在本科院校數(shù)學(xué)專業(yè)主干課程中滲入數(shù)學(xué)建模思想的探討

李冠軍，劉謝進(jìn)

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232001）

在本科院校數(shù)學(xué)專業(yè)主干課程中滲入數(shù)學(xué)建模思想的探討

李冠軍，劉謝進(jìn)

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232001）

本文主要探討了在數(shù)學(xué)專業(yè)主干課程的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的必要性和可行性，并從教學(xué)環(huán)節(jié)的四個(gè)方面提出了滲透數(shù)學(xué)建模思想的一些方法.

數(shù)學(xué)模型；教學(xué)改革；教學(xué)設(shè)計(jì)

1 引言

由于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展,人們的教育觀念也在不斷地更新,數(shù)學(xué)教學(xué)過程已經(jīng)不再是知識的灌溉,而是在如何發(fā)現(xiàn)問題和應(yīng)用所學(xué)習(xí)知識來解決實(shí)際問題的能力上面來,數(shù)學(xué)建?；顒诱锹?lián)系理論數(shù)學(xué)知識與實(shí)際問題的橋梁,它可以引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問題抽象成具體的數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力、創(chuàng)造性思維并提高學(xué)生的綜合素質(zhì).培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的目標(biāo),是當(dāng)前高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的重要課題.本文就是在此基礎(chǔ)上,結(jié)合我們學(xué)校的實(shí)際情況,就如何在大學(xué)數(shù)學(xué)類課程中融合數(shù)學(xué)建模的思想提出了一些想法和建議.

2 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想的必要性

現(xiàn)在,數(shù)學(xué)建?；顒釉诟鞲咝V泛開展,為應(yīng)用人才的培養(yǎng)創(chuàng)造了很好的環(huán)境,而且全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽自從1992年以來,每年的參賽規(guī)模平均以30%的速度增加,競賽雖然發(fā)展得如此迅速,但是參賽者畢竟還是很少一部分學(xué)生,要想使它具有更強(qiáng)大的生命力,必須與日常的教學(xué)活動結(jié)合起來.中國科學(xué)院院士、復(fù)旦大學(xué)教授李大潛提出“數(shù)學(xué)建模的思想融入數(shù)學(xué)類主干課程”的建議[1].數(shù)學(xué)類課程大都內(nèi)容多、課時(shí)短,基本都采取滿堂灌的方法來講授課程,否則不能完成大綱所規(guī)定的內(nèi)容.因此，研究如何在實(shí)際的教學(xué)過程中加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的思想在大學(xué)數(shù)學(xué)類課程中的應(yīng)用顯得特別重要[2、3、4].

3 如何將數(shù)學(xué)建模思想融入課程教學(xué)中

3.1 利用數(shù)學(xué)知識的實(shí)際背景還原現(xiàn)實(shí)模型

數(shù)學(xué)中的概念本身就是現(xiàn)實(shí)模型,其應(yīng)用性卻往往隱藏在現(xiàn)實(shí)情景背后.因此,可通過選取一些生動形象的實(shí)際例子來還原現(xiàn)實(shí).例如矩陣乘法的定義，設(shè)計(jì)如下現(xiàn)實(shí)背景:

某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，生產(chǎn)成本由原材料費(fèi)用、人工費(fèi)用和其他費(fèi)用三項(xiàng)構(gòu)成.

如何求該公司2009年各季度的原材料費(fèi)用，人工費(fèi)用和其他費(fèi)用？用下面兩個(gè)矩陣表示表1和表2.

表1 每種產(chǎn)品的每項(xiàng)費(fèi)用預(yù)算（單位：百元）

表2 該公司2009年各季度產(chǎn)品計(jì)劃生產(chǎn)數(shù)（單位：臺）

第一季度原材料費(fèi)用：10×400+30×200+20×580=21600.

第一季度人工費(fèi)用：2×400+4×200+5×580=4900.

第一季度其他費(fèi)用：1×400+2×200+2×580=1960.

對其他各季度作類似的計(jì)算，可得到下表：

表3 該公司2009年各季度生產(chǎn)成本預(yù)算表（單位：百元）

把上表中數(shù)據(jù)寫成x×4矩陣C

于是，矩陣C的第i行第j列元素cij表示的是該公司2009年第j季度、第i項(xiàng)費(fèi)用，恰好是矩陣A的第i行的每個(gè)元素與矩陣B的第j列的對應(yīng)元素乘積之和，把矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的乘積.由此得到矩陣乘積的定義.這種教學(xué)過程,不僅使學(xué)生記住它的定義,更重要的是真正了解到問題的實(shí)質(zhì),學(xué)會從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型,進(jìn)而解決問題.

3.2 在應(yīng)用問題教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行建模,就是從應(yīng)用的角度來處理數(shù)學(xué)問題[5].例如微分方程的應(yīng)用教學(xué),可放在讓學(xué)生掌握建立數(shù)學(xué)模型的一般過程上.以“電路模型”為例[6]：

(1)提出問題.如圖所示的R-C電路，探討電壓與時(shí)間的變化規(guī)律.

(2)模型假設(shè).設(shè)電源電壓為E，在開關(guān)K合上前電容C上沒有電荷，電容C兩端的電壓為零，把開關(guān)合上，電源對電容充電，電容C上的電壓Uc逐漸升高.

(3)建立模型.根據(jù)閉合回路的基爾霍夫第二定律：

在電容C充電時(shí)，電量Q逐漸增多，由Q=C·Uc得到

代入得到Uc滿足的微分方程

(4)求解模型.方程（1）是變量分離方程，變量分離得到

在實(shí)際教學(xué)過程中，許多教學(xué)內(nèi)容都可以引入相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如導(dǎo)數(shù)、微分、積分及其應(yīng)用中，可編制商品存儲費(fèi)用優(yōu)化問題、洗衣機(jī)的節(jié)水問題等.函數(shù)應(yīng)用問題中，引入“復(fù)利、助學(xué)貸款”等實(shí)際生活中的例子.

3.3 在定義教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

定義是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在具體的教學(xué)中,可以講述概念產(chǎn)生的歷史背景.通過對實(shí)際問題的分析,把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,然后找出解決問題的方法,最后引入數(shù)學(xué)概念.下面以定積分定義的教學(xué)為例,談?wù)勅绾稳谌霐?shù)學(xué)建模思想.

設(shè) f∈[a,b]，且 y=f(x)≥0.由曲線 y=f(x),直線 x=a,x=b以及x軸所圍成的平面圖形（圖1），稱為曲邊梯形.下面求曲邊梯形的面積S.

分析：在初等幾何中，我們只會計(jì)算由直線段和圓弧所圍成的平面圖形的面積，現(xiàn)在計(jì)算由曲線y=f(x)構(gòu)成的曲邊梯形的面積，回憶圓面積是用一系列邊數(shù)無限增加的內(nèi)接或外切正多邊形面積的極限來定義，用類似的方法，借助于已知的矩形的面積定義曲邊梯形的面積.

圖1

圖2

具體做法如下：

1°分割.在區(qū)間[a,b]內(nèi)任取n-1個(gè)分點(diǎn)，依次為a=x0

2°近似求和.在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi，作以 f(ξi)為高，[xi-1,xi]為底的小矩形.當(dāng)分割[a,b]的分點(diǎn)較多又分割的較細(xì)時(shí)，可用第i個(gè)小矩形的面積f(ξi) xi近似代替第i個(gè)小曲邊梯形的面積Si，于是這n個(gè)小矩形面積之和可作為該曲邊梯形面積S的近似值，即

3°取極限.上式右邊的和式既依賴于對[a,b]的分割，又與所選點(diǎn)ξi有關(guān).因此，將[a,b]逐次分下去，使小區(qū)間的長度xi無限小，則不論ξi如何選取,n個(gè)小矩形面積之和xi越接近于 S.這樣，當(dāng)分點(diǎn)無限增加，若此和式與某一常數(shù)無限接近，而且與分點(diǎn)和點(diǎn)ξi的選取無關(guān)，則把此常數(shù)作為曲邊梯形的面積S.從步驟上看，分割→取近似→求和→取極限這四步，從表達(dá)式上抽象成數(shù)學(xué)模型在實(shí)際很多問題都?xì)w結(jié)為求這種特定形式的和式的極限，將其一般化，就可引出定積分的定義.

3.4 數(shù)學(xué)建模思想在作業(yè)安排中的滲透

目前教材中的習(xí)題形式單一陳舊、缺乏應(yīng)用性.學(xué)生做作業(yè)幾乎就是套用定義、定理解決問題.為彌補(bǔ)這一缺陷，在作業(yè)安排上也可融入數(shù)學(xué)建模的思想方法.如：適當(dāng)布置一些開放型的應(yīng)用題，給學(xué)生更大的創(chuàng)造空間.因此,在作業(yè)中布置一些與其它學(xué)科相聯(lián)系或從實(shí)際生活中采集來的開放型應(yīng)用題，通過完成這種作業(yè),使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的強(qiáng)大應(yīng)用性.也可以適當(dāng)布置一些用數(shù)學(xué)軟件(Matlab和Mathematic)進(jìn)行處理的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)題.如函數(shù)圖形的描繪、定積分的計(jì)算、重積分的計(jì)算等，可讓學(xué)生體驗(yàn)到計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)的價(jià)值,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣及探究問題的能力.

4 結(jié)束語

因此，我們認(rèn)為在教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，注重培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的發(fā)展方向.只要堅(jiān)持下去，一定會取得顯著的成果.

〔1〕李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國大學(xué)教學(xué),2006,（1）:9-11.

〔2〕賈曉峰，等.大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競賽與高等學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)改革[J].工科數(shù)學(xué),2000,（2）:79-82.

〔3〕何偉.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2003,（10）:142-144.

〔4〕余揚(yáng),石義松.數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)系列課程教學(xué)中的作用 [J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào),2001,（3）:210-212.

〔5〕姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社,1997.

〔6〕王高雄.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1998.

G642

A

1673-260X（2012）01-0019-03

淮南師范學(xué)院精品課程資助項(xiàng)目（JPKC200802）；淮南師范學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目（2010LK06）