電性源瞬變電磁響應(yīng)計算中的誤差研究

周楠楠，薛國強，孔祥儒

（中科院礦產(chǎn)資源研究重點實驗室，中國科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所 北京 100029）

0 前言

瞬變電磁法屬于時間域電磁感應(yīng)方法，它利用不接地回線或者接地導(dǎo)線向地下發(fā)射階躍電流，觀測由地下介質(zhì)電磁感應(yīng)所引起的純二次場場值。由于觀測的是時間域的場值，早期信號反應(yīng)淺層地電特征，晚期信號到達較晚，反應(yīng)較深部的地電信息，從而達到測深的目的。電偶源瞬變電磁測深方法采用接地導(dǎo)線源裝置，將長接地導(dǎo)線直接作為偶極源處理，觀測位于偶極源較遠距離處的場值響應(yīng)［1～5］。

電偶源瞬變電磁測深法具有工作效率高，對地電斷面分辨能力強，可以同時彌補頻率測深方法探測深度不足，以及MT方法使用天然場為場源的數(shù)據(jù)不足的缺點。該方法屬于深層瞬變電磁測深和回線源的瞬變電磁測深，具有很好的互補性，在煤田、油氣田、地熱田和地殼深部探測方面有著重要作用［6～12］。

在國際上，陸地和海洋的多道電源瞬變電磁研究，已經(jīng)取得了重要進展，可為油氣勘探中識別油氣水和監(jiān)測液體流動提供重要依據(jù)。對電性源瞬變電磁響應(yīng)進行深入研究非常必要，目前我國也開始籌備電源多道瞬變電磁儀器，準備為研制和使用電性源多道瞬變電磁儀開展資源探測建立試驗場地。目前在電偶源場值響應(yīng)的推導(dǎo)過程中存在大量的近似，這種近似的存在制約著電偶源測深精確測深的發(fā)展，因此，我們需要對電偶源測深響應(yīng)計算中存在的誤差進行分析討論，使我們在使用電偶源測深時對電偶源的數(shù)據(jù)處理和解釋有更加清晰的認識。

作者在本文通過計算，對電性源瞬變電磁響應(yīng)計算中的理論誤差進行研究，研究結(jié)果對電性源瞬變電磁法的推廣應(yīng)用具有重要的意義。

1 偶極源本身有長度時的誤差

對于電偶極子的定義不是有限長度線源的電荷分布，而是區(qū)域分布的概念［13］。理論上，我們在討論電偶極源的問題時，應(yīng)該假設(shè)源為點源。但在實際的應(yīng)用中，我們往往以遠區(qū)條件作為偶極子近似的標準，那么這種近似會帶來多大的計算誤差呢？我們將以有線長度的天線赤道向上產(chǎn)生的水平電場為例，分析天線長度不為“1”產(chǎn)生的場值及相對應(yīng)的視電阻率的修正問題。

將記錄點設(shè)在物探遠區(qū)場，以保證近似條件的滿足，如圖1所示，并假設(shè)發(fā)射天線上的電流是均勻的。

圖1 偶極子天線源場值計算示意圖Fig.1 Schematic map of dipole antenna

計算赤道向的Ex處理方式是，把發(fā)射天線源分為許多地小段，當段數(shù)足夠多時，對每一小段就可以使用偶極子公式進行計算。設(shè)r為發(fā)射天線中心點到觀測點的距離，r′為天線上某一小段（x，x＋dx）到觀測點的距離：

另外，對以該小段來說，觀測點也不再是赤道向，其角度為α：

納米吉安［14］給出了均勻半空間模型下的，平行于電偶極源的電場Ex的表達式（3）。

將式（2）代入式（3）中，并運用三角函數(shù)關(guān)系cos2α＝2cos2α－1，可以得到式（4）。

對于層狀模型的情況，水平分層情況下的物探遠區(qū)場的表達式與均勻半空間的模型相似，只是在其中的σ乘上一個因子。

因此，最終我們得到如圖1所示的一小段天線在觀測點所產(chǎn)生的電場x分量（用dEx表示），可以通過偶極子公式來計算：

在物探遠區(qū)｜kr′｜?1，在式（5）中，含有e－ikr′的項都可以略去，因此得到遠區(qū)物探場的電場分量的表達式為：

然后，再對各小段產(chǎn)生的場疊加起來，就可以得到總的Ex。當段數(shù)無限多時，求和就成為對dx的積分，積分的結(jié)果是：

位于中心點的偶極子產(chǎn)生的場為：

另外，在進行場強測量時，由于接收天線有一長度所測的場不是某一點的值，而是該點附近的平均值，因此需要做一個修正。以物探遠區(qū)赤道向的Ex為例，設(shè)接收天線的長度為l′，同樣得到實測的電場ˉEx與接收天線中心點的Ex的關(guān)系為：

在發(fā)射天線和接收天線都比較長時，可以將兩個修正因子乘起來，于是在赤道向有式（11）。

表1 發(fā)射長度為“1”時，收發(fā)距不斷變化引起的視電阻率的校正因子表Tab.1 Correction factor of apparent resistivity for different offset at the length of 1

2 均勻半空間頻率域場響應(yīng)計算時的近似

2.1 準靜態(tài)條件下的位移電流影響

納米吉安［14］指出在有限源問題中，通常只有發(fā)射和接收裝置均置于地面，且頻率足夠低，因而可以采用準靜態(tài)近似時，才能方便地求得解析解。

在層狀介質(zhì)下的Ex表達式為

在均勻半空間的介質(zhì)條件下：

式（13）是在層狀介質(zhì)下的場的表達式，通過準靜態(tài)近似得到均勻半空間下的場的解，在準靜態(tài)條件下，忽略位移電流的影響。因此，λ和k1之間存在著近似的對等，這種誤差的影響較小，但在理想電介質(zhì)中這種誤差不可忽略。在常見的地質(zhì)結(jié)構(gòu)中，電導(dǎo)率值相對理想電介質(zhì)較高，而且電偶源瞬變電磁的發(fā)射頻率屬于低頻的范圍，遠遠低于位移電流需要考慮時的高頻值。

2.2 比擬過程中的誤差分析

為了得到諧變電偶極源的場的特點，往往采用比擬的方法，即將諧變的發(fā)射頻率設(shè)為零，在求頻率等于零的均勻半空間表面上，當水平電偶極子形成的電磁場特征時，存在一種假設(shè)條件［15］即：

使得原本的均勻半空間介質(zhì)的頻率域的電場徑向分量從式（14），在頻率等于零時（恒定電流場），簡化成式（15）。

式中 ρ表示均勻半空間的電阻率值。

這種級數(shù)的省略帶來了一定的計算誤差，我們以ex不同階數(shù)的展開式為例進行分析，設(shè)x不斷變化時，各級數(shù)項省略帶來的計算誤差。

相對誤差＝（精確值－各階次近似）／精確值。所有數(shù)值小數(shù)點后顯示六位有效數(shù)字。

表2（見下頁）為ex的麥克格林級數(shù)展開的不同次數(shù)近似的相對誤差分析。

2.3 遠區(qū)勘探近似公式存在的誤差分析

表2 ex的麥克格林級數(shù)展開的不同次數(shù)近似的相對誤差表Tab.2 Relative error for different power at the Maclaurin series

（1）近區(qū)：Kr?1的區(qū)域。

（2）遠區(qū)：Kr?1的區(qū)域。

不論近區(qū)和遠區(qū)，都同時有感應(yīng)場和輻射場存在，不過若將兩者比較起來：在近區(qū)感應(yīng)場較強，輻射場可忽略；在遠區(qū)，輻射場較強，感應(yīng)場可以忽略。因而近區(qū)主要顯現(xiàn)感應(yīng)場的性質(zhì)，遠區(qū)主要顯現(xiàn)輻射場的性質(zhì)。盡管在近區(qū)內(nèi)輻射場比感應(yīng)場小，但仍比遠區(qū)的輻射場大很多，否則就會得出離波源越遠，輻射場越強的錯誤結(jié)論。實際上，輻射場由近及遠隨著距離的增加而逐漸衰減。

均勻大地情況水平電偶極子的物探場，理論計算的物探場值為：

在遠區(qū)，k1r?1，式（16）中包含eik1r的項略去，則有：

由于在實際使用中的發(fā)射頻率較低，而且探測區(qū)電阻率相對真空小的多，因此，忽略eik1r不會帶來較大的相對誤差，可以忽略。

3 時間頻率域轉(zhuǎn)換的誤差存在分析

雖然，在某種條件下頻域數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)換成時域數(shù)據(jù)，但就一次場對觀測結(jié)果的影響而言，兩者截然不同。以往先求得頻域公式，然后經(jīng)由頻域到時域的轉(zhuǎn)換，利用已有的時域場的結(jié)果來研究時域問題，不失為一種重要的方法。但是，有時候很難確定在頻率域中采取的哪些近似會對時域影響不大；哪些近似影響較大，可能會掩蓋時域最本質(zhì)的屬性。根據(jù)因果律，無論何種形式的時間域～頻率域轉(zhuǎn)換，都會引起截斷誤差和混跌計算誤差。比如，按照偶極子疊加由頻域轉(zhuǎn)換得到的回線源時域解，感應(yīng)電動勢往往在回線邊框附近迅速增長，產(chǎn)生奇異。實際上，由于時域中的因果關(guān)系，對于以階躍函數(shù)下降沿觸發(fā)的瞬變場，當電源關(guān)斷后，在原來的源點處，不會發(fā)生奇異，這也是時域瞬變場能夠?qū)崿F(xiàn)頻域無法實現(xiàn)的同點裝置的原因。在恒定電流場時，偶極源的場解在源點時是奇異的。但我們在野外實際觀測的數(shù)據(jù)是存在的，因為恒定電流場不存在場源的關(guān)斷，而瞬變電磁法勘探中場源關(guān)斷后的場解是非奇異的。這也是時間域瞬變電磁測深優(yōu)于頻率域測深的地方。

4 水平層狀介質(zhì)的電偶源場值響應(yīng)常規(guī)計算的誤差分析

針對電偶源，一般使用數(shù)字濾波等方法進行轉(zhuǎn)換。在轉(zhuǎn)換中存在計算誤差，通過分析與解析解的對比，分析誤差存在。

納米吉安［14］給出層狀模型下的水平電偶源的垂直磁場頻域解的表達式：其中 I表示激發(fā)電流；ds代表偶極源長度；y表示觀測點到偶極源的赤道距離；r為收發(fā)距；J1（λρ）為一階貝塞爾函數(shù)；λ2＝＋，k0表示波數(shù)。

對于N層大地，地表導(dǎo)納為：

對式（18）進行傅里葉變換式，可得：

得到時域瞬變電磁場響應(yīng)公式

圖2為坐標點（0，1）分別使用均勻半空間的精確解和數(shù)字濾波方法計算出的場值相對誤差曲線。

在遠區(qū)情況下，選取坐標點（0，1000），給出該點的數(shù)字濾波方法場值與精確解的相對誤差曲線。

通過圖2和圖3的對比發(fā)現(xiàn)，在收發(fā)距較小的近區(qū)，場值響應(yīng)使用數(shù)字濾波方法求解漢克爾變換和余弦變換時存在一定的計算誤差，尤其是在時間較大時。但對于遠區(qū)點時，在瞬變電磁測深的觀測時間范圍內(nèi)，數(shù)字濾波的計算偏差可以忽略。以（0，1000）點為例，在10ms時，相對誤差只有6.782 97E－07，可以滿足野外實際觀測的需要。

5 結(jié)論

通過上述分析，我們發(fā)現(xiàn)在電偶極源瞬變電磁測深的場值響應(yīng)的推導(dǎo)過程中存在著多處近似，這些近似有的帶來較大的計算偏差，如偶極子自身有長度時的誤差和數(shù)值計算近區(qū)場值時相對誤差，需要引起我們的注意。同時，在勘探電磁學(xué)中，往往需要先在頻域中求得穩(wěn)態(tài)場，然后經(jīng)傅里葉或拉普拉斯變化得到時間域的解這一轉(zhuǎn)換的過程掩蓋了因果律，同時在實際的時～頻域的變換時帶來了計算誤差。

盡管瞬變電磁法測深方法和頻域場測深方法幾乎同時出現(xiàn)，但由于傳統(tǒng)的電磁場理論著重研究單一頻率的電磁波，直接在時域進行瞬變電磁場研究還屬于探索階段。我們認為有必要尋找一種直接時域求解的方法，以避開頻率域求解場值公式時帶來的近似和計算偏差。

以時變點電荷為基本單元，不再經(jīng)過傅里葉或拉普拉斯變換，直接在時間域中推導(dǎo)層狀介質(zhì)表面上的瞬變場解析式，研究時域輔助函數(shù)的選取，時變點電荷載流元的處理等，經(jīng)過一系列處理，分析瞬變場在典型地層和不同場區(qū)的響應(yīng)特征，為瞬變電磁法的進一步發(fā)展和實際勘探提供理論基礎(chǔ)。

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