均質邊坡準三維安全系數實用計算曲線

盧坤林，朱大勇，楊 揚

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院，合肥 230009)

1 引 言

邊坡穩(wěn)定性分析是巖土工程中的一個重要研究課題，多年來大多數的研究工作是基于平面應變的假設條件下開展的，已經取得了豐碩的成果。然而，實際工程中所涉及的邊坡穩(wěn)定問題，如公路邊坡、土石壩邊坡、礦山露天邊坡、基坑等等，絕大多數失穩(wěn)形態(tài)呈現三維發(fā)育，失穩(wěn)寬度是有限的。王家臣等[1]曾依據 62次露天礦失穩(wěn)邊坡研究了寬高比變化范圍為 0.67～21.25，其中 83.33%分布在2～11之間。Stead等[2]研究了英國煤礦排土場 56個失穩(wěn)邊坡資料，寬高比基本上小于5，占90%，其中44%位于1～3之間。筆者依據522個失穩(wěn)邊坡資料(來源于中國知網相關論文，收集了巖質、土質、混合邊坡；均質邊坡和非均質邊坡；天然邊坡、人工填筑邊坡和挖方邊坡等等)，總結了寬高比的分布規(guī)律，如圖 1所示，其中 82.4%的寬高比位于0.5～5之間，平均寬高比為3.08，而寬高比大于10的僅占3.4%。為了更準確合理地計算邊坡安全系數和評價其穩(wěn)定性，開展三維邊坡穩(wěn)定性分析研究是必要的。

三維邊坡穩(wěn)定問題研究難度很大，常規(guī)研究方法基本上是將條分法推廣到三維條柱法[3－7]。盡管經過多年的積淀，但條柱法普遍面臨著假設條件較多、不能滿足全部力學平衡、計算過程非常復雜等諸多弊端，未能像二維條分法那樣在實際工程中得到普遍應用。因此，建立一套三維邊坡安全系數計算曲線顯得尤為必要，依托這套曲線能夠快速查得邊坡的三維安全系數，為實際工程服務，特別適用于邊坡初步設計。

圖1 失穩(wěn)邊坡的寬高比分布Fig.1 Distribution of width/height of 3D slip mass

2 三維邊坡穩(wěn)定性分析方法和最危險滑面確定

2.1 基本假定及其合理性

假定：①土質均勻且無地下水；②三維空間滑體為中間圓柱和兩端部為部分球體的組合，如圖2所示。圖示坐標下的方程為

式中：L為滑體圓柱段長度；B為端部球面長度；R為圓柱面和球面的半徑；x0、z0為主滑面的圓心坐標。

圖2 假設的3D滑面Fig.2 3D slip surface

筆者收集的522個失穩(wěn)資料中有334個描述了滑面形態(tài)，分類統(tǒng)計后見表 1。統(tǒng)計結果表明，近80%邊坡滑面形態(tài)是有規(guī)律可循的，基本上呈現4 種類型，分別為中部圓柱和端部球面組面、橢球面、形態(tài)占19.2%，屬于常見的一種破壞形態(tài)，也說明本文對空間滑面的假設是符合實際情況的，是可行的。

表1 334個失穩(wěn)邊坡滑面形態(tài)的統(tǒng)計分析Table1 Analysis of 3D slip surface of 334 instable slopes

對于均質土或偽均質土坡而言，破壞面大都為中部圓柱和端部近似球面的組合滑面，例如，圖 3為某高22 m、長450 m 的均質土壩邊坡的失穩(wěn)俯視圖[8]。

圖3 失穩(wěn)邊坡典型破壞形態(tài)(俯視圖)Fig.3 Typical failure form of slope (plan view)

2.2 三維邊坡穩(wěn)定性分析方法

本文計算采用了由我國學者提出的基于滑面正應力修正的三維邊坡極限平衡分析方法，首先建立滿足所有平衡條件的6個平衡方程，由于安全系數對內力分布的反應不敏感[9]，摒棄傳統(tǒng)的通過假定條柱間力的分布，通過假定空間滑面上的正應力分布和一系列巧妙的數學變換，得出了安全系數的顯式解答[10－11]。這種方法已成功用于銀盤水電站左岸邊坡、新橋露天礦邊坡、烏東德水電站金坪子蠕滑邊坡及多個高速公路邊坡的穩(wěn)定性分析。

2.3 三維邊坡最危險滑面的確定方法

由于目前三維滑面的搜索技術尚不成熟，本文采用對二維最危險滑面擴展，即首先搜索確定二維主滑面，再依據基本假定拓展三維滑面為中間圓柱和兩端部為部分球面的組合滑面。通過上述兩個過程即可近似確定了三維邊坡的最危險滑面。大量二維成果表明，安全系數在最危險滑面附近變化十分遲鈍[12]，采用本文近似方法確定的最危險滑面基本可以獲得比較理想的三維安全系數。

3 三維邊坡穩(wěn)定性安全系數曲線的建立

3.1 計算模型及參數的選取

三維邊坡安全系數與坡比m、坡高H、潛在滑體寬度（L+2B）和土體基本參數（γ、c、φ）等指標(γ為重度，c為黏聚力，φ為內摩擦角)有關。因此，本文設計了 H 為 5、10、15、20 m，m 為0.25、0.50、0.75、1.00、1.25、1.50、1.75 和2.00，c為 5、10、15、20、25、30、35、40 kPa，φ為 5°、10°、15°、20°、25°、30°、35°、40°，γ為16、18、20 kN/m3，三維滑體中間圓柱段長度分別為0、1、2、3、5和10倍的邊坡高度，共計36864個邊坡。

3.2 計算結果及三維邊坡穩(wěn)定性圖表

對本文設計的 36864個均值邊坡分別進行計算，將不同坡比m計算結果繪制成圖4～11的無量綱指標Fs/tanφ與c/(γH tanφ)關系曲線。需要指出的是，由于計算存在少許誤差，實際關系線不是很光滑，圖中曲線做了平滑技術處理。由圖可以看出，無量綱指標Fs/tanφ與c/(γH tan φ)的關系呈現單調遞增，且可用二次多項式進行擬合。

依據圖4～11可以開展如下工作：①根據已知邊坡體的相關指標快速獲得三維安全系數，能夠得到較二維分析方法更準確、更客觀的穩(wěn)定程度評價；②根據實際坡體的穩(wěn)定狀況反分析獲得滑面土體強度參數，有效克服了二維反分析得到滑面土體強度參數偏高的弊端；③利用這些關系曲線來研究各指標對三維安全系數的影響規(guī)律。

3.3 算 例

下面舉例來說明圖4～11的用法。

（1）某均質土坡高15 m，坡比為1.0，土體相關參數：c = 20 kPa，φ= 20°，γ=18 kN/m3，該邊坡受地形限制，總寬度僅有30 m，若假設滑體為圓柱體和部分球體的組合，其圓柱段寬度約有15 m，試確定該邊坡的安全系數。首先計算 c/(γH tanφ)=0.20，L/H = 1.0，查坡比為1.0的圖7得 Fs/tanφ=3.25，則安全系數為1.18，而采用臨界滑動場法(CSF)計算的二維結果為0.998，二者偏差為18.2%。

（2）某均質土坡高20 m，土體相關參數分別為：c = 20 kPa，φ= 20°，γ= 18 kN/m3，調查研究顯示，該邊坡若失穩(wěn)其破壞形態(tài)為部分球體，要求該邊坡最小安全系數為1.35，設計該邊坡坡度。先計算 c/(γH tan φ) = 0.15，L/H=0.0，Fs/tanφ=3.70，選取坡比為1.5即可滿足設計要求，而采用二維臨界滑動場法(CSF)選取的最小坡比為1.75。

（3）某均質邊坡，H = 10 m，m = 2.0，無地下水，γ= 18 kN/m3，該邊坡已出現明顯的滑動跡象，滑體形態(tài)基本呈現土體圓柱體和部分球體的組合，且圓柱段寬度約為10 m，試通過反分析確定土體的抗剪強度指標。首先，根據坡體已出現滑動跡象判定安全系數約為1.0，L/H = 1.0，根據安全系數計算曲線(圖11)可得如下組合(實際有很多組合，此處選取了 3 組)：φ= 5°和 c = 14.16 kPa；φ=10°和 c = 9.66 kPa；φ=15°和c = 5.31 kPa。若采用二維臨界滑動場法(CSF)反分析得到的組合為：φ= 5°和c = 19.81 kPa；φ=10°和 c = 12.76 kPa；φ=15°和 c = 6.94 kPa，與三維反分析結果相比，黏聚力分別偏高39.9%、32.1%和30.7%。

圖4 三維邊坡安全系數計算曲線(m = 0.25)Fig.4 Calculation charts for 3D slope(m = 0.25)

4 本文計算曲線與類似成果的比較

目前相關二維邊坡穩(wěn)定性圖表非常多，以經典的泰勒圖表為代表，得到了廣泛的應用。隨著對邊坡穩(wěn)定課題研究的深入，三維穩(wěn)定性分析越來越得到重視，分析方法也漸趨成熟，由于計算的復雜性，尚未能得到普遍應用。因此，開展三維邊坡穩(wěn)定性圖表的研制則顯得尤為需要，經文獻檢索，僅有Michalowski[13]開展了這方面的研究。與文獻[13]相比，二者區(qū)別在于：①計算理論不同，本文計算理論為三維極限平衡法，而文獻[13]為極限分析法；②滑面的確定不同，本文是在對大量失穩(wěn)邊坡資料統(tǒng)計結果的基礎上假定滑面為中間柱面和兩端球面的組合滑面，文獻[13]假設滑面為喇叭形的圓錐面；③安全系數的意義不同，文獻[13]得到的安全系數為上限解，而本文安全系數為極限平衡解答，上限解一般會大于本文解。

圖12為坡角分別為30°、45°和60°時本文方法得到的計算曲線和文獻[13]的計算曲線的比較。由圖可見，（1）本文成果與文獻[13]在數值和變化趨勢上基本一致，驗證本文計算曲線的合理性。（2）在同一寬高比下，本文成果略低于文獻[13]成果，這是由于文獻[13]采用的是極限分析法，屬于上限解，本文采用極限平衡法，一般會低于上限解。（3）隨著寬高比的逐漸增大，兩者的誤差逐漸減小；隨著 c/(γH tan φ)的增大，兩者的誤差有所放大。

圖5 三維邊坡安全系數計算曲線(m = 0.5)Fig.5 Calculated curves for 3D slope(m = 0.5)

圖6 三維邊坡安全系數計算曲線(m = 0.75)Fig.6 Calculated curves for 3D slope(m = 0.75)

圖7 三維邊坡安全系數計算曲線(m = 1.0)Fig.7 Calculation charts for 3D slope(m = 1.0)

圖8 三維邊坡安全系數計算曲線(m=1.25)Fig.8 Calculation charts for 3D slope(m=1.25)

圖9 三維邊坡安全系數計算曲線(m = 1.5)Fig.9 Calculation charts for 3D slope(m = 1.5)

圖10 三維邊坡安全系數計算曲線(m = 1.75)Fig.10 Calculation charts for 3D slope(m = 1.75)

圖11 三維邊坡安全系數計算曲線(m = 2.0)Fig.11 Calculation charts for 3D slope(m = 2.0)

綜合上述比較結論得到本文成果與文獻[13]起到了互為驗證的目的。

圖12 本文曲線與其他成果的比較Fig.12 Comparison of the present results with other results

5 討 論

5.1 3D與2D安全系數

一般認為，三維安全系數均高于二維安全系數，這一點在本文中也得到了證實。由圖4～11可以看出，在其他指標不變下，邊坡三維安全系數受L/H影響非常大，隨著L/H的逐漸增大，三維安全系數單調下降并逐漸趨近于二維安全系數，大量計算表明，（L+2B）/H＞10時三維安全系數與二維安全系數非常接近，這與已有的相關研究成果基本一致[14－15]。這是由于三維計算時考慮了端部效應[14]，它對滑體的滑動起到了摩擦抗滑的作用，對邊坡體穩(wěn)定有利，簡化為二維分析模型則忽略了這一有利因素，致使二維安全系數偏于保守。另一方面，隨著滑體寬度的不斷增大，端部效應在整個抗滑體系中所占的比重逐漸降低，形成了三維安全系數逐漸趨近二維安全系數的現象。

5.2 無量綱指標 c/(γH tan φ)對三維安全系數的影響

根據圖4～11可以看出，c/(γH tanφ)的大小對三維安全系數影響也比較大。在 c/(γH tanφ)較小時，寬高比的邊坡對安全系數的影響較小，隨著 c /(γH tanφ)的增大，寬高比的邊坡對安全系數的影響越來越顯著。不妨以 m = 1.0為例說明，在c /(γH tanφ)= 0.1時，L/H = 0和L/H = 10時Fs/tanφ的分別為 2.50和 2.25，相對誤差為 11.11%；當c/(γH tanφ)= 2.0時，兩者的相對誤差已達到27.29%，其他各坡比情況基本類似，參見表 2。經分析，c/(γH tanφ)較小時，滑面比較淺，而c/(γH tanφ)較大時，滑面比較深，在寬高比一定下，滑面淺的滑體端部面積沒有滑面深的滑體端部面積大，端部效應自然也沒有滑面深的滑體明顯，形成了上述現象。

5.3 坡比m對三維安全系數的影響

隨著坡比m的增大，滑面逐漸變深，增大了端部滑面面積，使端部效應增強；而另一方面端部球面的半徑卻不斷減小，端部滑面的面積逐漸減小，削弱了端部效應。表2呈現的變化趨勢是兩者疊加后的總效應。根據表2可以得到，m對三維安全系數的影響總體呈現隨著m的增大，L/H對三維安全系數的影響逐漸趨弱。

6 結 論

（1）為便于工程應用，繪制了三維邊坡安全系數的計算曲線，根據該曲線可以快速獲取邊坡的三維穩(wěn)定安全系數、設計邊坡坡度和反分析滑帶土體的強度指標。

表2 不同坡比下，無量綱指標 c/(γH tanφ) 對三維安全系數的影響分析Table2 Effects of c/(γHt anφ) on the safety factor of 3D slope at different ratios of slope

（2）邊坡三維安全系數Fs均高于二維安全系數，表明二維安全系數評價偏于保守，但對于反分析確定滑體強度參數而言，可能會高估滑體強度參數，導致工程治理措施偏于危險。

（3）滑體寬高比（L+2B）/H較小時對安全系數Fs的影響比較顯著，隨著L/H的逐漸增大，影響程度也漸弱，最終趨于二維安全系數，一般認為（L+2B）/H＞10時，可忽略三維空間效應對安全系數的影響。

（4）邊坡三維安全系數 Fs與坡比 m、滑體寬高比L/H以及無量綱指標 c/(γH tanφ)有關。在坡比m和滑體寬高比（L+2B）/H不變下，無量綱指標Fs/tanφ與 c/(γH tan φ)的關系呈現單調遞增，且可用二次多項式進行擬合。

（5）L/H對安全系數的影響隨著無量綱指標c/(γH tanφ)的增大而逐漸增強，隨著坡比m的增大逐漸趨弱。

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