直流伺服系統(tǒng)模型及其辨識

劉 瓊

（太原理工大學(xué) 陽泉學(xué)院，山西陽泉045000）

1 直流伺服系統(tǒng)概述

1.1 直流伺服系統(tǒng)介紹

伺服系統(tǒng)又稱為隨動系統(tǒng)，是構(gòu)成自動化體系的基本環(huán)節(jié)，是由若干元件和部件組成的具有功率放大作用的一種自動控制系統(tǒng)。伺服系統(tǒng)按組成系統(tǒng)元件的物理性質(zhì)分為電氣伺服系統(tǒng)、電氣液壓伺服系統(tǒng)和電氣氣動伺服系統(tǒng)。電氣伺服系統(tǒng)又分為直流伺服系統(tǒng)和交流伺服系統(tǒng)，20世紀(jì)70年代直流伺服應(yīng)用廣泛，直流電動機(jī)調(diào)速范圍寬，啟動停止方便，轉(zhuǎn)矩大，系統(tǒng)消耗能量小，且廣泛應(yīng)用于對控制性能要求比較高的伺服系統(tǒng)中［1］。

直流伺服系統(tǒng)包括位置環(huán)、速度環(huán)和電流環(huán)，結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 直流伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

直流伺服系統(tǒng)適用的功率范圍很寬，包括從幾十瓦到幾十千瓦的控制對象。通常從提高系統(tǒng)效率的角度考慮，直流伺服系統(tǒng)多應(yīng)用于功率在100W以上的控制對象。直流電動機(jī)的輸出力矩與加于電樞的電流和由激磁電流產(chǎn)生的磁通有關(guān)。當(dāng)磁通固定時(shí)，電樞電流越大，則電動機(jī)力矩越大。當(dāng)電樞電流固定時(shí)，增大磁通量能使力矩增加；因此，通過改變激磁電流或電樞電流，可對直流電動機(jī)的力矩進(jìn)行控制。對電樞電流進(jìn)行控制時(shí)稱電樞控制，這時(shí)控制電壓加在電樞上。若對激磁電流進(jìn)行控制，則將控制電壓加在激磁繞組上，稱為激磁控制［2］。

電樞控制時(shí)，反映直流電動機(jī)的力矩T與轉(zhuǎn)速N之間關(guān)系的機(jī)械特性基本上呈線性特性如圖2所示。

圖2 直流電機(jī)的機(jī)械特性

圖2中，Vc1，Vc2為加在電樞上的控制電壓，負(fù)斜率D為阻尼系數(shù)。電樞電感一般較小，故電樞控制可以獲得很好的響應(yīng)特性。缺點(diǎn)是負(fù)載功率要由電樞的控制電源提供，因而需要較大的控制功率，增加了功率放大部件的復(fù)雜性。如對要求控制功率較大的系統(tǒng)，必須采用發(fā)電機(jī)——電動機(jī)組、電機(jī)放大機(jī)和可控硅等大功率放大部件。

激磁控制時(shí)要求電樞上加恒流電源，使電動機(jī)的力矩只受激磁電流控制。恒流特性可通過在電樞回路中接入一個(gè)大電阻（10倍于電樞電阻）來得到。對于大功率控制對象，串聯(lián)電阻的功耗會變得很大，很不經(jīng)濟(jì)；因此，激磁控制只限于在低功率場合使用。電樞電源采用恒流電源后，機(jī)械特性上的斜率等于零，引起電動機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)增加，加之激磁繞阻中的電感量較大，這些都使激磁控制的動態(tài)特性較差，響應(yīng)較慢。

1.2 直流電動機(jī)模型介紹

直流電動機(jī)是很常見的一種驅(qū)動設(shè)備，其原理如圖3所示，廣泛應(yīng)用在各種工業(yè)控制應(yīng)用中，如機(jī)器人、數(shù)控機(jī)床、自動生產(chǎn)線、電動車輛、無人駕駛飛行器等。在研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)時(shí)，選擇直流電動機(jī)作為被控對象很具有典型性。由于直流電動機(jī)的響應(yīng)速度很快，時(shí)間常數(shù)較小，對控制回路中的時(shí)延比較敏感，故可以很好地展示網(wǎng)絡(luò)時(shí)延對控制性能的影響［3］。

圖3 直流電動機(jī)原理圖

直流電動機(jī)的電氣方程和機(jī)械方程分別為

式（1）中，下標(biāo)a表示電樞；Ra表示電樞繞組電阻；ia為電流；Ua為電樞外加電壓值；Ce為電機(jī)電勢系數(shù)，且該常數(shù)與電機(jī)結(jié)構(gòu)有關(guān)；La為電樞電感，且該電感值很??；t表示時(shí)間；Ω（t）則表示轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化函數(shù)。也就是說輸入電流的變化會引起轉(zhuǎn)速的變化或者理解為負(fù)載與所需輸入功率之間的依變關(guān)系。式（2）中，下標(biāo)L表示負(fù)載（Load）端參數(shù)；T＝Cτia為電機(jī)電樞的輸入扭矩；Cτ為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù)；J為折算到電機(jī)軸上的總轉(zhuǎn)動慣量，ω為角速度。該式表述的是電機(jī)在負(fù)載變化時(shí)的力學(xué)平衡關(guān)系，輸入量與輸出量之差等于變化率。

將式（1）進(jìn)行拉普拉斯變換，并進(jìn)行計(jì)算，整理得直流電動機(jī)轉(zhuǎn)速相對于輸入電壓的傳遞函數(shù)模型為

式中，s為拉普拉斯變換的復(fù)變量；機(jī)械時(shí)間常數(shù)Tm＝JRa／CeCτ，一般定義為從啟動到達(dá)到空載轉(zhuǎn)速的63.2%所需要的時(shí)間；電氣時(shí)間常數(shù)Ta＝La／Ra。一般情況下，電機(jī)的傳遞函數(shù)可看作兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，這兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)就分別是機(jī)械時(shí)間常數(shù)Tm和電氣時(shí)間常數(shù)Ta，且Ta一般很小，對應(yīng)的慣性環(huán)節(jié)也可忽略不計(jì)。

獲取過程傳遞函數(shù)模型最常用、最方便的方法是直接辨識法。利用直接辨識算法對傳遞函數(shù)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，可得到比較精確的結(jié)果［4］。

二階無滯后傳遞函數(shù)模型為

式中，T1，T2分別對應(yīng)式（3）中的Tm和Ta；K＝1／Ce，分析比較式（3）、（4）可知，二階無滯后傳遞函數(shù)模型與直流電動機(jī)傳遞函數(shù)模型形成對應(yīng)關(guān)系，由于Ta≤Tm，故近似認(rèn)為Tm＋Ta≈Tm；因此，可通過對二階無滯后傳遞函數(shù)模型進(jìn)行直接辨識來辨識直流電機(jī)的傳遞函數(shù)模型。

2 系統(tǒng)辨識

2.1 系統(tǒng)辨識原理

系統(tǒng)辨識是指當(dāng)用戶無法從物理上得出所研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，但可以通過適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)手段測試出系統(tǒng)的某種響應(yīng)信息時(shí)，就可以根據(jù)它來獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)辨識一般有兩種策略：① 根據(jù)頻率響應(yīng)的數(shù)據(jù)辨識系統(tǒng)模型，該想法源于Levy復(fù)數(shù)曲線擬合法，引入擬合性能指標(biāo)J。令J的各導(dǎo)數(shù)為0，即可獲得J最小值。階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng)均可以通過數(shù)值微分和數(shù)值積分轉(zhuǎn)化為頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)。② 已知輸入輸出數(shù)據(jù)辨識系統(tǒng)模型，此想法基于最小二乘思想進(jìn)行求解。

系統(tǒng)辨識包括系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)、模型類和等價(jià)準(zhǔn)則3大要素。模型類主要指規(guī)定的連續(xù)時(shí)間或離散時(shí)間模型、輸入輸出模型或狀態(tài)空間模型、確定性模型或隨機(jī)模型、線性模型或非線性模型。規(guī)定了模型類后，再由輸入輸出數(shù)據(jù)按結(jié)構(gòu)辨識的方法確定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并用參數(shù)辨識的方法辨識系統(tǒng)的參數(shù)。等價(jià)準(zhǔn)則用于衡量模型接近實(shí)際過程的程度，并且通常表示為誤差的泛函。

2.2 基于階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)的辨識

對于穩(wěn)定系統(tǒng)，通常在系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線上定義系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)。因?yàn)?，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)不僅完整反映了系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且反映了系統(tǒng)在單位階躍信號輸入下的穩(wěn)定狀態(tài)；同時(shí)，單位階躍信號又是一個(gè)最簡單、最容易實(shí)現(xiàn)的信號。推導(dǎo)基于階躍響應(yīng)的連續(xù)時(shí)間模型直接辨識方法比較簡單［5］。對于MATLAB而言，有一個(gè)辨識工具箱，但主要是通過擬合確定模型參數(shù)，本設(shè)計(jì)需要利用階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)直接辨識出被控對象，故通過編寫M文件來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)辨識。

考慮一個(gè)二階無滯后的被控對象

對于階躍輸入幅度為α?xí)r，階躍響應(yīng)

其中，β為振副幅擾動前后的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間比值，即敏感度。加入白噪聲ω（t），則階躍響應(yīng)變?yōu)?/p>

式中，A（τ），B（τ）為過程積分；τ為時(shí)間。

于是得

對過阻尼（ε＞1）、欠阻尼（ε＜1）和臨界阻尼情況（ε＝1），式（12）均成立。

由式（12）可對模型參數(shù)進(jìn)行最小二乘運(yùn)算，對采樣點(diǎn)τ＝Ts，2Ts，3Ts，…，nTs。其中，Ts為采樣間隔；n為采樣的點(diǎn)數(shù)?？蓸?gòu)成線性方程組：

由此可得參數(shù)Θ的最小二乘估計(jì)為

Θ為待識別參數(shù)矩陣。

3 數(shù)值仿真

由于直流伺服系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)位置閉環(huán)、速度閉環(huán)和電流閉環(huán)，則直流伺服系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，即可理解為電動機(jī)二階系統(tǒng)再加上一個(gè)積分器1／s。

此電動機(jī)為二階系統(tǒng)，G（s）motor＝則需要根據(jù)辨識原理辨識出K，T1和T2參數(shù)。

實(shí)際測量的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)如表1。

由式（15）可以算出參數(shù)Θ，再由Θ＝ ［T1T2T1＋T2K］可以計(jì)算出K，T1和T2參數(shù)大小。T1，T2和K參數(shù)計(jì)算公式如下：

表1 階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)

其中，Θ（1）、Θ（2）、Θ（3）表示不同阻尼時(shí)，不同的參數(shù)矩陣。

通過 MATLAB 編 程，得K＝1.116，T1＝0.058 7，T2＝0.004 2。

由于直流伺服系統(tǒng)還有位置閉環(huán)，相當(dāng)于電動機(jī)傳遞函數(shù)乘以1／s，故直流伺服系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

對式（17）中所辨識的系統(tǒng)進(jìn)行仿真，其階躍響應(yīng)如圖4所示。

利用MATLAB數(shù)據(jù)擬合工具箱，對實(shí)際測量的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)果如圖5所示。

比較圖4和圖5可知，階躍響應(yīng)和階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)圖相符，說明辨識出的系統(tǒng)準(zhǔn)確。

圖4 辨識系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖

圖5 階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)圖

4 結(jié) 語

本文完成了對直流伺服系統(tǒng)的建模以及辨識，尤其是利用系統(tǒng)的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)對直流伺服系統(tǒng)的模型進(jìn)行了直接辨識，即由系統(tǒng)階躍響應(yīng)采樣數(shù)據(jù)構(gòu)造線性方程組，通過對方程組求解估計(jì)出系統(tǒng)參數(shù)。最后對辨識出的系統(tǒng)進(jìn)行仿真，將仿真結(jié)果與原階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)比較表明：所采用的辨識方法取得了良好的辨識效果。

［1］陳 峰.可穿戴型助力機(jī)器人技術(shù)研究［D］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2007：34－35.

［2］傅 磊，戴冠中.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)研究綜述［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2009，41（25）：221－225.

［3］鄧士普.網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下直流電機(jī)的時(shí)延補(bǔ)償和控制 ［D］.杭州：浙江大學(xué)，2004：23－24.

［4］朱其新，胡壽松.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的能控性和能觀性［J］.控制與決策，2010，9（19）：157－161.

［5］唐 斌，章 云，劉國平，等.面向網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失補(bǔ)償?shù)木W(wǎng)絡(luò)化廣義預(yù)測控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2010，27（7）：45－46.