一類分數(shù)階差分方程解的吸引性

張瑜， 孫明哲， 何延生

（延邊大學理學院 數(shù)學系，吉林 延吉133002）

一類分數(shù)階差分方程解的吸引性

張瑜， 孫明哲， 何延生＊

（延邊大學理學院 數(shù)學系，吉林 延吉133002）

研究了一類分數(shù)階差分方程解的吸引性．首先給出該問題的解的表達式，將該問題轉(zhuǎn)化為一個算子的不動點問題．其次利用Schauder不動點定理，證明了解的存在性，并建立了該差分方程具有吸引性的充分性條件．最后將主要結(jié)果推廣到中立型分數(shù)階差分方程上．

吸引性；分數(shù)階差分方程；初值問題；Schauder不動點定理

在過去的幾十年中，分數(shù)階微分方程已得到廣泛的研究和應(yīng)用，如在物理、動力學、化學、工程學等方面［1－2］．分數(shù)階差分方程研究是較新的研究領(lǐng)域，近年來才逐漸取得一些成果，例如文獻［3］研究了分數(shù)階差分方程的初值問題，文獻［4－6］研究了分數(shù)階差分方程解的存在性問題，文獻［7－9］研究了帶有邊值條件的非線性分數(shù)階差分方程的問題．有關(guān)分數(shù)階差分方程解的吸引性少有報道，本文將對此進行研究．

考慮分數(shù)階差分方程初值問題（IVP）

其中Δα表示α階分數(shù)差分算子，0＜α＜1，t∈N0＝｛0，1，2，…｝．f（t＋α－1，·）∶J×R→R是1個連續(xù)泛函，其中記C（J，R）表示J→R映射的全體．同時是1個巴拿赫空間，其范數(shù)定義為

1 預備知識

定義1［10］設(shè)ν＞0，函數(shù)f的ν階分數(shù)和定義為，同時定義函數(shù)f的ν階分數(shù)階差分為．其中t∈Na＋N＋ν，且N∈N，0≤N－1＜ν≤N．

定義2［11］假設(shè)x（t）＝0是初值問題的解，且對應(yīng)方程的任一解x（t），若則稱方程的零解是吸引的．

定義3［10］對于任意的t和α，有，且規(guī)定如果t＋1－α是Γ函數(shù)的極點，同時t＋1不是Γ函數(shù)的極點，那么

引理1［10］設(shè)t和ν是任意的數(shù)，并且有定義，那么

引理2［4］設(shè)0≤N－1＜ν≤N，對任意的ci∈R，1≤i≤N，那么

引理3［11］（Schauder不動點定理）若X是巴拿赫空間，U是X的非空有界凸閉子集，并且T∶U→U是完全連續(xù)的，那么T在U中至少有1個不動點．

2 分數(shù)階差分方程解的存在性及吸引性

為方便設(shè)Lp（J，R）是Lp空間且滿足條件（H0）是連續(xù)的．

引理5 假設(shè)條件（H0）和如下條件（H1）成立，

（H1）存在1個常數(shù)γ1＞0，有

那么初值問題（1）至少有1個解x∈C（J，R）．

i）A是S1到S1的1個映射．對于t≥α－1，由條件（H1），有即

iii）AS1是等度連續(xù)的．設(shè)t1，t2≥α－1和t1＞t2，t1，t2∈Nα－1．分3種情況證明：

① 如果t1，t2∈ ［α－1，T］Nα－1，A是有限的和算子，因此A是1個平凡完全連續(xù)算子，AS1也是等度連續(xù)的．

② 如果t1，t2∈NT＋1，那么

定理1 假設(shè)條件（H0）和（H1）成立，則初值問題（1）的零解是吸引的．

證明 由引理5知，初值問題（1）的解存在且在S1中，在S1中所有函數(shù)x（t）→0，t→∞．因此，當t→∞時，初值問題（1）的解趨近于0．

引理6 假設(shè)條件（H0）和如下條件（H2）成立，

（H2）存在1個常數(shù)γ2，使得

那么初值問題（1）至少有1個解x∈C（J，R）．

那么AS2?S2．剩下部分與引理5類似，故省略．

定理2 設(shè)條件（H0）和（H2）成立，那么初值問題（1）的零解是吸引的．

證明與定理1的證明類似，故省略．

引理7 假設(shè)條件（H0）成立且存在常數(shù)γ3＞0及y ∈C（J，R），使得如下條件成立，且y（t）滿足條件有1個常數(shù)α2∈（0，α），使得y∈L1/α2（J，R＋），那么初值問題（1）至少有1個解x∈C（J，R）．

所以AS3?S3．剩下部分與引理5的證明類似，故省略．

定理3 設(shè)條件（H0）和（H3）成立，那么初值問題（1）的零解是吸引的．

證明與定理1的證明類似，故省略．

3 分數(shù)階中立型差分方程解的存在性及吸引性

考慮分數(shù)階中立型差分方程

其中0＜α＜1，t∈N0＝｛0，1，2，…｝．在條件（H0）下，類似于前面的證明有如下結(jié)論：

定理4 假設(shè)條件（H0）成立，且以下條件成立∶有1個常數(shù)使得是完全連續(xù)的，那么初值問題（2）至少有1個解x∈S′1，同時這個解具有吸引性，其中

定理5 假設(shè)條件（H0）成立，且以下2個條件成立：（H′3）存在1個常數(shù)γ′2＞0使得是完全連續(xù)的，那么問題（2）至少有1個解x∈，同時這個解具有吸引性，其中

定理6 假設(shè)條件（H0）成立且存在y′∈C（J，R），對任意的t∈Nα－1，k1∈R并且x∈C（J，R），存在常數(shù)γ′3滿足如下條件滿足條件：①有常數(shù)l2＞0使得有1個常數(shù)α2∈（0，α），使得是完全連續(xù)的，并

且存在常數(shù)l3＞0，k2∈R使得那么問題（2）至少有1個解x∈S′3，并且這個解具有吸引性．其中k1＋k2＝1，l2＋l3＜1，

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Atrractivity of a class of fractional difference equations

ZHANG Yu， SUN Ming－zhe， HE Yan－sheng＊
（Department of Mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China）

We study attractivity of a class of fractional difference equations．Firstly we give a expression of the solution of fractional difference equations．And，this solution is converted into a discussion about fixed points for a operator．Secondly，we prove existence of solutions by using Schauder fixed point theorem．And we establish the suffi－cient conditions that proves attractivity of fractional order difference equations．Finally，the main results are extended to fractional neutral difference equtions．

attractivity；fractional difference equations；initial value problem；Schauder fixed point theorem

O175

A

1004－4353（2012）02－0095－05

2012－05－09 基金項目：國家自然科學基金資助項目（11161049）

＊通信作者：何延生（1962—），男，副教授，研究方向為微分方程及其應(yīng)用．