陀螺儀進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)運(yùn)動(dòng)分析*

常振軍，張志利，周召發(fā)

（第二炮兵工程大學(xué)兵器發(fā)射理論與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710025）

0 引言

陀螺儀是近些年來(lái)興起的常用導(dǎo)航和定向儀器，在航空、航天、探測(cè)、隧道、軍事等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［1，2］。隨著科技與生產(chǎn)力的發(fā)展，相關(guān)行業(yè)對(duì)尋北精度的要求日益提高，尤其是實(shí)驗(yàn)室條件下建立方位基準(zhǔn)。而章動(dòng)是陀螺儀完成進(jìn)動(dòng)尋北過(guò)程中不可避免的［3］，分析陀螺儀的章動(dòng)與進(jìn)動(dòng)的關(guān)系，研究章動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律顯得很有必要。文獻(xiàn)［4］對(duì)陀螺和陀螺儀的進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)提出一種初等分析方法［4］。本文從陀螺儀動(dòng)力學(xué)模型出發(fā)，推導(dǎo)進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)模型與章動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 陀螺儀動(dòng)力學(xué)模型

依據(jù)力學(xué)中的達(dá)朗伯原理，將牛頓第二定律F=ma變換為F+Q=0，Q=－ma表示物體的慣性力，一般為相對(duì)慣性力、牽連慣性力和哥式慣性力三者的矢量和，如此可使動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)殪o力學(xué)問(wèn)題求解，從形式上把受力運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)為受力平衡狀態(tài)，這種處理問(wèn)題的方法稱(chēng)為動(dòng)靜法或慣性力法［4，6］，本文采用此法建立陀螺儀動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)如圖1的一個(gè)簡(jiǎn)化的陀螺儀模型來(lái)分析理想陀螺轉(zhuǎn)子的進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)。

圖1 陀螺儀運(yùn)動(dòng)模型Fig 1 Movement model of gyroscope

設(shè)在陀螺儀中，圓盤(pán)繞自旋軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Is，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ωs，則圓盤(pán)自旋角動(dòng)量的大小H=Isωs;繞x軸和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ip，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωx和ωz分別為章動(dòng)角速度和進(jìn)動(dòng)角速度。

由于陀螺具有繞x軸和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，當(dāng)陀螺儀繞x軸和z軸出現(xiàn)角加速度˙ωx和˙ωz時(shí)，就有一般定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩，方向與角加速度的方向相反，如圖2所示，其表達(dá)式為

圖2 陀螺儀運(yùn)動(dòng)時(shí)的力矩矢量Fig 2 Torques vector of moving gyroscope

由于陀螺儀具有角動(dòng)量H，當(dāng)陀螺儀繞x軸和z軸出現(xiàn)角速度ωx和ωz時(shí)，就有哥式慣性力矩，即陀螺力矩，方向按角動(dòng)量轉(zhuǎn)向角速度的右手旋進(jìn)規(guī)則確定，如圖2所示，在假設(shè)轉(zhuǎn)角很小的情況下，其表達(dá)式為

根據(jù)慣性力矩與外力矩互成平衡原理可得

代入得

由式（3）消除ωz即可得到ωx所滿(mǎn)足的微分方程

設(shè)初始條件:t=0時(shí)，ωx=ωx（0），解式（5）可得到

將ωx代入式（4）可得到陀螺儀繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωz（進(jìn)動(dòng)角速度）

設(shè)初始條件:t=0時(shí)，ωz=ωz（0）可得

設(shè)ωx（0）=0，ωz（0）=0，對(duì)2個(gè)角速度分別積分，考慮初始條件

2 阻尼條件下的陀螺儀進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)

若考慮阻尼，則外力矩M外包括重力矩在x軸投影和阻尼力矩兩項(xiàng)，一般阻尼力矩與角速度的大小呈正比，方向相反

其中，n為阻尼系數(shù)，則式（4）改寫(xiě)為

由式（10）消除ωz，即可得到ωx所滿(mǎn)足的微分方程

解得

由初始條件可得到

將ωx代入式（10）可得到陀螺儀繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωz（進(jìn)動(dòng)角速度）

這里要說(shuō)明的是解出的ωx并不是單純章動(dòng)的角速度，而是包含了重力矩引起的章動(dòng)和z軸阻尼力矩－nωz引起的y軸進(jìn)動(dòng)對(duì)ωx的影響，后者設(shè)為ω'x，考慮章動(dòng)時(shí)應(yīng)去掉該影響。由進(jìn)動(dòng)角速度計(jì)算公式得

設(shè)章動(dòng)角速度為ωN，有

3 仿真與分析

對(duì)無(wú)阻尼狀態(tài)陀螺轉(zhuǎn)子的進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)角度仿真見(jiàn)圖3，初始進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)的初始角速度均為零，從仿真結(jié)果可以看出:隨著陀螺儀在重力矩下的進(jìn)動(dòng)，章動(dòng)呈周期性的振蕩，陀螺軸在下傾一定角度后又抬回到水平面。

圖3 章動(dòng)伴隨進(jìn)動(dòng)Fig 3 Nutation with precession

對(duì)阻尼條件下的陀螺儀進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)的角速度變化仿真結(jié)果分別如圖4和圖5所示。從仿真結(jié)果可以看出，章動(dòng)角速度在阻尼影響下逐漸衰減到零，而進(jìn)動(dòng)角速度趨于一個(gè)定值，即最后阻尼消除了章動(dòng)，陀螺轉(zhuǎn)子軸只以不變的角速度繞鉛垂軸進(jìn)動(dòng)。

圖4 阻尼下的進(jìn)動(dòng)角速度Fig 4 Precession angular velocity with damping

4 結(jié)論

圖5 阻尼下的章動(dòng)角速度Fig 5 Nutation angular velocity with damping

本文通過(guò)動(dòng)靜法建立陀螺儀動(dòng)力學(xué)方程，推導(dǎo)進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)在無(wú)阻尼和有阻尼條件下的表達(dá)式，指出了垂直角包含重力矩引起的章動(dòng)和鉛垂軸方向上的阻尼力矩引起的轉(zhuǎn)子軸的進(jìn)動(dòng)，在單獨(dú)分析章動(dòng)時(shí)應(yīng)該去掉后者。最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證，章動(dòng)是伴隨進(jìn)動(dòng)由重力矩產(chǎn)生的周期振蕩，在陀螺儀尋北過(guò)程中，利用阻尼能夠有效消除章動(dòng)對(duì)進(jìn)動(dòng)的影響，以提高尋北精度。

［1］ Chaumet B，Leverrier B，Rougeot C，et al．A new silicon tuning fork gyroscope for aerospace applications［C］∥Gyro Technology Symposium 2009，Karlsruhe，Germany，2009:1 －2．

［2］ 姜春福．懸掛式二自由度陀螺經(jīng)緯儀運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究［D］．北京:北京工業(yè)大學(xué)，2000．

［3］ 劉延柱．陀螺力學(xué)［M］．2版．北京:科學(xué)出版社，2009:53－63．

［4］ 廖耀發(fā)，佘守憲．陀螺與陀螺儀進(jìn)動(dòng)及章動(dòng)的一種初等分析［J］．湖北工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，19（5）:43 －46．

［5］ 郭秀中，于 波，陳云相．陀螺儀理論及應(yīng)用［M］．北京:航空工業(yè)出版社，1987:63－67．

［6］ 劉希珠，雷田玉．陀螺力學(xué)基礎(chǔ)［M］．北京:清華大學(xué)出版社，1987:91－99．