裂隙巖體滲流-應(yīng)力耦合等效滲流阻模型

陶 煜，劉衛(wèi)群

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 力學(xué)與建筑工程建學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 深部巖土力學(xué)與地下工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州 221116）

1 引 言

在巖土工程實(shí)踐中，經(jīng)常會(huì)遇到水文地質(zhì)條件較為復(fù)雜的環(huán)境，受到多類水體運(yùn)移及裂隙滲流作用的影響[1]。為了考察區(qū)域應(yīng)力作用下裂隙巖體中復(fù)雜的滲流狀態(tài)，需要對(duì)其內(nèi)部裂隙發(fā)育以及這些裂隙在應(yīng)力作用下的滲流規(guī)律進(jìn)行分析，一些國(guó)內(nèi)學(xué)者已對(duì)此進(jìn)行了相關(guān)的研究[2－4]。大量關(guān)于采動(dòng)巖體滲流的試驗(yàn)和實(shí)測(cè)結(jié)果表明，其滲透特性隨應(yīng)力場(chǎng)改變而發(fā)生顯著變化。由于應(yīng)力場(chǎng)變化導(dǎo)致區(qū)域裂隙系統(tǒng)的發(fā)育程度和組織形態(tài)的改變，因此，滲透率的改變與裂隙系統(tǒng)的發(fā)育程度和組織形態(tài)變化有著密切的聯(lián)系。

為此，區(qū)域裂隙系統(tǒng)的發(fā)育程度和組織形態(tài)成為本文研究工作的切入點(diǎn)。圖1是選自文獻(xiàn)[2]的關(guān)于不同采厚工作面推進(jìn)200 m采動(dòng)裂隙演化過程及形態(tài)特征圖。

通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，裂隙巖體主干裂隙的演化有一個(gè)明顯的特征。就是在一段區(qū)域內(nèi)，主干裂隙是沿著一定的方向發(fā)育的，并且存在分叉的現(xiàn)象。由于主干裂隙在區(qū)域裂隙系統(tǒng)中分布較為明顯，其貫通程度、裂隙張開度、跨越區(qū)域都超過非主干裂隙，所以在裂隙滲流中起著主導(dǎo)作用。因此，考慮區(qū)域主干裂隙應(yīng)力影響下的滲流規(guī)律對(duì)分析裂隙巖體滲流特性具有重要意義。

為了考察貫通區(qū)域主干裂隙系統(tǒng)的滲透能力，本文運(yùn)用平行板滲流立方定律，結(jié)合彈性力學(xué)方法和模擬電路知識(shí)，建立了一種基于等效滲流阻的滲流-應(yīng)力耦合模型。通過該模型可以進(jìn)一步地分析這種貫通主干裂隙系統(tǒng)受應(yīng)力作用的滲流演化規(guī)律。

圖1 不同采厚工作面推進(jìn)200 m采動(dòng)裂隙演化過程及形態(tài)特征[2]Fig.1 Evolutions and configuration characteristics of MIF in caving 200 m with different mining thicknesses [2]

2 裂隙巖體平行板模型

對(duì)厚度為a、隙寬為b的平行板裂隙均勻流，運(yùn)用平行板滲流立方定律有

式中：q為流量；P為水壓；μ為水的動(dòng)力黏滯系數(shù)，其值與溫度有關(guān)。

假若裂隙方向與流速為v，截面積為S的水流方向成α角度，則

式（2）是單裂隙平行板模型隙寬與單寬流量之間的關(guān)系[5]。巖石中實(shí)際的壁面是粗糙的，若將由光滑平行板縫隙層流流態(tài)導(dǎo)出的立方定律用于實(shí)際裂隙，則需要對(duì)立方定理進(jìn)行修正。實(shí)際裂隙面起伏不平，有許多凸體，致使水流在同一水力梯度下，同一隙寬的粗糙裂隙比光滑裂隙通過的流量要小。Ломизе[6]進(jìn)行了粗糙裂隙水力試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)裂隙面的突起度 Δ與隙寬的比值對(duì)裂隙過流能力有很大影響。他將立方定理加入了一個(gè)粗糙度修正系數(shù)C，

很多學(xué)者根據(jù)試驗(yàn)或理論提出了各自的粗糙度修正公式，主要有 Ломизе（1951）、Louis（1967），Neuzil(1981)、Tsang（1981）、Barton（1985）、周創(chuàng)兵（1996）等。王媛和速寶玉[7]已就該方面的文獻(xiàn)進(jìn)行了綜述。

取垂直于x軸的裂隙截面寬度為bv，則裂隙寬b=bvcosα ，則式（3）改寫為

3 滲流等效流阻模型的建立

天然裂隙巖體中的裂隙分布多種多樣，一般可分為較為離散細(xì)微的裂隙網(wǎng)絡(luò)和較大尺度的主干裂隙系統(tǒng)。前者參與滲流過程程度相對(duì)較弱，且運(yùn)用連續(xù)介質(zhì)理論方法處理較為成熟。而后者在貫通程度、張開度、跨越區(qū)域都優(yōu)于前者，參與滲流作用的比重遠(yuǎn)大于前者。作為滲流作用主體，主干裂隙系統(tǒng)成為本文滲流分析的主要對(duì)象。

圖2選自Nick Barton的巖體節(jié)理（Rock Joints）一書[8]，展現(xiàn)了不同巖體的裂隙分布?？梢暂^為明顯地觀察出主干裂隙系統(tǒng)與離散的裂隙網(wǎng)絡(luò)。在裂隙巖體中，主干裂隙系統(tǒng)是由有限個(gè)單裂隙組合而成。而每一個(gè)單裂隙之間僅有如圖3所示的2種基本組合關(guān)系。

本文對(duì)這兩種組合關(guān)系下的滲流特性分別進(jìn)行討論。

3.1 串聯(lián)關(guān)系

如圖4所示，根據(jù)b1裂隙的流量和b2裂隙的流量相等的特點(diǎn)，有

式中：qf為裂隙流量；Δp為水的壓力差；α1、α2分別為上下部分裂隙的厚度；b1、b2分別為上下部分裂隙的寬度；Δx1、Δx2為上下部分裂隙的長(zhǎng)度；α1、α2分別為上下裂隙分別與流動(dòng)方向之間的夾角。在圖4中α1、α2都為0°。

而 Δp=Δp1+Δp2（如圖4所示），所以

圖2 幾種巖體裂隙圖[8]Fig.2 Fractures in several kinds of rock masses[8]

圖3 裂隙基本組合關(guān)系圖Fig.3 Relationship of fracture combinations

圖4 串聯(lián)情形平行板裂隙滲流系統(tǒng)Fig.4 Fracture seepage system in series

而在模擬電路中，串聯(lián)公式為 U=IR1+IR2，由式（6）可以看出在裂隙滲流中存在類似電路串聯(lián)關(guān)系。

3.2 并聯(lián)關(guān)系

兩裂隙并聯(lián)，如圖5所示，根據(jù)裂隙系統(tǒng)總流量等于b1裂隙流量和b2裂隙流量之和，可以得出

式中：α1、α2分別為左右兩個(gè)裂隙分別與流動(dòng)方向之間的夾角。在圖5中α1、α2都為0°。

圖5 并聯(lián)情形平行板裂隙滲流系統(tǒng)Fig.5 Fracture seepage system in parallel

所以，根據(jù)式（7）我們可以得到在裂隙滲流中存在類似電路并聯(lián)的關(guān)系。

因此，可以把區(qū)域主干裂隙中的流體滲流等效為模擬電路中的串并聯(lián)電路群，兩者之間的相似量如表1中給出。

表1 模擬電路問題與滲流問題中的相似量表Table1 Similar capacities between electronics and seepage problems

假設(shè)一個(gè)區(qū)域主干裂隙系統(tǒng)有i個(gè)層次，即i層串聯(lián)等效滲流阻，每個(gè)層次有j個(gè)并聯(lián)等效滲流阻，那么此區(qū)域主干裂隙系統(tǒng)內(nèi)的等效滲流阻Rf為

式中：bij、Cij、α分別為裂隙系統(tǒng)第i層串聯(lián)部分里的第j個(gè)并聯(lián)裂隙隙寬、裂隙粗糙度修正系數(shù)和裂隙與水流方向夾角。

裂隙系統(tǒng)流量為

由于裂隙系統(tǒng)的滲透率k與等效滲流阻之間的關(guān)系為

式中：A為滲流截面積。

故此裂隙系統(tǒng)的滲透率為

本文稱這種由等效滲流阻構(gòu)成的串并聯(lián)滲流模型為“等效滲流阻模型”。

4 裂隙巖體應(yīng)力與滲透率之間的關(guān)系

巖體中的應(yīng)力變化導(dǎo)致裂隙寬度的變化，進(jìn)而導(dǎo)致巖體滲透性的改變。為了探究裂隙巖體區(qū)域裂隙系統(tǒng)應(yīng)力與滲透率之間的關(guān)系，假設(shè)在同一裂隙網(wǎng)絡(luò)中同一層面上分布著n條裂隙，如圖6所示。

圖6 三向應(yīng)力條件下裂隙巖體應(yīng)力-滲透性計(jì)算模型Fig.6 3D stress-permeability model for fractured rock mass

沿 x方向的巖體總位移Δutx等于裂隙的位移Δ ufx與巖塊位移 Δurx之和，所以

位移用應(yīng)變表示有

式中：Sx、bx分別為巖體的寬度和多條裂隙沿x 方向的寬度和。

沿x方向巖體應(yīng)變?chǔ)舤x又可表示為

式中：Emx為裂隙巖體在x方向上的彈性模量；γ為泊松比；σx、σy、σz分別為x、y、z方向上的應(yīng)力。

沿x方向巖塊應(yīng)變?chǔ)舝x可表示為

式中：Er為巖塊的彈性模量。

由此，可得到多條裂隙的隙寬變化總量

如果這j條裂隙位于第i層串聯(lián)中，那么式（19）可以改為

還可以進(jìn)一步得到應(yīng)力影響下該裂隙系統(tǒng)的滲透流量為

以及滲透率與應(yīng)力之間的關(guān)系為

以上為本文建立的基于等效滲流阻的應(yīng)力耦合滲流模型，可以用于分析應(yīng)力作用下含區(qū)域主干裂隙巖體滲流演化規(guī)律。

5 算 例

結(jié)合上文建立的應(yīng)力耦合等效滲流阻模型，選擇含典型的“人”字形組合裂隙系統(tǒng)的 50 mm×50 mm×100 mm立方體巖石試樣進(jìn)行滲流分析，通過 Matlab計(jì)算程序考察該組合裂隙系統(tǒng)試樣的滲流特性，分析對(duì)象如圖7所示。

圖7 50 mm×50 mm×100 mm立方體裂隙巖樣圖Fig.7 50 mm×50 mm×100 mm cubic fractured rock sample

表2 全局參數(shù)設(shè)定表（以國(guó)際單位制計(jì)）Table2 Global parameters (using SI units)

表3 各條裂隙參數(shù)賦值表（以國(guó)際單位制計(jì)）Table3 Parameters of each fracture (using SI units)

在眾多粗糙度修正公式中，由于裂隙面粗糙度修正系數(shù)修正法相對(duì)于隙寬密度分布修正法等其他方法而言較為簡(jiǎn)便，并且其使用限制為裂隙面必須高度分布比較均勻，而本算例符合其使用條件。所以在計(jì)算中運(yùn)用了Louis根據(jù)試驗(yàn)總結(jié)出的粗糙度修正公式

設(shè)巖石中水溫為15 ℃，則 μ=1.14×10-3N? s/m2。當(dāng)Er=1 GPa，γ=0.2，μ=1.14×10-3N? s/m2（具體各類參數(shù)如表2、3所示），且?guī)r體中僅存在裂隙法向應(yīng)力σx時(shí)，通過本文建立的裂隙等效滲流阻模型，可得出應(yīng)力與等效滲流阻的關(guān)系曲線，如圖 8所示。滲流阻與應(yīng)力關(guān)系曲線表明，隨著裂隙面法向應(yīng)力的增加，裂隙系統(tǒng)等效滲流阻不斷增加，兩者呈冪函數(shù)關(guān)系遞增。也可以得到滲透率與應(yīng)力之間的關(guān)系曲線，如圖9所示。圖中滲透率與應(yīng)力關(guān)系曲線顯示，隨著裂隙法向應(yīng)力的增加，裂隙系統(tǒng)的滲透率不斷減少，呈冪函數(shù)關(guān)系遞減。

圖8 滲流阻與應(yīng)力的關(guān)系Fig.8 Seepage resistance-stress relationship

圖9 滲透率與應(yīng)力的關(guān)系Fig.9 Permeability-stress relationship

6 模型的擴(kuò)展性探討

等效滲流阻模型具有一定的可擴(kuò)展性，有很多可以繼續(xù)開展工作的地方，例如將等效滲流阻模型與有限元相結(jié)合，可以將裂隙系統(tǒng)劃分為若干子裂隙系統(tǒng)，如圖10所示。其中A～F為子裂隙系統(tǒng)，而 P1～ P9為聯(lián)系這些子系統(tǒng)的裂隙出入口水壓。

各子裂隙系統(tǒng)在應(yīng)力場(chǎng)中所受的應(yīng)力不同，而在子裂隙系統(tǒng)內(nèi)可以將應(yīng)力簡(jiǎn)化為相同。故子裂隙系統(tǒng)的尺寸與應(yīng)力場(chǎng)的應(yīng)力梯度分布相關(guān)，應(yīng)力變化緩慢的地方可以選擇相對(duì)較大的子裂隙系統(tǒng)尺寸，反之則應(yīng)該選擇較小的尺寸。經(jīng)過進(jìn)一步細(xì)分后，可將等效滲流阻模型與有限元分析方法結(jié)合起來，對(duì)大范圍含裂隙巖體滲流區(qū)域應(yīng)力場(chǎng)中主干裂隙系統(tǒng)的滲流演化規(guī)律進(jìn)行分析。

圖10 子裂隙系統(tǒng)滲流圖Fig.10 Seepage in subsystem of fractures

7 結(jié) 論

等效滲流阻模型具有以下優(yōu)點(diǎn)：

（1）由于采用現(xiàn)實(shí)裂隙構(gòu)造，無需求解復(fù)雜的偏微分方程，較隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)等其他模型更為實(shí)用。

（2）在一個(gè)區(qū)域裂隙系統(tǒng)內(nèi)我們定義了“滲流阻”的概念，不去分個(gè)考慮每個(gè)裂隙的應(yīng)力狀態(tài)下的滲流規(guī)律，化繁為簡(jiǎn)，利用區(qū)域滲流阻整體考慮它在整體應(yīng)力影響下的滲流規(guī)律，分析問題更為方便有效。

（3）模型基于平行板滲流理論、模擬電路、彈性力學(xué)知識(shí)，具有普適性和可擴(kuò)展性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，更客觀地描述應(yīng)力變化下的區(qū)域主干裂隙系統(tǒng)的滲流規(guī)律。

由于并聯(lián)裂隙情形采用等間距平行板模型簡(jiǎn)化，當(dāng)分叉裂隙走向不同時(shí)存在一定誤差，但沿高應(yīng)力方向裂隙取向相近實(shí)際區(qū)域主干裂網(wǎng)中非常普遍，基本能滿足模型要求。

文中模型經(jīng)進(jìn)一步細(xì)化后，可為巖體滲流分析問題提供理論支持。

[1]ZHANG J,SHEN B. Coal mining under aquifers in China:A case study[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences,2004,41(4): 629－639.

[2]楊科,謝廣祥. 采動(dòng)裂隙分布及其演化特征的采厚效應(yīng)[J]. 煤炭學(xué)報(bào),2008,33(10): 1092－1096.YANG Ke,XIE Guang-xiang. Caving thickness effects on distribution and evolution characteristics of mining induced fracture[J]. Journal of China Coal Society,2008,33(10): 1092－1096.

[3]陳占清,繆協(xié)興,劉衛(wèi)群. 采動(dòng)圍巖中參變滲流系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,35(1): 129－132.CHEN Zhan-qing,MIAO Xie-xing,LIU Wei-qun.Analysis of stability of parametric system of seepage flow in wall rock affected by mining[J]. Journal of Central South University (Natural Science),2004,35(1): 129－132.

[4]張永波,靳鐘銘,劉秀英. 采動(dòng)巖體裂隙分形相關(guān)規(guī)律的實(shí)驗(yàn)研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2004,23(20):3426－3429.ZHANG Yong-bo,JIN Zhong-ming,LIU Xiu-ying.Testing study of fractal correlation law of cracks in mined rock mass[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2004,23(20): 3426－3429.

[5]周志芳. 裂隙介質(zhì)水動(dòng)力學(xué)原理[M]. 北京: 高等教育出版社,2007.

[6]Ломизе М. Филътрация в трещиноватых породах[M].Москва: Госэнергоиздат,. 1951.

[7]王媛,速寶玉. 單裂隙面滲流特性及等效水力隙寬[J].水科學(xué)進(jìn)展,2002,13(1): 61－67.WANG Yuan,SU Bao-yu. Research on the behavior of fluid flow in a single fracture and its equivalent hydraulic aperture[J]. Advances in Water Science,2002,13(1): 61－67.

[8]BARTON N. Rock Joints[M]. Rotterdam: A. A. Balkema Publishers,1990.