基于時(shí)頻分析的混沌諧波線性混合信號(hào)提取算法

王爾馥，王冬青

（黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院，哈爾濱 150080）

0 引 言

自然界中很多現(xiàn)象可以由混沌信號(hào)來(lái)抽象，混沌現(xiàn)象普遍存在于各個(gè)領(lǐng)域中，如保密通信、電子對(duì)抗和心電／腦電信號(hào)處理等。因此，混沌信號(hào)處理理論受到越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注。

研究人員依據(jù)混沌信號(hào)的特性提出各種從混沌中檢測(cè)、分離和提取信號(hào)信息的方法［1－6］。Leung利用最小相空間體積方法估計(jì)嵌入混沌中多項(xiàng)式參數(shù)［7］；汪芙平等人利用混沌吸引子固有的幾何性質(zhì)，借助微分流形切空間的概念實(shí)現(xiàn)混沌干擾和弱信號(hào)分離［8］；Haykin利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法研究了海雜波 （已被證明為混沌噪聲）背景下的小目標(biāo)信號(hào)提??；Short則根據(jù)混沌信號(hào)可短時(shí)預(yù)測(cè)的特性，利用混沌預(yù)測(cè)的方法考察了混沌通信系統(tǒng)中信號(hào)的提?。?－10］；這些方法開(kāi)拓了混沌信號(hào)處理的新領(lǐng)域，但缺乏系統(tǒng)性，另外有些方法要求比較苛刻，適用性差，而且一般要求都是目標(biāo)信號(hào)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于混沌背景信號(hào)［11－15］。近年來(lái)，時(shí)頻分析理論逐漸發(fā)展起來(lái)，其主要解決連續(xù)型混沌系統(tǒng)背景中諧波信號(hào)的提取問(wèn)題，根據(jù)混沌、噪聲與諧波信號(hào)不同的時(shí)頻特性，實(shí)現(xiàn)混沌和信號(hào)的分離，從而從混沌背景中提取有用信號(hào)。在信號(hào)不太弱的情況下，提取的效果比較理想。本文針對(duì)不同噪聲水平下的混沌背景中諧波信號(hào)的提取性能進(jìn)行分析，將小波變換與EMD方法進(jìn)行比較，找出其適用場(chǎng)合及算法優(yōu)勢(shì)。經(jīng)過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)總結(jié)出一種新的諧波信號(hào)提取的小波閾值與EMD優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的綜合方法，并給出優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)方案的提取步驟。在理論分析之后，進(jìn)行了大量的仿真實(shí)驗(yàn)，并給出了相應(yīng)的結(jié)果與分析。

1 時(shí)頻分析理論

時(shí)頻分析方法是處理非平穩(wěn)信號(hào)的一種非常有效的手段，能同時(shí)獲取信號(hào)的時(shí)域和頻域特性，其中以小波變換方法最為經(jīng)典。此外，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，簡(jiǎn)稱EMD）作為一種新興的時(shí)頻信號(hào)處理方法，在某些應(yīng)用場(chǎng)合下能得到比小波變換更好的性能。

1．1 小波變換

小波變換是一種時(shí)頻分析方法，于20世紀(jì)80年代中后期發(fā)展起來(lái)。對(duì)于給定信號(hào)x （t）∈L2（R），其連續(xù)小波變換 （CWT）定義為：

式中a＞0是尺度因子；b是時(shí)移因子；ψa，b（t）＝是母小波的移位和尺度伸縮，稱之為小波基函數(shù)。

小波變換實(shí)質(zhì)上是原始信號(hào)與經(jīng)過(guò)伸縮后的小波函數(shù)族的相關(guān)運(yùn)算。

1．2 小波閾值去噪原理

基于小波變換的分析過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是小波分解與重構(gòu)的過(guò)程，由于Daubechies小波基具有連續(xù)、正交，且計(jì)算機(jī)易實(shí)現(xiàn)的特性，本文選用Daubechies小波中局部特性和正交特性都很好的db6小波。

由于小波變換是線性變換，小波變換系數(shù)是加性的。當(dāng)選用與信號(hào)相匹配的小波進(jìn)行小波變換時(shí)，信號(hào)的能量將集中在某些頻帶的少數(shù)稀疏的、幅度相對(duì)比較大的小波系數(shù)上，而白噪聲的小波變換仍然是白噪聲，它廣泛地分布在各個(gè)尺度的時(shí)間軸上且幅度不是很大。這樣一來(lái)，可以設(shè)定一個(gè)閾值，利用該閾值按照一定的規(guī)則對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行調(diào)整。對(duì)經(jīng)閾值調(diào)整后的各級(jí)小波系數(shù)按小波變換的反演算法進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)得到目標(biāo)信號(hào)，這就是小波閾值去噪的理論依據(jù)。

1．3 EMD

EMD （經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓┯蒒．E．Huang等人提出，是一種分析非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的有力工具。EMD方法建立在對(duì)瞬時(shí)頻率概念進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)之上，并與相應(yīng)的Hilbert變換方法緊密相關(guān)。通過(guò)對(duì)非線性非平穩(wěn)信號(hào)的分解獲得一系列表征信號(hào)特征時(shí)間尺度的IMF（固有模態(tài)函數(shù)），使得每個(gè)IMF為窄帶平穩(wěn)信號(hào)。IMF必須滿足以下兩個(gè)條件：

1）函數(shù)的過(guò)零點(diǎn)數(shù)目與函數(shù)的極值點(diǎn)數(shù)目相等或者至多相差1；

2.把好引種和繁殖關(guān)。一是在引進(jìn)種兔時(shí)，要做好引種計(jì)劃，應(yīng)到有種兔經(jīng)營(yíng)許可證的正規(guī)種兔場(chǎng)引種，不可到疫區(qū)特別是患有兔球蟲(chóng)病嚴(yán)重的或飼養(yǎng)管理?xiàng)l件較差的種兔場(chǎng)引種；選種時(shí)應(yīng)選擇外貌符合該品種特征，系譜檔案資料齊全，精神良好，行走姿勢(shì)正確，耳朵轉(zhuǎn)動(dòng)靈活，被毛光潔，毛短齊密，無(wú)皮膚病等的種兔，種兔年齡應(yīng)選擇4～5月齡的青年兔。二是在配種繁殖時(shí)，要做好配種繁殖計(jì)劃，配種時(shí)間宜選在1～4月份、8～12月份等階段，氣溫較高時(shí)應(yīng)安排在早晨和夜間的8～10點(diǎn)，氣溫低時(shí)可在上午9～10點(diǎn)或在晚上7～9點(diǎn)，配種時(shí)期還應(yīng)避開(kāi)高溫多雨季節(jié)；此外，配種前最好先對(duì)種兔的糞便進(jìn)行檢測(cè)，患有球蟲(chóng)病的種兔不得用于配種繁殖。

2）在任意一點(diǎn)，函數(shù)的局部極大值所定義的包絡(luò)與函數(shù)局部極小值所定義的包絡(luò)均值為0。

只有將信號(hào)分解成若干個(gè)IMF之和，通過(guò)分析各個(gè)IMF的瞬時(shí)頻率，才能揭示原信號(hào)真正的物理意義。

2 不同信噪比情況下的算法比較

2．1 混沌系統(tǒng)

本文選擇Lorenz混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。Lorenz系統(tǒng)是一個(gè)三維連續(xù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其非線性狀態(tài)方程表達(dá)式為：

式中參數(shù)取a＝10，b＝28，c＝8／3；初始值x0＝y(tǒng)0＝z0＝0．1，步長(zhǎng)為0．01，迭代產(chǎn)生4 000點(diǎn)，選取x路信號(hào)中1 900到4 000點(diǎn)數(shù)據(jù)作為混沌背景序列。

2．2 噪聲水平對(duì)提取效果的影響

混合信號(hào)由混沌干擾信號(hào) （Lorenz混沌系統(tǒng)）、高斯白噪聲與諧波信號(hào)s（n）＝Asin（2πfn）組成，并采用線性瞬時(shí)混合方式。固定A＝5，f＝5Hz，噪聲水平NL定義為高斯白噪聲與混沌的標(biāo)準(zhǔn)差的比值。改變NL觀察小波變換和EMD對(duì)諧波信號(hào)的分離效果，圖1和圖2分別給出NL＝10%和70%時(shí)，兩種方法的分離效果。

由圖1和圖2可知，當(dāng)混沌背景中含有一定的白噪聲且NL較小時(shí)，兩種方法的提取效果都比較理想。當(dāng)NL很大時(shí)，小波變換方法的提取波形幾乎失真，無(wú)法提取諧波信號(hào)，而EMD方法仍然適用，效果比較理想。比如，圖2中當(dāng)NL＝70%時(shí)小波變換方法恢復(fù)出的諧波信號(hào)相關(guān)系數(shù)為0．527 1，EMD方法恢復(fù)出的諧波信號(hào)相關(guān)系數(shù)為0．728 6，能夠看出其提取效果獲得了較大的提高。

令NL分別為 10%，30%，50%，70%，100%，利用小波變換和EMD方法對(duì)含噪聲的混沌背景中進(jìn)行信號(hào)提取，表1定量給出了分離效果。其中R－wavelet表示運(yùn)用小波變換方法時(shí)，恢復(fù)的諧波信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)，R－EMD表示運(yùn)用EMD方法時(shí)，恢復(fù)的諧波信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)。

表1 不同NL情況下諧波信號(hào)提取效果的比較Table 1 Extraction effect comparison in different NL

由表1可見(jiàn)：當(dāng)NL＜30%時(shí)，用小波變換提取效果比較理想，當(dāng)NL＞50%時(shí)，EMD方法比小波變換方法的提取效果更理想。

2．3 信噪比對(duì)提取效果的影響

混合信號(hào)由混沌干擾信號(hào) （Lorenz混沌系統(tǒng)）、高斯白噪聲與諧波信號(hào)s（n）＝Asin（2πfn）組成，其中固定A＝5，f＝5Hz。在NL對(duì)提取效果影響的分析結(jié)果基礎(chǔ)上，固定NL＝30%進(jìn)行分析。定義信噪比SNR為諧波信號(hào)的能量與混沌干擾、高斯白噪聲的能量之和的比值。通過(guò)改變諧波信號(hào)幅值A(chǔ)來(lái)改變SNR，對(duì)比觀察小波變換和EMD方法對(duì)諧波信號(hào)的分離效果。

取SNR分別為－1，－5，－10，－20，－30，利用小波變換和EMD方法對(duì)含噪聲的混沌背景中進(jìn)行信號(hào)提取，表2給出相關(guān)系數(shù)的定量比較。

表2 不同SNR情況下諧波信號(hào)提取效果的比較Table 2 Extraction effect comparison in different SNR

由表2可見(jiàn)：對(duì)于NL＝30%的情形，SNR＞－5時(shí)，小波變換優(yōu)于EMD方法，說(shuō)明此時(shí)小波變換的分解穩(wěn)定性起著主導(dǎo)作用；當(dāng)SNR＜－5或更低時(shí)，EMD方法更為理想，說(shuō)明在信噪比較低時(shí)，可以直接使用EMD方法對(duì)混沌背景中的諧波信號(hào)進(jìn)行提取。

2．4 兩種時(shí)頻方法比較

從以上仿真實(shí)驗(yàn)可以得出如下結(jié)論：

1）小波變換方法的性能比較穩(wěn)定，而EMD方法的穩(wěn)定性較差。這是由于小波分解是一次性完成所有的諧波分解，而EMD是逐個(gè)分量遞推的過(guò)程，前一分量若產(chǎn)生虛假諧波便很快會(huì)被逐級(jí)放大。

2）對(duì)于噪聲水平 （NL）較大的混合信號(hào)，EMD方法比小波變換更理想。

3）對(duì)于信噪比較低的情況，EMD方法比小波變換具有更高的準(zhǔn)確度。

表3從參數(shù)設(shè)置、收斂速度、穩(wěn)定性和適用信噪比幾個(gè)方面將小波變換和EMD方法作以比較。

結(jié)合前面的仿真結(jié)果可以看出，Wavelet和EMD在各方面具有優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的特性，可以針對(duì)的噪聲水平和信噪比情況，在小波變換和EMD方法之間進(jìn)行切換，選擇更好的方法對(duì)混沌背景中的諧波信號(hào)進(jìn)行提取。

表3 WT和EMD的消噪性能對(duì)比表Table 3 Denosing performance of WT and EMD

3 一種新的諧波信號(hào)提取的綜合方法

小波變換和EMD方法在噪聲水平和信噪比方面具有互補(bǔ)特性，加上兩種方法在消噪速度和穩(wěn)定性上同樣具有可以利用的特性，下面將通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)一種將小波變換、閾值去噪與EMD方法相結(jié)合的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)綜合方法。

實(shí)驗(yàn)1：混合信號(hào)由混沌干擾信號(hào) （Lorenz混沌系統(tǒng)），高斯白噪聲與諧波信號(hào)s（n）＝Asin（2πfn）組成，其中固定A＝5，f＝5Hz。對(duì)混合信號(hào)先利用小波變換再經(jīng)過(guò)EMD方法進(jìn)行提取，觀測(cè)其效果。圖3分別給出NL＝30%，70%時(shí)的分離效果?！皁riginal signal”是原諧波信號(hào)，“recovery－xbyz”是經(jīng)小波閾值去噪后的提取信號(hào)，“recovery－EMD”是經(jīng)EMD方法后的恢復(fù)信號(hào)。表4給出不同NL情況下，混合方法經(jīng)每步分離后的相關(guān)系數(shù)。

表4 不同NL情況下，小波閾值去噪結(jié)合EMD方法提取信號(hào)的相關(guān)系數(shù)Table 4 Correlation coefficients of wavelet threshold denoising combined with EMD in different NL

由圖3可知，小波閾值去噪結(jié)合EMD的方法當(dāng)混沌背景中含有的噪聲水平NL較小 （如NL＜30%）時(shí)，經(jīng)小波閾值去噪后的信號(hào)效果已經(jīng)很理想，再經(jīng)過(guò)EMD方法后，從相關(guān)系數(shù)的變化可以看出提取效果反而惡化。這種級(jí)聯(lián)方式增加了算法復(fù)雜度卻又降低了效果，方法不可取。當(dāng)噪聲水平很大 （NL＞50%）時(shí)，小波方法提取波形幾乎失真，無(wú)法提取諧波信號(hào)，再經(jīng)EMD方法之后提取效果有所提高，比較理想。

實(shí)驗(yàn)2：混合信號(hào)由混沌干擾信號(hào) （Lorenz混沌系統(tǒng)），高斯白噪聲與諧波信號(hào)s（n）＝Asin（2πfn）組成，其中固定A＝5，f＝5Hz。對(duì)混合信號(hào)先經(jīng)過(guò)EMD方法，再經(jīng)過(guò)小波閾值重構(gòu)方法，觀測(cè)其分離效果。圖4給出NL＝30%，70%時(shí)的分離效果，表5給出不同NL情況下，混合方法經(jīng)每步分離后的相關(guān)系數(shù)。

表5 不同NL情況下，EMD結(jié)合小波閾值去噪方法提取信號(hào)的相關(guān)系數(shù)Table 5 Correlation coefficients of EMD combined with wavelet threshold denoising in different NL

由圖4和表5可見(jiàn)，先使用EMD方法，再用小波閾值重構(gòu)，在不同噪聲水平下的混沌背景中信號(hào)提取的效果均有提高。這是因?yàn)镋MD有收斂速度快的優(yōu)勢(shì)，將EMD作為第一步消噪方法，可以提高信號(hào)的信噪比，為小波變換的后續(xù)運(yùn)用提供了恰當(dāng)?shù)臈l件。再利用小波變換穩(wěn)定性好、精度高的特點(diǎn)進(jìn)行第二步消噪，進(jìn)一步提高諧波信號(hào)的提取性能。

對(duì)比以上仿真實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)2中將EMD方法與小波重構(gòu)閾值去噪優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的綜合方法更優(yōu)。由圖3和圖4也可看出，同樣噪聲水平下，后者信號(hào)提取效果更為理想。提出一種基于EMD和Wavelet的融合提取方案，方案步驟為：

1）對(duì)原混合信號(hào)的信噪比水平進(jìn)行估計(jì)，在噪聲范圍內(nèi)選擇合適的參數(shù)、級(jí)數(shù)。

2）利用EMD可以工作在較低信噪比下以及其收斂速度快的優(yōu)勢(shì)，對(duì)混合信號(hào)進(jìn)行EMD消噪得到各個(gè)IMF分量，初步提取諧波信號(hào)分量，觀測(cè)此時(shí)恢復(fù)信號(hào)的相關(guān)系數(shù)。

3）利用小波變換穩(wěn)定性好、精度高的特點(diǎn)進(jìn)行第二步消噪，經(jīng)heursure閾值方式進(jìn)一步降低噪聲。

4）以兩步消噪后的信號(hào)作為提取出的諧波信號(hào)。

4 結(jié) 論

本文首先介紹時(shí)頻方法基礎(chǔ)理論，然后針對(duì)不同噪聲水平、SNR情況下的混沌背景中諧波信號(hào)的提取性能進(jìn)行分析，將小波變換與EMD方法進(jìn)行比較，找出二者比較適用的情況和其優(yōu)勢(shì)。經(jīng)過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)總結(jié)出一種新的諧波信號(hào)提取的融合方案，并給出融合方案的提取步驟。

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