圓弧齒輪指形刀具齒形計(jì)算研究*

胡立志 趙家黎

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州 730050)

圓弧齒輪由于具有較高的承載能力，傳動(dòng)中嚙合面易形成動(dòng)壓油膜，且具有良好的跑合性，因而，其應(yīng)用和研究受到許多國(guó)家的重視。但由于圓弧齒輪歷史很短，無論在理論研究上，或制造工藝方面，都還不及漸開線齒輪那樣成熟［1］。

依據(jù)圓弧齒輪的傳動(dòng)理論和嚙合原理，凡是加工漸開線齒輪的機(jī)床都可以加工圓弧齒輪，只是所采用刀具的齒形不同［2］。滾切法加工雖然效率較高，但滾刀制造難度大、成本高［3］。相對(duì)而言，指形銑刀制造簡(jiǎn)單、價(jià)格便宜，在大模數(shù)圓弧齒輪加工中很有價(jià)值，特別是指形銑刀還可以加工中間沒有空刀槽的人字齒輪［4］。為此，本文從圓弧齒輪加工、嚙合原理及齒面方程出發(fā)，對(duì)圓弧齒輪指形刀具齒形計(jì)算進(jìn)行研究。

1 圓弧齒輪的嚙合原理

1.1 線接觸圓弧齒輪的嚙合原理

圓弧齒輪共軛齒面的形成過程為:在平行軸傳動(dòng)中，利用一個(gè)斜齒條成形面形成一對(duì)線接觸斜齒面共軛齒面，并利用圓心位于節(jié)線附近的圓弧作為斜齒條成形面的法向齒形，從而形成圓弧齒輪傳動(dòng)［5］。

如圖1所示，設(shè)給定齒輪1、2傳遞等比轉(zhuǎn)動(dòng)，且齒條P(一個(gè)假想的公共齒條)的節(jié)平面和兩齒輪的節(jié)柱面相切，并以齒輪節(jié)柱面上點(diǎn)的速度平移。在與兩齒輪1、2固連的動(dòng)坐標(biāo)系O1、O2中，刀具齒條成形面P將分別形成齒面Σ1、Σ2，并以其兩側(cè)面同時(shí)切削齒面Σ1、Σ2，從而形成圓弧共軛齒面。

1.2 點(diǎn)接觸圓弧齒輪傳動(dòng)原理

在平行軸傳動(dòng)中，利用彼此沿某一條線相切固連的兩個(gè)斜齒條成形面可以形成點(diǎn)接觸的共軛齒面。當(dāng)兩個(gè)斜齒條成形面的法向齒形是圓心位于節(jié)線附近的兩條相切圓弧，就形成初始制造點(diǎn)接觸圓弧齒輪傳動(dòng)。顯然，線接觸圓弧齒輪傳動(dòng)是點(diǎn)接觸圓弧齒輪傳動(dòng)的一種特殊情況。

2 圓弧齒輪齒面方程的建立

2.1 圓弧齒輪的齒面方程

如圖1所示，將斜齒條成形面方程從坐標(biāo)系OP分別變換至與齒輪1、2固連的坐標(biāo)系O1、O2中，并與共軛接觸條件聯(lián)立，即可求得齒輪1、2的齒面方程式。

凸齒齒輪齒面方程為

式中:ρa(bǔ)為凸齒齒廓圓弧半徑;αa為凸齒壓力角;β為螺旋角;ea為凸齒齒廓圓心偏移量。

凹齒齒輪齒面方程為

式中:ρf為凹齒齒廓圓弧半徑;αf為凹齒壓力角;β為螺旋角;ef為凹齒齒廓圓心偏移量。

2.2 待加工齒面的方程

如圖2所示，建立待加工齒面方程的坐標(biāo)系為O，使坐標(biāo)軸x通過其齒槽對(duì)稱軸。顯然，如果采用指形刀具同時(shí)加工齒槽的兩側(cè)面，則必須使指形刀具的回轉(zhuǎn)軸線和齒槽對(duì)稱軸線相重合。此時(shí)，成形運(yùn)動(dòng)就是刀具和齒輪的相對(duì)螺旋運(yùn)動(dòng)，指形刀具的回轉(zhuǎn)線形成了切削運(yùn)動(dòng)并構(gòu)成了回轉(zhuǎn)曲面。刀具回轉(zhuǎn)曲面和齒輪齒面的瞬時(shí)接觸線是一條空間曲線，這條接觸線繞刀具回轉(zhuǎn)就形成了刀具齒面。

設(shè)齒輪的齒面方程為

則齒面法線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

因?yàn)榻佑|點(diǎn)的法線和刀具回轉(zhuǎn)軸線相交，所以法線和刀具回轉(zhuǎn)軸線的交點(diǎn)(X，0，0)是法線上一點(diǎn)，代入式(3)得到

由式(4)可以解出:

將齒面接觸點(diǎn)坐標(biāo)(y，z)和求出的法線矢量投影ny、nz代入式(5)，即得到以曲線坐標(biāo)u、v表示的共軛接觸條件為

將共軛接觸條件和齒面方程聯(lián)立求解:

即得到齒面的瞬時(shí)接觸線，這條接觸線繞坐標(biāo)軸回轉(zhuǎn)，形成指形刀具齒面。

3 指形刀具軸面齒形方程

如圖3所示，求指形刀具齒面的軸面齒形。

過接觸線上一點(diǎn)M做垂直于坐標(biāo)軸x的平面，該平面與刀具旋轉(zhuǎn)齒面的截線是半徑為rΦ的圓。

于是，指形刀具齒面上的軸面齒形坐標(biāo)由下面方程組確定。

式(9)的軸向坐標(biāo)x是以齒輪的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，而一般指形刀具軸面齒形坐標(biāo)以齒底為基準(zhǔn)測(cè)量，坐標(biāo)原點(diǎn)應(yīng)移至齒輪齒根圓上。如圖4，設(shè)齒輪齒根圓半徑為rf，則在新坐標(biāo)中，指形刀具軸面齒形坐標(biāo)為

4 圓弧齒輪指形刀具齒形的計(jì)算

由螺旋齒面指形刀具齒形的普通公式出發(fā)，根據(jù)圓弧齒輪齒面方程式，進(jìn)行圓弧齒輪指形刀具齒形的計(jì)算。圓弧齒輪的齒面方程為

這里取基本齒部圓心移距量e=0，即基本齒部圓弧圓心位于節(jié)線上，此時(shí)得到法向圓弧螺旋面。如圖1所示，在計(jì)算指形刀具時(shí)應(yīng)使x軸通過齒槽對(duì)稱線，故加工凸齒應(yīng)取N=πm/2+e，α為正值;加工凹齒時(shí)取N=e，α為負(fù)值。圓弧齒輪齒面方程的法線矢量投影為

將以上兩式的y、z、ny、nz代入指形刀具與被加工齒面接觸線應(yīng)符合的共軛條件ynz－zny=0，化簡(jiǎn)后得到接觸線上點(diǎn)的參數(shù)α和Φ的關(guān)系方程為

由前一因式，得到方程解為

顯然，對(duì)現(xiàn)行基本齒廓參數(shù)此解不合理，應(yīng)舍去。

對(duì)后一因式，設(shè) sinΦ≠0、rΦcosβ －N≠0、cosα≠0，則解出:

上式即為圓弧齒輪指形刀具接觸線上點(diǎn)的參數(shù)α和Φ應(yīng)符合的條件。指形刀具齒形計(jì)算公式為

指形刀具齒形計(jì)算步驟為:首先給出參數(shù)α和Φ中的一個(gè)，然后由式(14)解出另一個(gè)。將它們代入式(11)，即可求得接觸線上一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)x和y，再代入式(15)即得到刀具齒形上的一點(diǎn)。

5 結(jié)語

從圓弧齒輪的加工方法出發(fā)，結(jié)合圓弧齒輪嚙合原理和圓弧齒輪的齒面方程得出:

(1)回轉(zhuǎn)曲面刀具齒形必須保證待加工齒面和回轉(zhuǎn)刀具齒面之間接觸線處各點(diǎn)的法線和刀具回轉(zhuǎn)軸線相交;

(2)圓弧齒輪指形刀具齒形計(jì)算的通用公式;

(3)圓弧齒輪指形刀具齒形計(jì)算的一般步驟。

［1］張秀親，邵佳輝.圓弧齒輪的誕生、發(fā)展及應(yīng)用回顧［C］.第三屆中日機(jī)械技術(shù)史國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議，2002:353－357.

［2］盧賢纘.雙圓弧齒輪滾切成形理論與滾刀設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械傳動(dòng)，1979(1):44－51.

［3］戴玉堂，有賀幸則，等.圓弧齒線圓柱齒輪的數(shù)控滾切機(jī)理與試驗(yàn)研究［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2006，17(7):706 －709.

［4］胡立志.圓弧齒輪盤形刀具齒形的計(jì)算［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，31(4):52 －54.

［5］鄒雯.圓弧齒線圓柱齒輪的參數(shù)計(jì)算及選擇［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2000(2):36－38.