淺談學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

白洪濤

（寧夏民族職業(yè)技術(shù)學(xué)院，寧夏吳忠 751100）

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，思維能力的培養(yǎng)依賴于對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決，而中學(xué)階段的數(shù)學(xué)問題一般表現(xiàn)為習(xí)題的形式，解題思路的探索過程，不僅是幫助學(xué)生理解、掌握和鞏固所學(xué)知識(shí)的手段，而且是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑。心理學(xué)家布魯鈉說：“探索是教學(xué)的生命線”，作為教師必須引導(dǎo)學(xué)生探索解決問題的途徑。

1 探索多種解法，發(fā)展學(xué)生的求異思維，培養(yǎng)發(fā)散思維能力

數(shù)學(xué)老師在教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生善于從不同的角度、不同的側(cè)面進(jìn)行探索，把各種知識(shí)，各種解法聯(lián)系起來(lái)，形成解決問題的信息網(wǎng)絡(luò)，從中選擇最簡(jiǎn)單的解決問題的方法。這樣，既有利于課堂教學(xué)的順利開展，也有利于學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。

例如：如圖1，設(shè)AD、BE是由⊙O的直徑AB兩端所引的切線，DE是過⊙O上任一點(diǎn)F的切線，此切線與AD、BE相交與D、E（AD＞BE）.求證：⊙O的直徑是AD和BE的比例中項(xiàng)。［1］

圖1

啟發(fā)學(xué)生此題考慮多種證明方法根本思路是觀察圖形的性質(zhì)，然后與求證結(jié)論相結(jié)合，要證明線段的等積式，圖形中有切線，則考慮構(gòu)成直角三角形。由學(xué)生完成以下證法：（1）用直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角 形與原來(lái)三角形相似性質(zhì)可以證明，即連結(jié)OD、OE、OF，證∠DOE＝90°，可得Rt△DOE，OF是直角三角形斜邊上的高，可證得OF2＝DF.DE再由切線長(zhǎng)定理即可得證。（2）應(yīng)用多個(gè)三角形相似可證。連OD、OE，證△AOD∽△BOE即可。（3）利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行如下證明：連 OD、OE，先證∠DOE＝90°，在Rt△DOA與△BOE中，tanα＝且α＝90°－β，知tanα＝cotβ，可得結(jié)果。（4）此題還可拓展圖形利用平行線構(gòu)造相似三角形來(lái)做。如圖2，連OF，延長(zhǎng)DE、AB交于P，證△EBP∽△OFP，△OFP∽△DAP可得比例式，再用切割線定理也可得出結(jié)論。

圖2

上例的一題多解可以發(fā)展學(xué)生的求異思維，因此學(xué)生在老師的引導(dǎo)下大膽、積極的思考，在尋求多種解法的過程中，必然會(huì)考慮問題的方方面面，開闊學(xué)生的視野。

2 剖析習(xí)題結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生的探索興趣，培養(yǎng)深刻性思維能力

無(wú)論習(xí)題難易，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析習(xí)題結(jié)構(gòu)，探索解題思路，鼓勵(lì)和激發(fā)學(xué)生的探索動(dòng)機(jī)。

例如：如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑。過C點(diǎn)作⊙O的切線CF，過A作CF的垂線交CF于F點(diǎn)，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，若∠ABC＋∠DAB＝135°，DC＝cm，求 AE的長(zhǎng)。［2］

圖3

對(duì)于此題應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析。

（1）觀察：要求學(xué)生觀察圖形中的條件，找出內(nèi)在規(guī)律，①AB是圓的直徑，可得∠BCA＝90°；②CF是切線，知OCCF；③CFAE，OC∥AE，可知OC是△ABE的中位線，可得AE＝AB。

（2）分析：根據(jù)題目的特點(diǎn)，尋找解題的捷徑，提高解題的速度。由∠ABC＋∠DAB＝135°，則∠CAH＝45°。作輔助線，延長(zhǎng)BE和AD，交于點(diǎn)H，找特點(diǎn)，即構(gòu)成等腰直角三角形ACH后可知。又由四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O可得，∠CDH＝∠ABH，即∽，即：＝，即＝。

（3）綜合以上觀察、分析，可以求出AE的長(zhǎng)。

上例通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、聯(lián)想，層層分析矛盾，把問題逐步引向深入，使學(xué)生的點(diǎn)滴思維處于活躍狀態(tài)、激發(fā)了學(xué)生的探索興趣。

3 抓住問題本質(zhì)，挖掘習(xí)題的隱含條件，培養(yǎng)嚴(yán)密性思維性能力

學(xué)生在解題時(shí)，往往抓不住問題的實(shí)質(zhì)，對(duì)問題的某些隱含條件挖掘不出來(lái)，思維僅處于較淺層次，從而造成解題錯(cuò)誤。為使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，教師引導(dǎo)學(xué)生揭露問題實(shí)質(zhì)，注意隱含條件。

對(duì)此題的探索，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生怎樣把含有無(wú)理式的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為有理式。學(xué)生馬上意識(shí)到兩邊平方，利用條件a＋＝6，然后兩邊直接開平方得出：－ ＝ ±2，學(xué)生的思維到此為止了，沒有注意條件0＜a＜1有什么作用，因此就會(huì)錯(cuò)誤的得出題目有兩個(gè)答案。

4 克服思維定勢(shì)，注重學(xué)生的逆向探求，培養(yǎng)敏捷性思維能力

在探索習(xí)題解法過程中，首先教學(xué)生總結(jié)題目的常規(guī)解法，做到解決問題有“法”可循，“路”可走，但同時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，發(fā)散思維。

例如：在講完冪運(yùn)算性質(zhì)后，可配如下習(xí)題，計(jì)算①250×0.552，②（）100×950時(shí)按常規(guī)解法則計(jì)算繁難。但如果老師提示了冪運(yùn)算的逆向運(yùn)用，就可起到事半功倍的效果。

逆向思維的訓(xùn)練，使使學(xué)生的思維敏捷，方法靈活，簡(jiǎn)潔，準(zhǔn)確。

5 結(jié) 語(yǔ)

總之，作為一名數(shù)學(xué)教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)站在一定的高度認(rèn)真研究習(xí)題，發(fā)現(xiàn)習(xí)題功能，充分體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，重視解題思路的探索，變教為誘，變學(xué)為思，以誘達(dá)思，從而達(dá)到提高教學(xué)效果的目的。

1 祝朝富.培養(yǎng)學(xué)生探索能力的淺見［J］.數(shù)學(xué)通訊，2003，（3）

2 田亞薇.一題多解的關(guān)鍵——聯(lián)想能力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1995，（4）