改進(jìn)Catmull-Clark細(xì)分算法及其在船用螺旋槳設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

王艷華 蘇 洲

1 海軍潛艇學(xué)院，山東青島 266042 2 河海大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江蘇常州 213022

0 引 言

艦艇作為各國海軍的重要國防力量，其優(yōu)良的生存能力是衡量技戰(zhàn)術(shù)性能的重要指標(biāo)，其中就包括提高其自身隱身性能、減小被探測到的幾率的能力。與軍事強(qiáng)國相比，目前我國海軍艦艇的隱身性能依然存在著一定的差距。提高艦艇隱身性能的方法很多，其中，在涉及艦艇隱身性能的關(guān)鍵零件的設(shè)計(jì)制造過程中，改進(jìn)設(shè)計(jì)造型方法，主動(dòng)提高艦艇零件的設(shè)計(jì)制造精度，降低可能產(chǎn)生的噪聲輻射的等級(jí)或雷達(dá)反射波等就是一項(xiàng)行之有效的措施［1］。學(xué)術(shù)界認(rèn)為，艦艇噪聲輻射已成為影響艦艇隱蔽性的主要因素［2］，并且公認(rèn)螺旋槳噪聲是最主要的艦船噪聲源［3］。但在艦船及其相關(guān)零部件的優(yōu)化設(shè)計(jì)制造方面，我國目前還涉及較少。因此，在進(jìn)行艦艇設(shè)計(jì)、制造時(shí)，對一些涉及艦艇隱身性能的關(guān)鍵零件，如螺旋槳等，有必要進(jìn)行深入的聲隱身性能研究，盡量使之符合降噪消音的原理，然后采用先進(jìn)的造型方法，如自適應(yīng)細(xì)分曲面技術(shù)來實(shí)現(xiàn)造型，用以在工作中就能達(dá)到降低噪聲輻射的目的。在此，本文將只對其中的造型實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行詳細(xì)研究。

目前，國內(nèi)外學(xué)者已對自適應(yīng)細(xì)分造型方法進(jìn)行了一定的研究，并也提出了一些行之有效的自適應(yīng)細(xì)分算法和相關(guān)技術(shù)［4-8］。但這些算法在工程實(shí)踐中仍然存在一定的局限性，特別是在艦艇零件設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用更少，這主要是因?yàn)楝F(xiàn)有的這些自適應(yīng)方法在實(shí)現(xiàn)的過程中，其數(shù)值的計(jì)算受均值思想影響較重，對于控制網(wǎng)格光順區(qū)域和非光順區(qū)域的區(qū)分能力不足，從而使得部分已光順區(qū)域網(wǎng)格過密。同時(shí)，對于模型中的一些尖銳特征和過渡區(qū)域，不能做出準(zhǔn)確的判斷，導(dǎo)致模型細(xì)分結(jié)果與極限曲面間的誤差較大。本文將結(jié)合艦艇隱身性能的需要，以Catmull-Clark細(xì)分算法［9］為基礎(chǔ)，提出一種能解決上述問題的自適應(yīng)細(xì)分策略。

1 Catmull-Clark細(xì)分算法

該細(xì)分模式由Catmull和Clark于1978年提出，是一種針對以四邊形網(wǎng)格為主的多邊形控制網(wǎng)格的細(xì)分方法，細(xì)分曲面的極限是雙三次B樣條曲面，其規(guī)則包括兩部分：幾何規(guī)則和拓?fù)湟?guī)則。

1.1 幾何規(guī)則

C-C細(xì)分模式的幾何規(guī)則主要是計(jì)算并生成控制網(wǎng)格的新面點(diǎn)、新邊點(diǎn)和新頂點(diǎn)，具體細(xì)分面如圖1所示。

圖1 C-C細(xì)分模式幾何規(guī)則Fig.1 C-C subdivision geometric rules

新面點(diǎn)，即F-頂點(diǎn)，如圖1（a）所示。設(shè)原頂點(diǎn)分別為 v1，v2，v3，v4：

1.2 拓?fù)湟?guī)則

C-C細(xì)分模式的拓?fù)湟?guī)則比較簡單，就是新面點(diǎn)和新頂點(diǎn)分別與新邊點(diǎn)相連接，由此生成一張新的控制網(wǎng)格。

1.3 Catmull-Clark細(xì)分實(shí)驗(yàn)結(jié)果

利用三維建模軟件3DS MAX及其內(nèi)部編程語言MAXScript，即可實(shí)現(xiàn)原始C-C細(xì)分算法（圖2），并且可以知道，模型控制網(wǎng)格的數(shù)量呈幾何級(jí)數(shù)增長。

2 基于Catmull-Clark模式的自適應(yīng)細(xì)分算法

圖2 管路三通模型原始C-C算法細(xì)分結(jié)果Fig.2 Models of pipe three links based on original C-C subdivision algorithm

仔細(xì)觀察圖2可發(fā)現(xiàn)，模型控制網(wǎng)格的數(shù)量呈幾何級(jí)數(shù)急劇增長，若模型較復(fù)雜，就會(huì)給計(jì)算機(jī)的計(jì)算、顯示和存儲(chǔ)帶來極大的困難，甚至?xí)鲇?jì)算機(jī)的能力。通過對比模型細(xì)分3次和4次的結(jié)果可以看到，經(jīng)過一定次數(shù)的細(xì)分后，網(wǎng)格數(shù)巨增，但模型的顯示效果卻沒有明顯變化，特別是在管口處尤為明顯。鑒于此，為避免均值思想對網(wǎng)格光順程度帶來的不利影響，提出了一種針對模型中局部網(wǎng)格邊的基于邊光順程度（Edge Smooth Value，ESV）的自適應(yīng)策略。

因四邊形網(wǎng)格被廣泛應(yīng)用于各類造型系統(tǒng)軟件中，且其相對于其它形狀的網(wǎng)格更適于加工，能夠得到高精度的加工表面［10］，因而本文的算法將主要針對四邊形網(wǎng)格。

2.1 定 義

給出了與規(guī)則相關(guān)的定義［11-12］，如圖3所示。

圖3 基于邊光順度的自適應(yīng)細(xì)分算法幾何規(guī)則Fig.3 Geometric rules of adaptive subdivision algorithm based on ESV

定義1 面邊三角形（Face Edge Triangle）：以某個(gè)四邊形網(wǎng)格的面片中心為一個(gè)頂點(diǎn)，再以該面片任意一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)為另兩個(gè)頂點(diǎn)連接而成的三角形，即

定義2 面邊三角形的法向量（Vector）：逆時(shí)針環(huán)繞面邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)所得到的法向量，即

定義3 邊光順度（Edge Smooth Value，ESV）：若兩個(gè)面邊三角形共享同一條網(wǎng)格邊，那么其法向量的夾角就稱為共享邊的光順度，即

定義4 光順邊（Smooth Edge）：給定一個(gè)誤差閾值εT，將計(jì)算得到的某一網(wǎng)格邊的邊光順度與之比較，計(jì)算值小于或等于給定閾值的邊就稱為光順邊，計(jì)算值大于給定閾值的邊就稱為非光順邊。

定義5 不動(dòng)頂點(diǎn)（No Move Vertex）：對于與同一條光順邊相鄰的兩個(gè)面片，可以指定其上的所有頂點(diǎn)均為不動(dòng)頂點(diǎn)，這些頂點(diǎn)在下一級(jí)細(xì)分中的幾何位置保持不變。

定義6 不動(dòng)面片（No Move Face）：對于控制網(wǎng)格中的某一面片，若其所有頂點(diǎn)都是不動(dòng)頂點(diǎn)，則稱該面片為不動(dòng)面片。此定義也包括在網(wǎng)格中，與某一條光順邊相鄰的面片即為不動(dòng)面片。

2.2 判 據(jù)

針對局部網(wǎng)格，對于任意的網(wǎng)格邊，給定一個(gè)閾值εT，然后對網(wǎng)格中各條邊的光順度進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算值與給定閾值進(jìn)行比較。當(dāng)某網(wǎng)格邊的光順度小于或等于給定閾值時(shí)，便將此網(wǎng)格邊標(biāo)定為光順邊，也稱死邊（Dead Line），其頂點(diǎn)可以指定為不動(dòng)頂點(diǎn)，且在下一級(jí)細(xì)分中保持幾何位置不變。否則，便將該網(wǎng)格邊標(biāo)定為非光順邊，也稱活邊（Live Line），需要參加下一級(jí)的細(xì)分，直到每個(gè)面片均為不動(dòng)面片為止。

2.3 算法的拓?fù)湟?guī)則設(shè)計(jì)

自適應(yīng)細(xì)分算法拓?fù)湟?guī)則的建立過程如下：

Step1 對模型控制網(wǎng)格中所有的邊進(jìn)行光順度計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果與給定閾值進(jìn)行比較并對相關(guān)幾何元素的光順性和可動(dòng)性進(jìn)行標(biāo)記：當(dāng)網(wǎng)格邊的光順度小于等于給定閾值時(shí)，將此邊標(biāo)定為光順邊，亦即死邊；與此光順邊相鄰的兩個(gè)面片標(biāo)定為光順面，亦即死面（Dead Face）；若網(wǎng)格中環(huán)繞某一頂點(diǎn)的所有面均為光順面，則標(biāo)定該頂點(diǎn)為死點(diǎn)（Dead Vertex）。

Step2 遍歷控制網(wǎng)格的所有面片，按原始C-C細(xì)分模式生成新面點(diǎn)，若所遍歷的某一面片為不動(dòng)面片（亦即死面），則不生成新面點(diǎn)。

Step3 遍歷控制網(wǎng)格的所有邊，按原始C-C細(xì)分模式生成新邊點(diǎn)，若所遍歷的某一條邊為光順邊，則用該邊的中點(diǎn)代替剛生成的新邊點(diǎn)。

Step4 遍歷控制網(wǎng)格的所有頂點(diǎn)，按原始C-C細(xì)分模式生成新頂點(diǎn)，若所遍歷的頂點(diǎn)為不動(dòng)頂點(diǎn)（亦即死點(diǎn)），則直接用該頂點(diǎn)代替剛生成的新頂點(diǎn)。

Step5 將新頂點(diǎn)和新面點(diǎn)分別與新邊點(diǎn)相連接，生成新的自適應(yīng)細(xì)分網(wǎng)格。

Step6 消除網(wǎng)格裂縫，生成最終模型。

該算法的實(shí)現(xiàn)流程如圖4所示。

圖4 算法實(shí)現(xiàn)流程圖Fig.4 Algorithm flow chart

為了實(shí)現(xiàn)本文的算法，在大型三維建模軟件3DS MAX中，采用MAXScript語言進(jìn)行了編程，人機(jī)交互界面如圖5所示。

圖5 人機(jī)交互界面截圖Fig.5 Screenshots of human-computer interaction

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文以船用螺旋槳為例（圖6），通過建模軟件3DS MAX及其內(nèi)部編程語言MAXScript實(shí)現(xiàn)了所提出的自適應(yīng)細(xì)分算法，并將結(jié)果與原始C-C算法的細(xì)分結(jié)果進(jìn)行了對比。

圖6 不同細(xì)分算法細(xì)分結(jié)果對比Fig.6 Comparison of the results based on different subdivision algorithms

螺旋槳模型的初始控制網(wǎng)格為1 464個(gè)四邊形面片，采用原始C-C算法進(jìn)行細(xì)分，一次細(xì)分后的面片數(shù)就達(dá)到了5 856個(gè)，并且由圖6（b）可以看到，此種細(xì)分方式的每一次細(xì)分過程都是全局均勻細(xì)分，網(wǎng)格數(shù)增長非?？?，并且已經(jīng)光順的區(qū)域仍參加下一次的細(xì)分，致使計(jì)算機(jī)的負(fù)擔(dān)很重。

而采用本文提出的自適應(yīng)細(xì)分算法對模型進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分，當(dāng)邊的光順度閾值取為0.5時(shí)，便可以較準(zhǔn)確地將已光順區(qū)域從整個(gè)網(wǎng)格中區(qū)分出來，這樣就可使細(xì)分過程只針對未光順區(qū)域進(jìn)行，其細(xì)分針對性更強(qiáng)，最終得到了4 506個(gè)面片（圖6（c）），相比原始算法，網(wǎng)格數(shù)降低了約 23.05%；當(dāng)邊的光順度閾值取為0.825時(shí)，可得到更少的控制網(wǎng)格數(shù)，為4 168（圖6（d）），相比原始算法，網(wǎng)格數(shù)降低了約28.83%，大大提高了計(jì)算機(jī)的運(yùn)算、存儲(chǔ)和顯示速度，減小了存儲(chǔ)空間。

對于采用本文算法設(shè)計(jì)的模型能否滿足艦艇在降噪消音、推進(jìn)功率、零件強(qiáng)度和剛度等方面的需求，已專門利用相關(guān)的分析軟件ANSYS，F(xiàn)LUENT等對模型進(jìn)行了力學(xué)、流體力學(xué)等相應(yīng)的數(shù)值分析，驗(yàn)證了算法的正確性和可行性，本文在此不再贅述。

4 不同自適應(yīng)算法對比分析

表2所示為采用傳統(tǒng)頂點(diǎn)曲率自適應(yīng)細(xì)分一次和采用本文自適應(yīng)細(xì)分一次的結(jié)果對比。

表2 不同自適應(yīng)細(xì)分算法細(xì)分?jǐn)?shù)據(jù)對比Tab.2 Comparison of data based on different adaptive subdivision algorithms

如圖7所示，模型中圓圈所標(biāo)示的范圍即為采用不同的算法得到的細(xì)分結(jié)果。通過對比可以發(fā)現(xiàn)：采用傳統(tǒng)的頂點(diǎn)曲率判別方法對模型進(jìn)行自適應(yīng)細(xì)分，由于頂點(diǎn)曲率的計(jì)算過程受均值思想的影響，在槳葉較光順的區(qū)域網(wǎng)格密度仍較大，而在槳葉邊緣等高曲率區(qū)域（或過渡區(qū)域），其網(wǎng)格密度與葉片表面較光順區(qū)域的加密密度幾乎沒有差別，模型過渡特征不突出，被均勻化了；而與傳統(tǒng)的曲率判別方法相比，在網(wǎng)格數(shù)量降低程度相當(dāng)?shù)那闆r下（數(shù)據(jù)對比見表2），采用本文的方法則能較準(zhǔn)確地區(qū)分已光順區(qū)域和未光順區(qū)域（光順區(qū)域的網(wǎng)格密度明顯減?。?，能準(zhǔn)確地捕捉到槳葉的過渡特征（例如，槳葉邊緣等高曲率處），然后便可有針對性地適當(dāng)加大該處網(wǎng)格的細(xì)分密度，滿足造型的光順性需求，最終使模型造型更合適。

結(jié)合表2和圖7可得出結(jié)論：在網(wǎng)格數(shù)下降相當(dāng)?shù)那闆r下，采用本文的自適應(yīng)算法對模型進(jìn)行細(xì)分，細(xì)分過程更具針對性，模型高曲率區(qū)域的細(xì)分能得到加強(qiáng)，網(wǎng)格密度進(jìn)一步加密，模型造型更加合理。

有關(guān)如何對該自適應(yīng)細(xì)分算法進(jìn)行誤差控制和精度分析，以及算法能否應(yīng)用于其它細(xì)分模式和網(wǎng)格等問題，可作為下一步研究的重點(diǎn)。

5 結(jié) 論

在認(rèn)真研究現(xiàn)有自適應(yīng)細(xì)分技術(shù)的基礎(chǔ)上，本文結(jié)合艦艇的隱身性能需求，提出了將自適應(yīng)細(xì)分技術(shù)應(yīng)用于艦艇關(guān)鍵零件設(shè)計(jì)和制造的工程實(shí)際，并以Catmull-Clark細(xì)分算法為基礎(chǔ)，針對四邊形網(wǎng)格提出了基于網(wǎng)格邊光順度計(jì)算的自適應(yīng)細(xì)分方法，同時(shí)還以船用螺旋槳為例進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得到如下結(jié)論：

1）算法能較好地降低網(wǎng)格數(shù)量；

2）對于網(wǎng)格中的光順區(qū)域和非光順區(qū)域，該算法具有較強(qiáng)的區(qū)分能力；

3）對于控制網(wǎng)格中的尖銳特征或曲率較高的過渡區(qū)域，該算法具有較強(qiáng)的捕捉能力，能進(jìn)一步加大這些區(qū)域的控制網(wǎng)格的密度，以使整個(gè)細(xì)分過程更具針對性，從而有效避免以頂點(diǎn)曲率等為判斷閾值的均值思想所帶來的對網(wǎng)格幾何特征區(qū)分能力不足的不利影響。

［1］龔錦偉，王振民，王立新，等.艦船隱身設(shè)計(jì)探討［J］.船舶，2003（3）：29-31，62.GONG J W，WANG Z M，WANG L X，et al.Discussion on naval ship stealth［J］.Ship and Boat，2003（3）：29-31，62.

［2］繆旭弘，王振全.艦艇水下噪聲控制技術(shù)現(xiàn)狀及發(fā)展對策［C］//第十屆船舶水下噪聲學(xué)術(shù)討論會(huì)論文集，2005.

［3］楊瓊方，王永生，張明敏.艦艇螺旋槳水下噪聲預(yù)測［J］.船舶力學(xué)，2011，15（4）：435-442.YANG Q F，WANG Y S，ZHANG M M.Underwater noise prediction of ship and submarine propeller［J］.Journal of Ship Mechanics，2011，15（4）：435-442.

［4］AMRESH A，F(xiàn)ARIN G，RAZDAN A.Adaptive subdivision schemes for triangular meshes［C］//Hierarchical and Geometric Methods in Scientific Visualization.Berlin：Springer-Verlag，2003：319-327.

［5］HU H P，ZHAN Q，JIANG H B，et al.Adaptive refinements in Catmull-Clark subdivision scheme［J］.Journal of Huazhong University of Science and Technology（Nature Science Edition），2002，30（10）：56-58.

［7］CHENG K S D，WANG W P，QIN H，et al.Fitting subdivision surfaces to unorganized point data using SDM［C］//Proceedings of the 12th Pacific Conference on Computer Graphics and Application（PG’04）.Seoul，2004：16-24.

［8］WU J H，LIU W J，WANG T R.Adaptive refinement scheme for subdivision surfaces based on triangular meshes［C］//Proceedings of the Ninth International Conference on Computer Aided Design and Computer Graphics（CAD-CG’05），2005：119-124.

［9］CATMULL E，CLARK J.Recursivelygenerated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes［J］.Computer-Aided Design，1978，10（6）：350-355.

［10］趙建民.基于Catmull-Clark模式的細(xì)分曲面NC刀具軌跡生成技術(shù)［D］.大連：大連理工大學(xué)，2008.

［11］鄭津津，朱巍，周洪軍，等.非平均化自適應(yīng)catmull-clark細(xì)分算法［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2010，27（1）：6-8，22.ZHENG J J，ZHU W，ZHOU H J，et al.Non-uniform adaptive catmull-clark subdivision algorithm［J］.Computer Applications and Software，2010，27（1）：6-8，22.

［12］朱巍.細(xì)分曲面理論及其應(yīng)用問題的研究［D］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2011.