝1.0d線所對應(yīng)的參考孔隙比為e0＝2.151，壓縮指數(shù)為λ0＝0.3737。根據(jù)圖5和式（17a）可知ζ＝0.0038，為閱讀方便，把上述模型參數(shù)列于表1。

表1 以T0＝1.0d線為基準的模型計算參數(shù)

圖3 各級恒有效應(yīng)力作用下e-lgt試驗曲線[8]

圖4 不同等效時間線的e-lgp關(guān)系曲線

圖5 壓縮指數(shù)λ隨絕對等效時間變化圖

根據(jù)表1參數(shù)和式（31）得到的理論計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)對比圖如圖6所示，從圖6可以看出，試驗結(jié)果和理論預(yù)測值較為接近，說明該文建立的非平行等效時間線流變模型較合理地反映了軟土的流變特性。

從表1還可以看出，ζ＝0.0038。當(dāng)?shù)刃r間歷時較短時，壓縮指數(shù)隨等效時間變化的影響較小，但由于民用建筑的設(shè)計年限為50a，高速鐵路路基的設(shè)計年限為100a，據(jù)式（17a）知在此期間軟土的壓縮指數(shù)數(shù)值減少了Δλ＝0.038，約占λ0的10%，同時，當(dāng)土壓力從p＝100kPa變化到p＝1200kPa時，據(jù)式（17b）知蠕變系數(shù)減少了Δψ＝0.0095，約占ψ0的68%，說明當(dāng)?shù)刃r間較長和土壓力變化較大時，一般不能忽略非平行等效時間線特性對壓縮指數(shù)特別是蠕變系數(shù)的影響。

圖6 驟然加載到800kPa和1600kPa時試驗數(shù)據(jù)與理論預(yù)測值對比圖

值得指出的是，在等效時間線不平行的情況下，當(dāng)選擇不同等效時間和不同有效壓力作為參考等效時間和參考有效壓力時，相應(yīng)的ψ0、λ0和e0在數(shù)值上會發(fā)生變化，但這些ψ0、λ0和e0之間在數(shù)值上服從公式式（17a）、（17b）和式（18），故依據(jù)這些ψ0、λ0和e0建立的等效時間流變模型可以按照公式式（17a）、（17b）和式（18）相互轉(zhuǎn)化，故盡管它們的數(shù)值不同，但它們反映的等效時間流變性質(zhì)是相同的，它們體現(xiàn)的是相同的等效時間流變模型。同時，與經(jīng)典土力學(xué)一樣，在均質(zhì)試樣中，試樣厚度對ψ0、λ0和e0的取值無影響。

4 結(jié) 論

從連續(xù)介質(zhì)流變理論出發(fā)，研究了等效時間與流變速率之間的內(nèi)在聯(lián)系，并建立了等效時間線不平行時黏土的一維準塑性的黏彈性模型，獲得了以下研究成果：

1）在非線性流變模型中，當(dāng)流變速率只與應(yīng)變量和應(yīng)力有關(guān)時，可以把簡單加荷歷史獲得的流變速率用于復(fù)雜加荷歷史地建模工作。等效時間的物理內(nèi)涵是簡單加荷歷史簇中反算流變速率所采用的持續(xù)時間。

2）利用等效時間的物理內(nèi)涵，建立了黏土非平行等效時間線的一維流變模型。該模型能夠退化為等效時間線平行時的Yin-Graham一維流變模型。根據(jù)余湘娟等試驗數(shù)據(jù)確定了模型參數(shù)，并用與確定模型參數(shù)無關(guān)的另二組試驗數(shù)據(jù)對理論預(yù)測值進行了對比，試驗結(jié)果與理論預(yù)測值較為吻合，驗證了模型的合理性。

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