一類熱傳導(dǎo)方程區(qū)域分解簡(jiǎn)易算法

尹永學(xué)， 樸光日

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

一類熱傳導(dǎo)方程區(qū)域分解簡(jiǎn)易算法

尹永學(xué)， 樸光日

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

討論了一類求解一維熱傳導(dǎo)方程區(qū)域分解的簡(jiǎn)易算法．首先采用4階精度顯格式計(jì)算子區(qū)域間的內(nèi)界點(diǎn)值，然后采用θ－scheme在各子區(qū)域并行地求出內(nèi)點(diǎn)值．利用最大值原理得到了誤差估計(jì)式，并通過(guò)具體算例給出了非區(qū)域分解情形和區(qū)域分解情形下的誤差．結(jié)果表明，所得數(shù)值算法簡(jiǎn)單方便，適用于精度要求不高的并行計(jì)算．

一維熱傳導(dǎo)方程；區(qū)域分解；有限差分；并行計(jì)算

0 引言

近年來(lái)，多核CPU計(jì)算機(jī)越來(lái)越普及，其計(jì)算規(guī)模也不斷增大．為了有效利用硬件資源解決較大規(guī)模的計(jì)算問(wèn)題，人們對(duì)簡(jiǎn)便易行且高效率的數(shù)值并行方法進(jìn)行了研究．Dawson等［1］對(duì)熱傳導(dǎo)方程的區(qū)域分解算法做了經(jīng)典的研究；在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［2－5］在分界點(diǎn)采用Saul’yev非對(duì)稱格式得到了較好的結(jié)果．本文提出另一種求解一維熱傳導(dǎo)方程區(qū)域分解的簡(jiǎn)易算法，即為了提高在內(nèi)邊界點(diǎn)的精度，在內(nèi)邊界點(diǎn)采用4階精度顯格式，然后在每一時(shí)間層的各子區(qū)域采用θ－scheme并行地求解內(nèi)點(diǎn)值．

令u（x，t）為如下熱傳導(dǎo)方程的解：

在時(shí)間層tn－1到tn的計(jì)算中，為減少誤差在分界點(diǎn)采用了如（3）式的4階精度顯格式（參看文獻(xiàn)［6］）．在求得分界點(diǎn)上的值以后，在2個(gè)子域可用（4）式完全并行地求得內(nèi)點(diǎn)值．

1 誤差估計(jì)

則對(duì)各i和n有Zi≤0．

證明 使用數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)n＝0時(shí)，結(jié)論顯然成立．現(xiàn)假設(shè)對(duì)第n－1時(shí)間層結(jié)論也成立，由（6）式可得

近似值U滿足如下先驗(yàn)誤差估計(jì)：

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與結(jié)論

例題1 在問(wèn)題（1）中，若u（x，0）＝u0（x）＝sin（πx），則問(wèn)題的精確解為u（x，t）＝sin（πx）e－π2t．將例題（取T＝1）分為非區(qū)域分解情形和區(qū)域分解為2個(gè)子域情形進(jìn)行誤差比較．通過(guò)表1和表2的數(shù)值結(jié)果發(fā)現(xiàn)，雖然本文的區(qū)域分解算法簡(jiǎn)單易用，而且2種情形都是1階收斂，但是由于分界點(diǎn)造成的誤差比較大，所以雖然在分界點(diǎn)使用了4階精度顯格式算法，其最終誤差還是比非區(qū)域分解的情形大很多；因此，本文提出的算法較適合于需要并行處理且需要快速開發(fā)而對(duì)精度的要求不高的情形．

表1 非區(qū)域分解情形（θ ＝31/32）

表2 區(qū)域分解為2個(gè)子域的情形（H＝4h，τ ≤3 H 2/16，θ＝31/32）

［1］ Dawson C N，Du Qiang，Dupont T F．A finite difference domain decomposition algorithm for numerical solution of the heat equation［J］．Math Compt，1991，57：63－71．

［2］ 張寶林，申衛(wèi)東．熱傳導(dǎo)方程有限差分區(qū)域分解算法的若干注記［J］．?dāng)?shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2002（2）：81－90．

［3］ 呂桂霞，馬富明．拋物方程的一類并行差分格式［J］．吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2002，40（4）：327－330．

［4］ 呂桂霞，馬富明．二維熱傳導(dǎo)方程有限差分區(qū)域分解算法［J］．?dāng)?shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2006，（2）：96－105．

［5］ 王婷．熱傳導(dǎo)方程的一類有限差分區(qū)域分解顯－隱算法［J］．山東大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2006，41（5）：20－25．

［6］ Recktenwald G W．Finite－difference approximations to the heat equation［D］．Mechanical Engineering Department Portland State University，2011：1－17．

A simple domain decomposition method for the one－dimensional heat equation

YIN Yong－xue， PIAO Guang－ri
（Department of Mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China）

A simple finite difference domain decomposition method is proposed．An explicit method is used for solving interface values between subdomains，and then the inner values of subdomains can be solved in parallel usingθ－scheme．Error estimates is derived by maximum principle and errors of domain decomposition case and non domain decomposition case are shown，respectively．The result shows that the obtained numerical method is appropriate for the case of parallel computing，rapid development and of low accuracy requirements．

one－dimensional heat equation；domain decomposition；finite difference；parallel computing

O241．82

A

1004－4353（2012）02－0100－04

2012－01－26

尹永學(xué)（1972—），男，講師，研究方向?yàn)閿?shù)值分析．