錐導(dǎo)乘波體氣動(dòng)代理建模方法研究

王爍, 李萍, 陳萬(wàn)春

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100191)

錐導(dǎo)乘波體氣動(dòng)代理建模方法研究

王爍, 李萍, 陳萬(wàn)春

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100191)

傳統(tǒng)的氣動(dòng)計(jì)算方法計(jì)算繁瑣、計(jì)算效率低,不適應(yīng)于乘波體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化,通過建立氣動(dòng)代理模型可以很好地解決氣動(dòng)計(jì)算精度和效率的矛盾。利用面元法進(jìn)行氣動(dòng)估算,采集了錐導(dǎo)乘波體在設(shè)計(jì)點(diǎn)、非設(shè)計(jì)點(diǎn)的氣動(dòng)特性作為訓(xùn)練數(shù)據(jù),構(gòu)建了Kriging和LS-SVM代理模型,對(duì)比了兩種模型對(duì)此高維問題的代理效果。結(jié)果表明,Kriging代理模型能更準(zhǔn)確地表達(dá)錐導(dǎo)乘波體的氣動(dòng)特性,應(yīng)用代理模型進(jìn)行優(yōu)化等工作的計(jì)算效率與傳統(tǒng)氣動(dòng)計(jì)算方法相比有顯著的提高。

錐導(dǎo)乘波體; 氣動(dòng)特性; Kriging; LS-SVM; 代理模型

引言

乘波體因具有更大的升阻比[1]和更好的氣動(dòng)特性[2],以其作為新一代高超聲速飛行器布局進(jìn)行的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(Multi-discipline Design Optimization, MDO)備受矚目。目前對(duì)乘波體的優(yōu)化工作大多是建立在計(jì)算流體力學(xué)[3]或氣動(dòng)估算[4-5]基礎(chǔ)上的單學(xué)科或少數(shù)學(xué)科的一體化設(shè)計(jì)。這兩種方法都不適用于MDO過程,因其具有以下缺點(diǎn):(1)計(jì)算工具不是為MDO設(shè)計(jì)的,因而數(shù)據(jù)傳輸困難;(2)計(jì)算準(zhǔn)備工作繁瑣,不適宜反復(fù)計(jì)算;(3)計(jì)算效率低。以牛頓面元法[6-7]為代表的氣動(dòng)估算與CFD方法相比雖然效率有所提高,但仍不適用于MDO過程中大量的實(shí)時(shí)計(jì)算。而代理模型可以很好地解決計(jì)算精度與效率的矛盾,是MDO過程的有力工具?；诓逯导夹g(shù)的Kriging模型[8]和基于擬合技術(shù)的LS-SVM模型[9]是兩類具有代表性的代理模型。本文以錐導(dǎo)乘波體氣動(dòng)學(xué)科為例,建立了其兩種代理模型,討論了它們對(duì)高維設(shè)計(jì)空間代理的效果。結(jié)果表明,Kriging代理模型能更準(zhǔn)確地描述錐導(dǎo)乘波體的氣動(dòng)特性,更適合高維問題的代理,應(yīng)用其進(jìn)行優(yōu)化等工作的計(jì)算效率有顯著提高。

1 數(shù)學(xué)描述

1.1 錐導(dǎo)乘波體生成過程

(1)錐形流場(chǎng)解算。錐形流場(chǎng)雖然由一個(gè)軸線平行于來流方向的細(xì)長(zhǎng)圓錐誘導(dǎo),但對(duì)于錐導(dǎo)乘波體外形起決定作用的是激波的半錐角[10],因此本文直接選取半錐角為設(shè)計(jì)參數(shù),求得自由流經(jīng)斜激波后的流動(dòng)參數(shù),并解算Taylor-Maccoll方程[11],該方程在任意過激波錐母線的平面內(nèi)可簡(jiǎn)化為:

(1)

上式中各參數(shù)的定義見文獻(xiàn)[10]。采用4階Ronge-Kutta法求解上式可得精度較好的流場(chǎng)。

(2)確定形狀曲線并生成上表面。形狀曲線選取由4個(gè)控制點(diǎn)確定的3度Bezier-Bernstein曲線,本文選取的4個(gè)控制點(diǎn)如表1所示。

表1 3度Bernstein曲線控制點(diǎn)

將曲線上各點(diǎn)沿自由流線逆向追溯到錐形激波表面,交點(diǎn)則組成錐導(dǎo)乘波體的前緣曲線,同時(shí)可得乘波體的上表面。這種自由流上表面是最易于計(jì)算的,為了進(jìn)一步改善乘波體升力特性,也可將上表面設(shè)計(jì)成具有膨脹角的外形。

(3)流線追蹤生成下表面。以前緣曲線上的各點(diǎn)為起始點(diǎn),順流追蹤激波后錐形流場(chǎng)中的流線至乘波體的底部,則可以形成錐導(dǎo)乘波體的下表面。本文研究的錐導(dǎo)乘波體生成示意圖和基本外形分別如圖1和圖2所示。以基本外形為基礎(chǔ),通過改變?cè)O(shè)計(jì)馬赫數(shù)Macfg、設(shè)計(jì)激波半錐角βcfg和設(shè)計(jì)高寬比H/W這3個(gè)參數(shù),可以得到一系列外形,如圖3所示。

圖1 錐導(dǎo)乘波體生成示意圖

圖2 基本外形

圖3 改變外形參數(shù)得到的錐導(dǎo)乘波體

1.2 Kriging代理模型

Kriging模型最早由Sacks等[8]提出,其是將真實(shí)模型響應(yīng)描述為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程,以相關(guān)函數(shù)為權(quán)值進(jìn)行插值,因此不僅可以給出預(yù)測(cè)值,還可以給出預(yù)測(cè)方差。其表達(dá)式為:

(2)

式中,F(X)=βTf為響應(yīng)確定性部分；βT={β1,β2, …,βp}為回歸系數(shù)向量；fT={f1,f2, …,fp}為低階多項(xiàng)式回歸函數(shù)向量;Z(X)是零均值方差為σ2的隨機(jī)過程,具有如下協(xié)方差矩陣:

Cov[Z(Xi),Z(Xj)]=σ2[Rij(Xi,Xj)]

(3)

式中,Xi和Xj為設(shè)計(jì)空間中的兩點(diǎn),i≥1，,j≤N,N為預(yù)測(cè)點(diǎn)總數(shù)。相關(guān)函數(shù)矩陣中的元素為:

(4)

式中,Rk為具體形式的相關(guān)函數(shù),有多種常用形式,常用的高斯相關(guān)函數(shù)為:

(5)

1.3 LS-SVM代理模型

最小二乘支持向量機(jī) LS-SVM是由Suykens[9]于1999年提出的,屬于機(jī)器學(xué)習(xí)范疇,是一種針對(duì)未知結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法。設(shè)有訓(xùn)練數(shù)據(jù)Xi=(xi,yi),需要找到某種映射關(guān)系f:x→y,同時(shí)使風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)R(f)達(dá)到最小。

(6)

式中,L為損失函數(shù),表示預(yù)測(cè)與真實(shí)值的偏離程度。映射可以表示為：

f(w,x)=wTΦ(x)+b

(7)

式中,w為系數(shù)矢量;Φ為x的未知函數(shù)矢量?；貧w分析轉(zhuǎn)化為凸二次優(yōu)化問題:

(8)

(9)

于是

(10)

SVM用核函數(shù)來表示未知函數(shù)的乘積,即:

K(x,y)=Φ(x)Φ(y)

(11)

至此,完成了在高維特征空間的線性回歸。

2 氣動(dòng)特性代理

本文錐導(dǎo)乘波體的基本外形參數(shù)選取為:Macfg=10,βcfg=12°,H/W=0.16,設(shè)計(jì)飛行高度Hcfg=60 km。在7維設(shè)計(jì)空間內(nèi)對(duì)錐導(dǎo)乘波體的氣動(dòng)特性進(jìn)行代理,其中3個(gè)外形參數(shù)變量的取值范圍為:Macfg=6～20,βcfg=10°～20°,H/W=0.05～0.30。4個(gè)飛行參數(shù)變量的取值范圍為:α=-5°～15°,β=-10°～10°,H=10～100 km,Ma=2～15。由Hammersley試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法給出了7維設(shè)計(jì)空間中的500個(gè)試驗(yàn)點(diǎn),采用面元法對(duì)錐導(dǎo)乘波體進(jìn)行氣動(dòng)估算,并以此作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)分別對(duì)CL,CD,L/D,Cm,Cn,Cl,Xp進(jìn)行Kriging和LS-SVM代理,共建立了14個(gè)代理模型。

2.1 基本外形的氣動(dòng)代理效果

圖4～圖9為基本外形在不同飛行參數(shù)下氣動(dòng)特性的Kriging和LS-SVM代理效果對(duì)比。由圖可見,首先,Kriging模型的代理效果整體優(yōu)于LS-SVM模型。這是由于Kriging模型基于插值技術(shù),在訓(xùn)練點(diǎn)處沒有代理誤差;而LS-SVM模型是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)擬合,并不能保證完全通過訓(xùn)練點(diǎn),因此Kriging模型對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的利用更加充分。其次,數(shù)量級(jí)小的模型(如Cn,Cl)的代理效果不如數(shù)量級(jí)大的模型(如L/D),這是由于數(shù)值計(jì)算誤差對(duì)那些數(shù)量級(jí)小的模型影響更顯著。另外,還可以看出,基本外形的最大升阻比出現(xiàn)在α=5°左右,若假設(shè)質(zhì)量是均勻分布的,則基本外形的壓心在質(zhì)心之前,不具有縱向靜穩(wěn)定性;基本外形是個(gè)扁平升力體,橫航向靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)很小。

圖4 升力系數(shù)

圖5 升阻比

圖6 俯仰力矩系數(shù)

圖7 偏航力矩系數(shù)

圖8 滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)

圖9 壓心超前質(zhì)心位置

2.2 不同外形的氣動(dòng)代理效果

以各種飛行條件下能出現(xiàn)的最大升阻比為代表,圖10～圖12為錐導(dǎo)乘波體氣動(dòng)特性隨3種外形參數(shù)的變化趨勢(shì)。結(jié)果表明,最大升阻比隨Macfg變化不大,隨βcfg的增大而減小,隨H/W的增大而增大。其中由Kriging代理模型得出的最大升阻比與由牛頓面元法估算(設(shè)為真實(shí)模型)結(jié)果符合得很好,而LS-SVM模型由于其本身代理的精度稍差,因而由其分析出的最大升阻比與真實(shí)模型存在一定誤差。另外,由各圖還可看出,錐導(dǎo)乘波體在高超聲速飛行時(shí)比低超聲速飛行時(shí)的升阻比更大。

圖10 最大升阻比隨Macfg的變化

圖11 最大升阻比隨βcfg的變化

圖12 最大升阻比隨H/W的變化

2.3 代理建模方法評(píng)析

表2為用真實(shí)模型和代理模型進(jìn)行分析生成各圖所用機(jī)時(shí)的對(duì)比。表3為兩種代理模型的全局代理精度的對(duì)比,用相對(duì)均方根誤差RMSE值進(jìn)行量化,其定義為:

(12)

表2 真實(shí)/代理模型用時(shí)對(duì)比 (s)

表3 全局代理精度ERMSE對(duì)比 (%)

對(duì)比結(jié)果表明,應(yīng)用代理模型進(jìn)行分析的效率顯著高于真實(shí)模型,對(duì)于此高維問題,Kriging模型的代理精度整體優(yōu)于LS-SVM模型,兩種模型對(duì)數(shù)量級(jí)大的模型的代理精度足夠高。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文用Kriging模型和LS-SVM模型對(duì)錐導(dǎo)乘波體的氣動(dòng)特性進(jìn)行了代理,結(jié)果表明,Kriging模型能更準(zhǔn)確地給出各種條件下的氣動(dòng)特性數(shù)據(jù),應(yīng)用其進(jìn)行乘波體飛行器初步設(shè)計(jì)的氣動(dòng)優(yōu)化的效率將顯著提高。整體而言,兩種模型對(duì)于數(shù)量級(jí)大的模型的代理精度更高,Kriging模型代理精度比LS-SVM模型更高。適量增加訓(xùn)練點(diǎn)可以提高Kriging模型精度,但LS-SVM模型的代理效果對(duì)訓(xùn)練點(diǎn)數(shù)的增加并不敏感,對(duì)高維問題適應(yīng)性不好。

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Reserchonthesurrogateofmodelaerodynamicperformanceofconederivedwaverider

WANG Shuo, LI Ping, CHEN Wan-chun

(School of Astronautics, BUAA, Beijing 100191, China)

As traditional methods of aerodynamic calculations of waveriders are complicated, inefficient and not accommodated to multi-discipline design optimization, an alternative surrogate is strongly demanded for which it can conquer the contradiction between precision and efficiency of the calculation. Aerodynamic data of the cone derived waverider were collected both at the designed and non-designed points. The calculation was based on Newton panel method. The Kriging and LS-SVM surrogate models were constructed and the performances of surrogating this high-dimensional model were compared. The results showed that Kriging surrogate models were much more valid and it was evidently efficient to pursue optimization works using surrogate models.

cone derived waverider; aerodynamic feature; Kriging; LS-SVM; surrogate model

2011-04-14;

2011-09-07

王爍(1987-)，男，北京人，碩士研究生，研究方向?yàn)轱w行器多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化。

V412.4

A

1002-0853(2012)01-0043-05

(編輯：姚妙慧)