從惠更斯原理到索末菲衍射公式

張 瑤，羅玉輝，吳文良

（昭通師范高等?？茖W(xué)校物理系，云南昭通 657000）

從惠更斯原理到索末菲衍射公式

張 瑤，羅玉輝，吳文良

（昭通師范高等?？茖W(xué)校物理系，云南昭通 657000）

自1678年惠更斯提出惠更斯原理，菲涅耳、基爾霍夫、索末菲等都對(duì)這一原理作出了改進(jìn)和完善，體現(xiàn)了科學(xué)研究中從定性、半定量再到定量的逐步精確化的發(fā)展歷程。為了準(zhǔn)確理解惠更斯一菲涅耳原理，也為了認(rèn)識(shí)和掌握科學(xué)發(fā)展的客觀規(guī)律，有必要對(duì)惠更斯原理的發(fā)展歷程作比較深入的認(rèn)識(shí)，文章對(duì)此作了嘗試。

衍射；惠更斯-菲涅耳原理；基爾霍夫衍射公式；索末菲衍射公式

惠更斯（Christiaan Huygens，1629年4月14日—1695年7月8日），荷蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，主要致力于力學(xué)、光波學(xué)、天文學(xué)及數(shù)學(xué)的研究。他善于把科學(xué)實(shí)踐和理論研究結(jié)合起來(lái)，透徹地解決問(wèn)題，在擺鐘的發(fā)明、天文儀器的設(shè)計(jì)、彈性體碰撞和光的波動(dòng)理論等方面都有突出成就。1663年他被聘為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)第一位外國(guó)會(huì)員，1666年剛成立的法國(guó)皇家科學(xué)院選他為院士。

惠更斯在1678年提交給巴黎科學(xué)院的《光論》一書中闡述了光的波動(dòng)原理，即惠更斯原理：波面上的每一點(diǎn)都可看成是發(fā)射次波的波源，各自發(fā)出球面次波，在以后某一時(shí)刻，這些次波的包絡(luò)面，就是該時(shí)刻的新波面〔1〕134。惠更斯原理正確地解釋了光的反射定律、折射定律和雙折射現(xiàn)象，應(yīng)用惠更斯原理可以確定光波從一個(gè)時(shí)刻到另一時(shí)刻的傳播。然而衍射現(xiàn)象實(shí)質(zhì)上是不同方向上的強(qiáng)度分布，惠更斯原理并未涉及強(qiáng)度，也無(wú)波長(zhǎng)概念，僅靠惠更斯原理并不能解決衍射問(wèn)題。盡管如此，惠更斯原理為光的波動(dòng)說(shuō)開創(chuàng)了先河，并為菲涅耳傳承和發(fā)展。

菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel，1788年5月10日—1827年7月14日），法國(guó)土木工程師、物理學(xué)家，波動(dòng)光學(xué)的奠基人之一。1823年當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院院士，1825年被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。兩年后因肺病醫(yī)治無(wú)效逝世，終年僅39歲。

1815年菲涅耳向巴黎科學(xué)院提交了第一篇論文《光的衍射》，在論文中他批評(píng)了微粒說(shuō)，提出了他的衍射理論及其實(shí)驗(yàn)根據(jù)，用“子波相干疊加”的思想補(bǔ)充了惠更斯原理；1816年，他又陸續(xù)提交了關(guān)于反射光柵和半波帶法的論文；1818年，他用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明將定性的惠更斯原理發(fā)展為半定量的原理，后來(lái)被稱為惠更斯-菲涅耳原理。

為了用光的波動(dòng)說(shuō)解釋衍射現(xiàn)象，菲涅耳彌補(bǔ)了惠更斯原理的不足之處，他基于光的干涉原理考慮到惠更斯子波來(lái)自同一光源，它們應(yīng)該是相干的，因而波前外任一點(diǎn)的光振動(dòng)應(yīng)該是波前上所有子波相干疊加的結(jié)果。從而解決了光波衍射的問(wèn)題。菲涅耳認(rèn)為：波面S上每個(gè)面積元dS都可以看成新的波源，它們均發(fā)出次波，波面前方空間某一點(diǎn)P的振動(dòng)可以由S面上所有面積元所發(fā)出的次波在該點(diǎn)疊加后的合振幅來(lái)表示。

盡管惠更斯-菲涅耳原理由于泊松亮班的發(fā)現(xiàn)而被證實(shí)，然而它并不是嚴(yán)格的理論產(chǎn)物，較大程度上仍是憑樸素的直覺(jué)而得到。菲涅耳對(duì)傾斜因子沒(méi)有給出具體的函數(shù)形式，只是作了某種猜測(cè)，比例系數(shù)C的含義也不清楚，所以惠更斯-菲涅耳原理仍然只能算一個(gè)半定量的原理。針對(duì)原理的局限性，基爾霍夫和索末菲根據(jù)一般的波動(dòng)理論導(dǎo)出了衍射公式，給出了菲涅耳原理中傾斜因子K（θ）的具體函數(shù)形式和比例系數(shù)C。

基爾霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824年3月12日—1887年10月17日），德國(guó)物理學(xué)家。生于普魯士的柯尼斯堡（今為俄羅斯加里寧格勒），后在柯尼斯堡大學(xué)讀物理，21歲時(shí)提出了著名的基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律，解決了電器設(shè)計(jì)中電路方面的難題。1859年，基爾霍夫通過(guò)用燈焰燒灼食鹽的實(shí)驗(yàn)得出了關(guān)于熱輻射的定律，1862年他又進(jìn)一步提出絕對(duì)黑體的概念。1882年，在麥克斯韋方程組的基礎(chǔ)上，基爾霍夫建立了衍射理論，最先成功地把惠更斯原理正確地寫成數(shù)學(xué)形式，成為勢(shì)論中格林定理的一個(gè)擴(kuò)充〔2〕65。

式中U（Q）是點(diǎn)光源P0在Σ面Q點(diǎn)的復(fù)振幅。當(dāng)光源為近軸點(diǎn)光源且離衍射屏足夠遠(yuǎn)，r0與n的夾角接近180°，cos(n,r0)≈-1，從而上式可以寫為

阿諾德·索末菲（Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld，1868年12月5日—1951年4月26日）德國(guó)物理學(xué)家。出生地與基爾霍夫相同，卒于巴伐亞的慕尼黑。1916年，他對(duì)玻爾的理論提出修正，即引入了電子的橢圓軌道，在作這樣的修正時(shí)，他把愛(ài)因斯坦的相對(duì)論應(yīng)用于高速運(yùn)動(dòng)的電子，這樣相對(duì)論和普朗克的量子都在這種原子模型中找到了自己的位置。人們往往把這種原子模型叫做玻爾-索末菲原子模型。這一模型成功地解釋了氫原子光譜和重元素X射線譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)以及正常塞曼效應(yīng)。索末菲是一位出色的教師，學(xué)生P.J.W.德拜、W.K.海森伯、W.泡利和H.A.貝特等人還獲得了諾貝爾獎(jiǎng)。

比較瑞利-索末菲衍射公式和菲涅耳-基爾霍夫衍射公式，可以看出，其差別僅在于傾角因子不同。而在近軸條件下，cos（n，r）=-cos（n，r0）=1。而通常要計(jì)算的衍射問(wèn)題大都屬于近軸情況，所以在應(yīng)用中這兩種衍射公式是可以不加區(qū)別的?；鶢柣舴蜻吔鐥l件的不自洽性，只是在嚴(yán)格的理論意義上是確實(shí)的，但在一定條件下，基爾霍夫邊界條件近似成立，比如對(duì)無(wú)限大不透明屏上一定形狀的衍射孔Σ面的情況，基爾霍夫邊界條件就基本符合實(shí)際。

瑞利-索末菲衍射公式并不一定比菲涅耳-基爾霍夫衍射公式應(yīng)用范圍更廣。盡管選擇格林函數(shù)G—消除了基爾霍夫邊界條件的不自洽性，從理論上說(shuō)是有意義的，但其邊界條件仍是在一定條件下對(duì)實(shí)際情況的近似描寫。索末菲衍射公式與基爾霍夫衍射公式的差別僅在于傾斜因子不同，誰(shuí)更正確還有待進(jìn)一步的檢驗(yàn)。

需要指出的是，針對(duì)惠更斯-菲涅耳原理的不足，中國(guó)學(xué)者也作了積極的探究。大理學(xué)院工程學(xué)院副教授羅凌霄老師，在1998年他還是中學(xué)老師的時(shí)候，在不了解基爾霍夫和索末菲等人成果的情況下，從波不退行的事實(shí)和簡(jiǎn)單性出發(fā)，假定了傾斜因子的函數(shù)形式〔3〕為

從這一假設(shè)和惠更斯-菲涅耳原理出發(fā)進(jìn)行推演，可得到與瑞利-索末菲衍射公式幾乎一致的結(jié)果，同樣推出次波振源的相位比同一位置的光振動(dòng)的相位超前π/2，次波振源引起的振動(dòng)與波長(zhǎng)成反比這些結(jié)論。在文獻(xiàn)〔4〕中，羅凌霄老師進(jìn)一步把惠斯更-菲涅耳原理用于幾率波，給出了一種計(jì)算粒子幾率密度的方法。

綜上所述，從惠更斯原理直到瑞利-索末菲衍射公式，光的衍射理論的發(fā)展體現(xiàn)出科學(xué)研究“由此及彼，由表及里，去粗取精，去偽存真”，從定性、半定量再到定量的逐步精確化的發(fā)展歷程。對(duì)我們深入認(rèn)識(shí)自然界和人類社會(huì)有著重要的啟示意義。

〔1〕梁紹榮，劉昌年，盛正華，等.普通物理學(xué)·光學(xué)：第四分冊(cè)〔M〕.3版.北京：高等教育出版社，2005.

〔2〕普朗克.理論物理學(xué)導(dǎo)引·光學(xué)：第4卷〔M〕.鐘間，譯.北京：高等教育出版社，1959.

〔3〕羅凌霄，張學(xué)清.定量惠更斯-菲涅耳原理〔J〕.大理師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，1998（3）：94-94.

〔4〕羅凌霄.惠更斯-菲涅耳原理的定量化〔J〕.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，30（5）：666-667.

From Huygens'Principle to the Sommerfeld Diffraction Formula

ZHANG Yao,LUO Yuhui,WU Wenliang
（Department of Physics,Zhaotong Teachers College,Zhaotong,Yunnan 657000,China）

Since 1678 Huygens proposed Huygens'Principle,Fresnel,Kirchhoff,Sommerfeld and so on had improved this principle，which reflects the scientific research of the development process form the qualitative,semi-quantitative precision to the quantitative phase.In order to accurately understand the Huygens-Fresnel's principle,and also to grasp the objective laws of scientific development,it is necessary for further knowing the history of development of the Huygens'principle.

diffraction;Huygens-Fresnel principle;Kirchhoff diffraction formula;Sommerfeld diffraction formula

O4-09［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］A［文章編號(hào)］1672-2345（2012）04-0042-03

2011-12-09

2012-01-10

張瑤，講師，主要從事科技史研究.

（責(zé)任編輯 袁 霞）