磁電彈性耦合材料中的本構(gòu)關(guān)系

曲 磊， 王建國(guó)， 錢 鋒

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

磁電彈性耦合材料具有同時(shí)感知磁、電、力影響的能力，因其具有獨(dú)特的機(jī)電和磁力轉(zhuǎn)換能力，這種材料（如壓電、壓磁和磁電彈性材料）和結(jié)構(gòu)已被大量應(yīng)用于傳感和制動(dòng)控制、信息處理以及材料科學(xué)等領(lǐng)域。在磁電彈性材料中，磁場(chǎng)、電場(chǎng)和力場(chǎng)具有相互轉(zhuǎn)換的作用，例如磁電彈性體被放置于電場(chǎng)中將被磁化，將其放置于磁場(chǎng)中會(huì)電極化，而將其置于磁場(chǎng)或者電場(chǎng)中也會(huì)有應(yīng)變產(chǎn)生。文獻(xiàn)［1－2］介紹了多種壓電／磁致伸縮材料所表現(xiàn)的磁電耦合現(xiàn)象，這些材料被稱為磁電彈性耦合材料；對(duì)于磁電彈性材料力、電、磁的耦合行為研究，文獻(xiàn)［3］最早指出將壓電－壓磁材料進(jìn)行組合，將產(chǎn)生一種新材料的特性，它不僅具備原有的壓電材料和壓磁材料的特性，并且具有非常顯著的磁電耦合性能；文獻(xiàn)［4－5］從理論上提出了壓電、壓磁材料的細(xì)觀力學(xué)模型來估算其耦合效應(yīng)；文獻(xiàn)［6］利用均勻場(chǎng)的概念得到了在纖維狀壓電、壓磁彈性耦合效應(yīng)中不同部分之間的精確關(guān)系；文獻(xiàn)［7－8］通過引入傳遞矩陣的方法，推導(dǎo)了橫觀同性三維簡(jiǎn)支磁電彈性板靜力問題的精確解；文獻(xiàn)［9］運(yùn)用狀態(tài)空間的方法分析了由壓電和壓磁材料組成的復(fù)合結(jié)構(gòu)磁電耦合影響；文獻(xiàn)［10］推導(dǎo)了層狀壓電、壓磁介質(zhì)軸對(duì)稱問題的狀態(tài)空間解。

1 磁電彈性體8種形式本構(gòu)方程的推導(dǎo)

磁電復(fù)合材料的磁電效應(yīng)來源于磁致伸縮效應(yīng)與壓電效應(yīng)的乘積。由于磁電轉(zhuǎn)化效應(yīng)是磁、電、力多場(chǎng)耦合的結(jié)果，為了有效地設(shè)計(jì)復(fù)合材料的組分與結(jié)構(gòu)，需建立磁電復(fù)合材料磁電轉(zhuǎn)化效應(yīng)的理論分析模型。磁電彈性體的耦合作用是通過磁、電、力的本構(gòu)關(guān)系反應(yīng)的，文獻(xiàn)［11－12］給出了壓電材料4種形式和壓磁材料4種形式的本構(gòu)關(guān)系。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，通過假設(shè)不同的獨(dú)立變量擴(kuò)展了磁電彈性體本構(gòu)關(guān)系的多種形式。

1.1 第1種形式的本構(gòu)方程

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)熱力學(xué)理論，引入絕對(duì)恒溫條件下的磁電彈性體熱電磁Gibbs自由能狀態(tài)方程U1，即

其中，U1為磁電彈性體介質(zhì)的能量密度；σij、εij分別為應(yīng)力和應(yīng)變；Di、Ei分別為電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移；Bi、Hi分別為磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁勢(shì)。

因?yàn)閁1是εij、Ei和Hi的二次函數(shù)，則U1可以展開成：

由方程（1）可得：

由于U1為εij、Ei和Hi的二次函數(shù)，根據(jù)Gibbs自由能理論，dU1又可以寫成：

比較方程（3）和（4）得：

利用方程（2）和（5）得：

通過引入常數(shù)：

將方程（7）代入方程（6），可以得到第1種形式的本構(gòu)方程為：

方程（8）即為第1種形式的本構(gòu)方程，它將應(yīng)變?chǔ)舓l、電勢(shì)Ek和磁勢(shì)Hk作為獨(dú)立的變量，該形式的本構(gòu)方程是目前磁電彈性體中普遍使用的一種形式，已有的大部分研究成果都是基于此種形式。本文將通過假設(shè)不同的參數(shù)作為獨(dú)立變量，從而推導(dǎo)出磁電彈性體另外7種形式的本構(gòu)關(guān)系，具體推導(dǎo)過程如下。

1.2 第2種形式的本構(gòu)方程

對(duì)U1（εij，Di，Hi）進(jìn)行Legendre變換后可得：

由方程（1）和（9）得：

U2為εij、Di和Hi的二次函數(shù)，U2可以展開為：

由方程（10）可得：

由于U2為εij、Di和Hi的二次函數(shù)，根據(jù)Gibbs自由能理論，dU2又可以寫成：

比較方程（12）和（13）得：

利用方程（11）和（14）得：

通過引入常數(shù)：

將方程（16）代入方程（15），得到第2種形式的本構(gòu)方程為：

1.3 第3種形式的本構(gòu)方程

對(duì)U1（εij，Di，Hi）進(jìn)行Legendre變換得：

由方程（1）和（18）得：

U3為 εij、Di和 Hi的 二 次 函 數(shù)。U3可 以展開成：

由方程（19）可得：

由于U3為εij、Di和Hi的二次函數(shù)，根據(jù)Gibbs自由能理論，dU3又可以寫成：

比較方程（21）和（22）得：

利用方程（20）和（23）得：

引入如下常數(shù)：

將方程（25）代入方程（24），得到第3種形式的本構(gòu)方程為：

1.4 其他5種形式的本構(gòu)方程

對(duì)于后5種形式的本構(gòu)方程，因?yàn)橥茖?dǎo)過程類似，本文不一一列出，僅給出推導(dǎo)的結(jié)果。

1.4.1 第4種形式本構(gòu)方程

由方程（1）和方程（27）得：

U4為εij、Di和Bi的二次函數(shù)，與U4對(duì)應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系為：

1.4.2 第5種形式本構(gòu)方程

由方程（1）和（30）得：

U5為σij、Di和Bi的二次函數(shù)，與U5對(duì)應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系為：

1.4.3 第6種形式本構(gòu)方程

由方程（1）和（33）得：

U6為σij、Di和Bi的二次函數(shù)，與U6對(duì)應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系為：

1.4.4 第7種形式本構(gòu)方程

由方程（1）和（36）得：

U7為σij、Di和Bi二次函數(shù)，與U7對(duì)應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系為：

1

.4.5 第8種形式本構(gòu)方程

由方程（1）和（39）得：

U8為σij、Ei和Bi二次函數(shù)，與U8對(duì)應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系為：

方程（8）、（17）、（26）、（29）、（32）、（35）、（38）、（41）即為所推導(dǎo)出的8種形式的本構(gòu)方程。

2 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮磁電彈性復(fù)合材料磁電耦合性能的影響，根據(jù)連續(xù)介質(zhì)的熱力學(xué)理論，通過引入Gibbs自由能和Legendre變換推導(dǎo)了磁電彈性耦合材料8種形式的本構(gòu)方程，據(jù)此可建立不同形式的變分原理。本文所得的研究成果為磁電彈性耦合材料的有限元方法的研究提供了理論基礎(chǔ)。

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