改進(jìn)的遺傳算法在渡槽結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

鄭重陽(yáng)，彭 輝，閆秦龍，劉 帥

(三峽大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，湖北宜昌 443002)

1 工程背景

新疆尼勒克一級(jí)水電站位于新疆伊犁喀什河尼勒克盆地河段，在新疆尼勒克縣境內(nèi)，尼勒克溝渡槽為三級(jí)建筑物。根據(jù)原設(shè)計(jì)方案，渡槽總長(zhǎng)度440m，單跨40.0m，共計(jì)11跨。槽身為單槽矩形，矩形斷面底寬8.4m，設(shè)計(jì)水深4.61m，過(guò)槽流速3.56m/s。槽身結(jié)構(gòu)為三向預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)，渡槽槽身由側(cè)墻、底板、槽頂橫梁及交通橋組成。渡槽槽身側(cè)墻及槽身底板采用C50預(yù)應(yīng)力混凝土材料，渡槽拉桿采用C30混凝土材料。渡槽設(shè)計(jì)流量為138.8 m3/s，渡槽洪水標(biāo)準(zhǔn)30年一遇設(shè)計(jì)時(shí)，最大流量為350.38 m3/s，100年一遇校核時(shí)，最大流量為415.15m3/s。預(yù)應(yīng)力鋼絞線均為直線型布置?？v向:側(cè)墻布設(shè)14束預(yù)應(yīng)力鋼絞線，其中有8束從跨中到端部逐漸向上彎起，其余6束布置在下部馬蹄部位，底板布設(shè)6束 鋼絞線。橫向:底板受拉、受壓區(qū)每米配置3束預(yù)應(yīng)力鋼絞線(即間距為33cm)，側(cè)墻在受拉區(qū)(臨水側(cè))每米配置3束鋼絞線。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是20世紀(jì)60年代初發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新學(xué)科［1］，通過(guò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠使結(jié)構(gòu)達(dá)到既經(jīng)濟(jì)又安全的要求，具有重要的工程意義和廣闊的發(fā)展前景。近年來(lái)，遺傳算法在優(yōu)化設(shè)計(jì)方面已得到了成功的應(yīng)用。本文將采用改進(jìn)的遺傳算法，利用Fortran語(yǔ)言編制計(jì)算程序，在保障渡槽安全運(yùn)行的前提下以工程造價(jià)最低為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)渡槽槽身進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 改進(jìn)的遺傳算法

2.1 遺傳算法的基本原理

遺傳算法是一種基于生物界自然選擇和遺傳機(jī)制的隨機(jī)化搜索最優(yōu)解的方法。根據(jù)所求解的問(wèn)題，算法開(kāi)始時(shí)先隨機(jī)產(chǎn)生一些候選解，并按照預(yù)定的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算每個(gè)候選解的適應(yīng)度，根據(jù)適應(yīng)度大小對(duì)各候選解進(jìn)行選擇、交叉、變異等一系列遺傳操作，剔除適應(yīng)度低的候選解，留下適應(yīng)度高的候選解，從而得到新的性能更優(yōu)的候選解集。由于新的候選解集的成員是上一代群體的優(yōu)秀者，繼承了上一代候選解的優(yōu)良性能，因而明顯優(yōu)于上一代。這一過(guò)程反復(fù)操作，就會(huì)向著更優(yōu)解的方向進(jìn)化，直至達(dá)到預(yù)定的優(yōu)化收斂指標(biāo)［2］。

2.2 遺傳算法的改進(jìn)

常規(guī)的優(yōu)化方法大致包括為數(shù)學(xué)規(guī)劃法、最優(yōu)準(zhǔn)則法和仿生學(xué)法。遺傳算法作為一種仿生學(xué)算法，能夠較好地解決非線性約束問(wèn)題和離散型變量的優(yōu)化問(wèn)題，可以更有效地找到全局最優(yōu)解，且不依賴(lài)于問(wèn)題模型的特性［3］。但是，傳統(tǒng)遺傳算法僅適合設(shè)計(jì)變量為離散型的情況，局部搜索能力不足，同時(shí)存在著精度和計(jì)算量之間的矛盾，效率不高。為了解決這些問(wèn)題，提高其用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的可靠性和效率，本文針對(duì)該渡槽工程的實(shí)際情況，采用以下幾點(diǎn)改進(jìn)措施。

2.2.1 有關(guān)適應(yīng)度函數(shù)的擬定

傳統(tǒng)的遺傳算法不能將所求優(yōu)化問(wèn)題的約束條件反映出來(lái)，而本渡槽工程的結(jié)構(gòu)優(yōu)化屬于多約束非線性極小化尋優(yōu)問(wèn)題，為了體現(xiàn)出約束條件，本文采用簡(jiǎn)單懲罰函數(shù)確定適應(yīng)度函數(shù)的改進(jìn)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)其約束，即將適應(yīng)度函數(shù)取為

式中:f(s)為適應(yīng)度函數(shù);F(X)為目標(biāo)函數(shù)，即渡槽結(jié)構(gòu)的最小造價(jià)值;k為懲罰系數(shù)。懲罰系數(shù)的選取一般根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選取不同的值。通常選取的原則是:當(dāng)X不是最優(yōu)解時(shí)，以一定比例降低其適應(yīng)度值［4］。這樣就能夠保證遺傳算法從可行域和不可行域兩個(gè)方向向最優(yōu)解逼近，有利于找到全局最優(yōu)解。因?yàn)樵谶x擇操作中采取錦標(biāo)賽選擇方法，故可以采用簡(jiǎn)單的懲罰因子k而無(wú)須考慮正負(fù)符號(hào)的影響。

2.2.2 基于小生境技術(shù)的改進(jìn)

小生境技術(shù)的工作原理是先對(duì)每一代需要優(yōu)化的新個(gè)體進(jìn)行分類(lèi)，然后在每個(gè)類(lèi)別中選出適應(yīng)度較大的個(gè)體作為此類(lèi)別的最優(yōu)代表重新組成一個(gè)新種群，再在這個(gè)新種群中和不同種群之間運(yùn)用雜交、變異的方式再次產(chǎn)生新一代個(gè)體群，同時(shí)通過(guò)預(yù)選機(jī)制或排擠機(jī)制、共享機(jī)制完成選擇操作［5］。

本文引進(jìn)了基于共享機(jī)制的小生境技術(shù)，其基本做法是通過(guò)反映個(gè)體間相似程度的共享函數(shù)調(diào)整每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度，種群在進(jìn)化過(guò)程中，算法根據(jù)調(diào)整后的新適應(yīng)度進(jìn)行選擇操作，從而維護(hù)了種群的多樣性，創(chuàng)造出小生境的進(jìn)化環(huán)境［6］。共享函數(shù)是表示兩個(gè)體間關(guān)系密切程度的一個(gè)函數(shù)，記為S(dij)，其中dij是表示個(gè)體i和j之間的某種關(guān)系。個(gè)體之間的海明距離(即兩個(gè)相同長(zhǎng)度的基因序列對(duì)應(yīng)位置的不同編碼的個(gè)數(shù))就可以定義為一種共享函數(shù)，其個(gè)體間的密切程度體現(xiàn)在基因型和表現(xiàn)型的相似度上。若個(gè)體之間共享函數(shù)值較大，則說(shuō)明個(gè)體之間相似度好;反之，當(dāng)個(gè)體之間共享函數(shù)值較小，其個(gè)體之間相似度就較差。設(shè)S為共享函數(shù)，Si表示個(gè)體i在種群中的共享度，則有

在計(jì)算了各個(gè)體的共享度后，個(gè)體的適應(yīng)度f(wàn)(i)依據(jù)下式調(diào)整為fs(i)=f(i)/Si，這種選擇機(jī)制限制了種群內(nèi)某一特殊“物種”的無(wú)控制增長(zhǎng)［6］，使遺傳算法程序具有很高的全局尋優(yōu)能力和收斂速度，同時(shí)更好地保持解的多樣性，確保優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)性能。

2.2.3 有關(guān)編碼與解碼操作的改進(jìn)

本優(yōu)化程序采用的是二進(jìn)制編碼方式。在變量的編碼與解碼過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)個(gè)體子串解碼后所表達(dá)的個(gè)數(shù)超出了自變量可取值個(gè)數(shù)的限值，即出現(xiàn)多余碼的問(wèn)題［4］。對(duì)于這種多余碼問(wèn)題的處理，一般可用數(shù)字0來(lái)補(bǔ)位，但這將造成大量重復(fù)的分析次數(shù)，大大增加其搜索的時(shí)間。經(jīng)過(guò)改進(jìn)的優(yōu)化程序把超出自變量取值范圍的值自動(dòng)剔除出去，從而有效地解決了多余碼的問(wèn)題，具體程序操作方法如下:

(1)判斷程序中輸入的設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)是否等于2n，若不等于2n，則判斷其值是否大于設(shè)計(jì)變量的最大上限值。

(2)判斷程序中輸入的設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)是否小于2n，若小于2n，則不存在多余碼的問(wèn)題，就不需要進(jìn)行以下操作。

(3)若程序中輸入設(shè)計(jì)變量的可取值個(gè)數(shù)大于2n，則存在多余碼的問(wèn)題，此時(shí)調(diào)用程序中的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器(一個(gè)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的子程序)，并生成一個(gè)0～1之間的隨機(jī)數(shù)R。

(4)再由式SR=Npossible×R(Npossible為離散變量最大可取值個(gè)數(shù))計(jì)算SR值，并將其取整，記為IR。

(5)將IR作為設(shè)計(jì)變量所對(duì)應(yīng)的取值編號(hào)，此時(shí)IR的最大值為Npossible，并將計(jì)算變量解碼為實(shí)際值，這時(shí)其值就將在變量約束的界限范圍內(nèi)，這樣即可解決出現(xiàn)多余碼的問(wèn)題。

2.2.4 有關(guān)選擇操作的選取

采用錦標(biāo)賽選擇方法，該方法簡(jiǎn)單方便，其操作方法是:從群體中任意選擇一定數(shù)目的個(gè)體，將其中適應(yīng)度最高的個(gè)體保留到下一代，反復(fù)執(zhí)行這一過(guò)程，直到保留到下一代的個(gè)體數(shù)達(dá)到預(yù)先設(shè)定的數(shù)目為止［7］。該方法保證了遺傳算法收斂到全局最優(yōu)解和進(jìn)化過(guò)程中出現(xiàn)的最優(yōu)個(gè)體不被遺傳操作所破壞［4］。它只與適應(yīng)度值的排序有關(guān)，因此不用確保程序運(yùn)行時(shí)適應(yīng)度函數(shù)必須為正值。鑒于此可以采用上述的適應(yīng)度函數(shù)中的懲罰因子k。可見(jiàn)其拓展了遺傳算法的應(yīng)用范圍。

2.2.5 有關(guān)交叉操作的選取

在進(jìn)行交叉操作時(shí)，交叉概率pc的選取是關(guān)鍵。pc越大，產(chǎn)生新個(gè)體的速度就越快，但是過(guò)大，遺傳模式越容易被破壞;過(guò)小則搜索速度緩慢，以至停滯不前［8］。本文pc的選取參照了相似優(yōu)化工程的案例，設(shè)定為pc=0.6。

2.2.6 有關(guān)變異操作的改進(jìn)

在二進(jìn)制編碼操作過(guò)程中，進(jìn)化后期易出現(xiàn)“海明懸崖”的現(xiàn)象［9］?！昂Ｃ鲬已隆笔侵阜N群中個(gè)體離散值在表現(xiàn)型上很相近，但在基因型上卻相距甚遠(yuǎn)的現(xiàn)象。因?yàn)檫z傳算法搜索中處理的對(duì)象是個(gè)體變量的編碼，并不是個(gè)體變量本身。如果我們將那些在表現(xiàn)型上雖然與最優(yōu)解相近，但基因型上卻相差甚大的解，就認(rèn)為是最優(yōu)解的個(gè)體，那么計(jì)算得到的并不是真正的最優(yōu)解。對(duì)于二進(jìn)制操作的這一缺點(diǎn)，本文采用一種改進(jìn)的變異操作——“漸變”操作。在進(jìn)行變異操作時(shí)，人為加入一種按一定概率進(jìn)行的“漸變”變異操作，首先將個(gè)體的基因型解碼為表現(xiàn)型，再以當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)為初始點(diǎn)進(jìn)行“前進(jìn)”或“后退”搜索，若能找到比當(dāng)前點(diǎn)更優(yōu)的設(shè)計(jì)點(diǎn)，則將此點(diǎn)編碼為二進(jìn)制，繼續(xù)進(jìn)行進(jìn)化計(jì)算［4］。這樣可有效地避免出現(xiàn)“海明懸崖”的現(xiàn)象。

3 工程應(yīng)用

3.1 建立結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

根據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)模型的分析，對(duì)于簡(jiǎn)支式槽身，計(jì)算控制截面為跨中截面。因此，只需對(duì)該截面的幾何尺寸及配筋量進(jìn)行優(yōu)化，即可保證槽身整體結(jié)構(gòu)的最優(yōu)。為此，針對(duì)新疆尼勒克溝渡槽槽身提出如圖1所示的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。

圖1 槽身優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型圖Fig.1 Sketch of the mathematical model of optimized design of aqueduct body

根據(jù)選擇的矩形渡槽截面形狀，槽身橫截面的幾何尺寸可由6個(gè)參數(shù)和9個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量確定。其中a1，a2，…，a6對(duì)結(jié)構(gòu)的受力影響較小，可根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)及運(yùn)行、施工等技術(shù)要求提前確定。本文參照原設(shè)計(jì)方案值選取，具體取值如下:a1=0.5m，a2=0.5m，a3=0.5m，a4=0.1m，a5=0.75m，a6=1.75m。X1，X2，…，X9直接關(guān)系到槽身受力狀態(tài)、使用性能及工程造價(jià)等關(guān)鍵性問(wèn)題，確定為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。各優(yōu)化變量的意義是:變量X1，X2，…，X6確定渡槽的幾何尺寸和結(jié)構(gòu)形狀(單位以 m計(jì))，按等間距(0.01m)的離散變量處理;X7表示渡槽槽身縱向預(yù)應(yīng)力鋼筋束的根數(shù)，為整型設(shè)計(jì)變量;X8表示渡槽槽身橫向預(yù)應(yīng)力鋼筋束的根數(shù)，為整型設(shè)計(jì)變量;X9表示渡槽槽身豎向預(yù)應(yīng)力鋼筋束的根數(shù)，為整型設(shè)計(jì)變量。即優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為

取單位長(zhǎng)度槽身的造價(jià)為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)［10］，即

式中:Ch，Vh為土的單價(jià)(元/m3)和方量(m3);Cg，Wg分別為預(yù)應(yīng)力鋼筋的單價(jià)(元/t)和質(zhì)量(t)。

3.2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化成果及分析

利用上述改進(jìn)的遺傳算法，采用Fortran語(yǔ)言編制優(yōu)化程序，程序的基本流程為:輸入初始數(shù)據(jù)→產(chǎn)生初始種群→計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度值→執(zhí)行小生境→選擇→交叉→變異→判斷是否滿足優(yōu)化準(zhǔn)則→若滿足優(yōu)化準(zhǔn)則→產(chǎn)生最優(yōu)個(gè)體→程序結(jié)束，若不滿足優(yōu)化準(zhǔn)則，則再次計(jì)算變異后的個(gè)體適應(yīng)度值，重復(fù)以上過(guò)程，直至程序結(jié)束。

根據(jù)上述結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，利用編制的結(jié)構(gòu)優(yōu)化程序?qū)π陆崂湛藴先蝾A(yù)應(yīng)力矩形渡槽槽身進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，其各材料的單價(jià)參考如下:C50混凝土單價(jià)為500元/m3，鋼絞線重1.101kg/m，預(yù)應(yīng)力鋼絞線單價(jià)為9 000元/t。其優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表1和表2。

表1 優(yōu)化設(shè)計(jì)變量值Table 1 Values of optimal design variables

表2 單位長(zhǎng)度工程量和造價(jià)Table 2 Construction quantities and costs of aqueduct(in unit length)

由表2可以看出:優(yōu)化方案較原方案相比，結(jié)構(gòu)自重減小了15.4%，工程造價(jià)節(jié)省約12%。以上只是以單位槽長(zhǎng)計(jì)算的結(jié)果，本渡槽單跨40m，共計(jì)11跨，故共可節(jié)約混凝土1 227.6m3，節(jié)約鋼絞線13.2 t，節(jié)省造價(jià)73.26萬(wàn)元，同時(shí)結(jié)構(gòu)自重與水重的比值由原設(shè)計(jì)的1.03降到0.87?？梢?jiàn)，渡槽優(yōu)化設(shè)計(jì)方案取得了顯著的經(jīng)濟(jì)效益。

3.3 通過(guò)靜、動(dòng)力分析驗(yàn)證安全性

因三向預(yù)應(yīng)力槽身具有明顯的三維受力特征，故還需運(yùn)用ANSYS軟件對(duì)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)安全性能進(jìn)行三維有限元靜、動(dòng)力分析，以驗(yàn)證優(yōu)化方案的可行性。原設(shè)計(jì)方案和優(yōu)化方案下渡槽槽身跨中截面最大應(yīng)力和最大豎向位移的計(jì)算結(jié)果表明:槽身跨中截面處各種工況下都能處于壓應(yīng)力的范圍內(nèi)。原設(shè)計(jì)方案在有水工況下最大撓度值均發(fā)生在槽身上部連接板位置處，而優(yōu)化方案最大豎向撓度都發(fā)生在底板處。可見(jiàn)，優(yōu)化方案不僅優(yōu)化了截面尺寸及配筋，還改善了結(jié)構(gòu)的受力性能。從而說(shuō)明，經(jīng)優(yōu)化后的槽身結(jié)構(gòu)在靜力狀態(tài)下安全性能較原方案更優(yōu)。槽身自振圓頻率(取前10階振動(dòng)模態(tài))和動(dòng)力主應(yīng)力計(jì)算結(jié)果表明:在水平地震荷載作用下，優(yōu)化設(shè)計(jì)方案經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化及三向預(yù)應(yīng)力筋的重新配束后較原設(shè)計(jì)方案而言改善了底板的拉應(yīng)力區(qū)域，并且保證了結(jié)構(gòu)的安全性能。

4 結(jié)論

(1)通過(guò)對(duì)比分析，可以看出優(yōu)化設(shè)計(jì)方案槽身各部分結(jié)構(gòu)不僅滿足靜、動(dòng)力作用下的應(yīng)力應(yīng)變要求，還能使結(jié)構(gòu)的三維受力特性更趨合理。說(shuō)明結(jié)構(gòu)優(yōu)化不僅能達(dá)到降低工程造價(jià)的目的，而且還能改善結(jié)構(gòu)的受力性能。故在設(shè)計(jì)中要盡可能地運(yùn)用先進(jìn)的設(shè)計(jì)理論進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，以節(jié)省材料和減少工程投資，從而使結(jié)構(gòu)達(dá)到既安全又經(jīng)濟(jì)的目的。

(2)本文在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上，針對(duì)實(shí)際渡槽工程的具體情況進(jìn)行了有效的遺傳算法改進(jìn)，編制的優(yōu)化程序不僅適用于該渡槽工程，也可為類(lèi)似的工程建設(shè)提供參考。由于本優(yōu)化程序采用的是單目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，以后可通過(guò)對(duì)遺傳算法自身理論的進(jìn)一步研究，展開(kāi)以多目標(biāo)函數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，進(jìn)一步拓寬其程序的應(yīng)用范圍。

(3)工程中的許多優(yōu)化問(wèn)題非常復(fù)雜，使用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法難以求解，而遺傳算法簡(jiǎn)單易行，具有較好的全局搜索性，經(jīng)過(guò)改進(jìn)的遺傳算法不僅能夠提高優(yōu)化解的收斂速度和精度，而且也具有足夠的穩(wěn)定性。

［1］陳兆兵，郭勁.基于SUMT法的光電桅桿結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化［J］.四川兵工學(xué)報(bào)，2010，31(2):114－115.(CHEN Zhao-bing，GUO Jin.Structural Parameter Optimization of Optronics Mast by the Approach of SUMT［J］.Journal of Sichuan Ordnance，2010，31(2):114－115.(in Chinese))

［2］李敏強(qiáng)，寇紀(jì)松，林 丹，等.遺傳算法的基本理論與應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2002.(LI Min-qiang，KOU Ji-song，LIN Dan，etal.Basic Theory and Application of Genetic Algorithm［M］.Beijing:Science Press，2002.(in Chinese))

［3］KON Y D，KWON SB，JIN SB，etal.Convergence Enhance Genetic Algorithm with Successive Zooming Method for Solving Continuous Optimization Problems［J］.Computers and Structures，2003，81(1):1715－1725.

［4］白新理，劉桂榮，王珺.改進(jìn)遺傳算法在渡槽優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用［J］.水利水運(yùn)工程學(xué)報(bào)，2005，(2):60－62.(BAI Xin-li，LIU Gui-rong，WANG Jun.Application of Improved Genetic Algorithm in Aqueduct Optimal Design［J］.Hydro-Science and Engineering，2005，(2):60－62.(in Chinese))

［5］王亞子，賈利新.遺傳算法的小生境技術(shù)改進(jìn)［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，17(1):28－29.(WANG Ya-zi，JIA Li-xin.Improvement of Niche Skill on Genetic Algorithm［J］.Journal of Henan Institute of Education(Natural Science)，2008，17(1):28－29.(in Chinese))

［6］魏關(guān)鋒，錢(qián) 宇，姚平經(jīng).多流股換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題的優(yōu)化算法設(shè)計(jì)［J］.華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，34(8):6－9.(WEI Guan-feng，QIAN Yu，YAO Ping-jing.Development of Optimization Algorithm for Synthesizing Multi-Stream Heat Exchanger Network［J］.Journal of South China University of Technology(Natural Science Edition)，2006，34(8):6－9.(in Chinese))

［7］董列奎.遺傳算法在建筑結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究［D］.重慶:重慶大學(xué)，2003.(DONG Lie-kui.Study on Design of Structural Optimization Based on Genetic Algorithm［D］.Chongqing:Chongqing University，2003.(in Chinese))

［8］龐振勇.基于改進(jìn)遺傳算法的預(yù)應(yīng)力鋼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)［D］.北京:北京工業(yè)大學(xué)，2003.(PANG Zhen-yong.Optimal Design of Pre-stressed Steel Structures by Improved Genetic Algorithms［D］.Beijing:Beijing University of Technology，2003.(in Chinese))

［9］朱 峰.遺傳算法在離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用及其改進(jìn)方案綜述［J］.世界地震工程，2002，18(4):132－133.(ZHU Feng.Applications and Improved Schemes of Genetic Algorithms in Structural Optimization with Discrete Variables［J］.World Earthquake Engineering，2002，18(4):132－133.(in Chinese))

［10］張翌娜，婁彩紅.遺傳算法在渡槽優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用［J］.中國(guó)農(nóng)村水利水電，2008，(6):121－123.(ZHANG Yi-na，LOU Cai-hong.Application of Genetic Algorithm in Aqueduct Optimal Design［J］.China Rural Water and Hydropower，2008，(6):121－123.(in Chinese ))