冪函數(shù)剖面薄圓環(huán)振子的扭轉(zhuǎn)振動特性＊

蘇 超， 劉世清， 王家濤

(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院，浙江金華 321004)

冪函數(shù)剖面薄圓環(huán)振子的扭轉(zhuǎn)振動特性＊

蘇 超， 劉世清， 王家濤

(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院，浙江金華 321004)

對剖面厚度按冪函數(shù)變化的薄圓環(huán)振子的扭轉(zhuǎn)振動進行了理論分析，導出了其等效電路;進而由等效電路得出了扭轉(zhuǎn)振動頻率方程及共振頻率表達式;探討了環(huán)形振子第1、第2階共振頻率及角位移放大系數(shù)與其半徑比的關(guān)系;給出了薄圓環(huán)振子第1、第2階共振頻率及放大系數(shù)與其半徑比的擬合關(guān)系曲線.通過有限元(FEM)模態(tài)的分析，表明理論結(jié)果與FEM仿真結(jié)果吻合，對環(huán)形扭轉(zhuǎn)振子的工程設計具有參考價值.

圓環(huán)振子;超聲扭轉(zhuǎn)振動;等效電路;振動系統(tǒng);振動模態(tài)

1 n次冪剖面環(huán)形振子扭轉(zhuǎn)振動分析

圖1 冪函數(shù)剖面環(huán)形振子示意圖

設圖1所示為冪函數(shù)剖面環(huán)形振子的示意圖，平均厚度遠遠小于其半徑，即為薄圓環(huán)，厚度方向振動可忽略，而只認為做平面徑向運動.設內(nèi)半徑為b，外半徑為a，厚度隨半徑變化的函數(shù)為h(r)=h0rn，h0為常數(shù)，以Ma，Mb分別表示環(huán)形振子外側(cè)、內(nèi)側(cè)輻射面的外力矩，φa，φb分別表示環(huán)形振子外側(cè)、內(nèi)側(cè)輻射面質(zhì)點的扭轉(zhuǎn)振動角位移.對于任意徑向變厚度薄圓盤(環(huán))的平面切應力問題，由文獻［7］知，在簡諧振動情形下，其扭轉(zhuǎn)振動的微分方程為

切向力的函數(shù)表達式為

式(2)中：φ(r)表示扭轉(zhuǎn)振動角位移;ω為扭轉(zhuǎn)振動角頻率;h(r)為圓盤或環(huán)的厚度沿徑向變化函數(shù);為材料剪切模量;E為楊氏模量;σ為泊松系數(shù).

本文研究的薄圓環(huán)的厚度沿半徑變化的規(guī)律為h(r)=h0rn，h0為常數(shù)，代入式(1)可得冪函數(shù)型薄圓盤的平面扭轉(zhuǎn)振動波動方程

式(3)中：kt=ω/ct為薄圓環(huán)扭轉(zhuǎn)振動波數(shù);為扭轉(zhuǎn)波速.考慮到圓環(huán)作簡諧扭轉(zhuǎn)振動，引入時間項，由式(3)可得彈性薄圓環(huán)的平面扭轉(zhuǎn)振動波動方程的通解，可表示為如下形式：

式(4)即為作軸對稱平面簡諧扭轉(zhuǎn)振動的彈性薄圓環(huán)或彈性薄圓盤的振動方程，其中：

式(5)～式(6)中：m=(2+n)/2;Jm(ktr)和Ym(ktr)為非整數(shù)m階的第1類和第2類貝塞爾函數(shù)

式(7)中：

2 角位移振幅放大系數(shù)和位移節(jié)圓位置

對于邊界自由的冪指數(shù)型剖面薄圓環(huán)，設其內(nèi)表面質(zhì)點的角位移振幅為φb，輻射面切應力等于0，則有邊界條件

由角位移表達式(4)和切應力表達式(7)并結(jié)合邊界條件(10)，且略去時間項后，得到關(guān)于待定系數(shù)C，D的方程組

由式(10)可解出待定系數(shù)C，D的表達式分別如下：

將式(12)與式(13)代入式(4)并忽略時間項后得到角位移分布函數(shù)為

對于角位移節(jié)圓(即角位移始終為零的位置構(gòu)成的圓環(huán))，有φ(r)=0，則

由頻率方程求得了冪函數(shù)剖面薄圓環(huán)平面扭轉(zhuǎn)振動的共振頻率后，利用式(15)可確定其扭轉(zhuǎn)振動位移節(jié)圓的位置，位移節(jié)圓處角位移始終為零，因此可以作為支撐整個振子的位置.

設當r=a時，φ=φa，由此得扭轉(zhuǎn)角位移放大系數(shù)為

同樣，用頻率方程求出了冪函數(shù)剖面薄圓環(huán)平面扭轉(zhuǎn)振動的共振頻率后，利用式(16)可確定其平面扭轉(zhuǎn)振動時圓環(huán)內(nèi)外表面的角位移振幅放大倍數(shù).

3 機電等效電路及頻率方程

力矩表達式為

可進一步簡化為

其中：

式(22)～式(23)中：z0a=ρctSa，z0b=ρctSb為扭轉(zhuǎn)特性力阻抗.由機電類比原理知，式(20)～式(21)可用圖2的T型網(wǎng)絡描述，即

從圖2的機電類比等效電路可得到頻率方程，考慮自由扭轉(zhuǎn)振動的情況，即輻射面無負載，此時相當于圖2等效電路兩端機械短路，即由此得輸入阻抗為

將式(24)～式(26)代入式(27)，并由機械共振條件——阻抗虛部等于0，得到振子共振頻率方程為

冪函數(shù)剖面環(huán)形振子扭轉(zhuǎn)振動的振動頻率方程(28)是一個含有非整數(shù)階m的第1類和第2類貝塞爾函數(shù)的復雜超越方程，其共振頻率決定于振子的幾何參數(shù)、材料特性以及相應的振動階次.

圖2 冪函數(shù)剖面環(huán)形振子扭轉(zhuǎn)振動機電等效電路圖

4 數(shù)值計算及有限元分析

以常用的45號鋼材料環(huán)形振子為例進行數(shù)值計算，剖面高度變化函數(shù)為h(r)=2rn，取n=0，1，2進行對比計算，材料特性參數(shù)為ρ=7 800 kg/m2，泊松系數(shù)σ=0.28，楊氏模量E=209 GPa.振子外徑為2a=100 mm保持不變，改變內(nèi)半徑b的值，計算中引入λ=b/a.選取ANSYS單元庫中的SOLID45結(jié)構(gòu)單元，采用掃掠網(wǎng)格對實體模型進行網(wǎng)格劃分，并采用計算精度高、速度快的分塊Lanczos法對振子進行模態(tài)提取.當冪指數(shù)n=2時，外邊緣高度為5 mm，有限元仿真得到圓環(huán)振子的第1階和第2階扭轉(zhuǎn)共振模態(tài)如圖3、圖4所示.

圖3 振子1階扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)圖(n=2)

圖4 振子2階扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)圖(n=2)

圖5、圖6分別為冪指數(shù)n=0，1，2這3種剖面環(huán)形振子(n=0時為厚度不變的薄圓環(huán)振子，n=1時為錐形薄圓環(huán)振子)的第1階和第2階扭轉(zhuǎn)共振頻率與其內(nèi)外半徑關(guān)系比的關(guān)系.從中可以看到：理論結(jié)果與有限元結(jié)果吻合良好.當半徑比相同時，隨著冪指數(shù)n的增加，基頻共振頻率和第2階扭轉(zhuǎn)共振頻率均增大，但增大幅度不明顯，尤其是半徑比較大時，薄圓環(huán)振子的扭轉(zhuǎn)共振頻率幾乎相同，不受n的影響，這與該薄圓環(huán)的徑向共振頻率規(guī)律不同［9］;隨著半徑比的增大，第1階和第2階扭轉(zhuǎn)共振頻率均趨于無窮，即薄壁圓環(huán)彈性振子無扭轉(zhuǎn)共振模態(tài).

圖5 基頻扭轉(zhuǎn)共振頻率與半徑比關(guān)系

圖6 第2階扭轉(zhuǎn)共振頻率與半徑比關(guān)系

圖7 第1階共振扭轉(zhuǎn)角位移放大系數(shù)與半徑比關(guān)系

圖8 第2階共振扭轉(zhuǎn)角位移放大系數(shù)與半徑比關(guān)系

圖7、圖8分別為冪指數(shù)n=0，1，2這3種剖面環(huán)形振子的角位移振幅放大系數(shù)與內(nèi)外半徑比的關(guān)系.從中可以看出：在半徑比相同時，隨著冪指數(shù)n的不斷增加，角位移振幅放大倍數(shù)也不斷增加;n不變時，隨著半徑比的不斷增加，角位移放大倍數(shù)越來越小，逐漸趨近于1，即薄壁圓環(huán)無扭轉(zhuǎn)放大作用.

5 結(jié)論

1)建立了厚度按n次冪函數(shù)變化的環(huán)形超聲振子扭轉(zhuǎn)振動機電類比等效電路，從等效電路得出了圓環(huán)振子的扭轉(zhuǎn)振動頻率方程，并得出了聚能器的角位移振幅放大系數(shù)計算式和位移節(jié)圓計算式;給出了n=0，1，2時薄圓環(huán)扭轉(zhuǎn)振動頻率、放大系數(shù)與內(nèi)外半徑比的關(guān)系曲線，并利用有限元軟件對薄圓環(huán)扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)進行了分析，理論與有限元仿真結(jié)果吻合良好.

2)冪函數(shù)剖面薄圓盤振子扭轉(zhuǎn)振動的共振頻率、角位移放大系數(shù)與內(nèi)外半徑比有關(guān)，與振子的厚度無關(guān).

3)第1階和第2階扭轉(zhuǎn)振動頻率均隨著內(nèi)外半徑比的增大而增大，內(nèi)外半徑趨于一致時，均無扭轉(zhuǎn)振動諧頻，此結(jié)論可推廣至其他剖面形狀的環(huán)形振子.

4)剖面厚度冪指數(shù)n越高，環(huán)形聚能器的角位移放大系數(shù)越大，2階扭轉(zhuǎn)共振比基頻具有更大的角位移振幅放大系數(shù)，當內(nèi)外半徑趨于相等時，圓環(huán)無振幅放大作用.

5)對于由若干單一環(huán)形振子沿徑向級聯(lián)構(gòu)成的復合換能器系統(tǒng)，利用各接觸面上力與振速連續(xù)的邊界條件，即可得到復合振動系統(tǒng)的集成等效電路，通過電路分析法可得出頻率方程.

［1］林仲茂.超聲變幅桿的原理與設計［M］.北京：科學出版社，1987.

［2］欒桂東，張金鐸，王仁乾.壓電換能器和換能器陣［M］.北京：北京大學出版社，1990.

［3］林書玉，張福成.超聲頻圓柱體耦合振動等效電路及其應用［J］.陜西師范大學學報：自然科學版，1989，17(2)：33-37.

［4］森榮司.R-L 型振動變換器［J］.日本音響學會志，1974，30：587-595.

［5］汪承灝.盤形聚能器設計理論［J］.聲學學報，1979(4)：279-286.

［6］GladwellL G M L.The vibration of mechanical resonators(II)：rings，discs，and rods of arbitrary profile［J］.Sound and Vibration，1967，6(3)：351-364.

［7］Kleesattel C.Uniform stress contours for disk and ring resonators vibrating in axially symmetric radial and torsional modes［J］.Acoustica，1968，20(1)：1-13.

［8］劉世清，邱瑩瑩.薄圓環(huán)振子的超聲扭轉(zhuǎn)振動及其等效電路研究［J］.浙江師范大學學報：自然科學版，2007，30(3)：277-281.

［9］劉世清，蘇超，姚曄.n次冪變厚度環(huán)形超聲聚能器徑向振動特性［J］.上海交通大學學報，2011，45(6)：940-944.

［10］林書玉.彈性薄圓環(huán)的超聲頻徑向振動及其等效電路研究［J］.聲學學報，2003，28(3)：102-106.

An annular ultrasonic resonator with power function profile and FEM simulation for its torsional vibration

SU Chao， LIU Shiqing， WANG Jiatao

(College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang 321004，China)

The torsional vibration of thin annular resonator with power function profile was studied and the equivalent circuit was derived，the resonance frequency equation and the resonance frequency were obtained.By means of the numerical methods，the relationships between resonance frequencies，torsional displacement amplitude magnification coefficient of the resonator at the first and second order vibration modal and their radii were analyzed.Verified by FEM，it was showed that the theoretical values basically agreed with the simulation results of FEM，which suggested some helpful rules for the engineering designs and calculations of annular torsional resonator.

annular resonator;ultrasonic torsional vibration;equivalent circuit;vibration system;vibration mode

O4261

A

0 引言

2011-12-19

國家自然科學基金資助項目(11074222);浙江師范大學研究生創(chuàng)新科研項目(ZC316011063)

蘇 超(1986－)，男，河北石家莊人，碩士研究生.研究方向：聲學.

劉世清.E-mail：shiqingliu@zjnu.cn

1001-5051(2012)03-0284-06

(責任編輯 杜利民)

在功率超聲領(lǐng)域，需要設計各種不同形狀和振動模式的彈性振子，以滿足不同應用場合的需要，如超聲加工應用中常利用桿形超聲變幅器來實現(xiàn)振動位移的放大及機械阻抗的變換［1-3］;而彈性圓形、矩形板或殼常被用作換能器的輻射器件，以增大換能器的輻射面積，從而改善換能器的阻抗匹配，便于其廣泛應用于超聲清洗等領(lǐng)域.文獻［4-7］研究了幾種典型的厚度變化圓盤軸對稱徑向及扭轉(zhuǎn)振動情形，研究方法為解析法或數(shù)值法，求解過程比較復雜.而在功率超聲技術(shù)應用中，利用等效電路分析彈性振子的共振頻率較為方便.文獻［8］討論了等厚度薄圓環(huán)振子扭轉(zhuǎn)振動的振動特性.文獻［9-10］討論了彈性薄圓盤振子徑向振動的振動特性.本文對厚度按冪函數(shù)變化的薄圓環(huán)的扭轉(zhuǎn)振動進行了研究，導出了扭轉(zhuǎn)振動的等效電路，推導出其角位移振幅放大系數(shù)及位移節(jié)圓方程，得到了頻率方程，并對振子的基頻及第2階扭轉(zhuǎn)振動特性進行了有限元分析與驗證.