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    產生m子序列的一種實用算法

    2012-10-16 03:56:20方俊初張愛雪
    關鍵詞:圈內本原共軛

    方俊初,呂 虹,張愛雪

    (1.安徽工程大學電氣工程學院,安徽蕪湖241000 2.安徽建筑工業(yè)學院電子與信息學院,安徽 合肥230022)

    若n級移位寄存器的特征多項式為n階本原多項式,則該移位寄存器從任意一個非“0”狀態(tài)出發(fā)所形成的狀態(tài)圖是一個包含2n-1個狀態(tài)的大“圈”,如圖1所示。由它產生的GF(2)序列的周期也是2n-1,稱為最大長度序列,即m序列,是一類常用的偽隨機序列。在這2n-1個狀態(tài)中,某狀態(tài)S的下一個狀態(tài)稱為S的“后繼”,而S的前一個狀態(tài)稱為 S的“前驅”。而形如 S=(α0,α1,α2,…αn-1),S*=(α0,α1,α2,…)則稱為一對共軛狀態(tài)。

    若兩對共軛狀態(tài)的連線在“圈”內存在交點,則交換它們的后繼仍能形成一個長度為2n-1的大“圈”,與這個新的狀態(tài)轉換較圖對應的序列稱為原序列的子序列[1-2]。子序列形成過程如圖2所示,圖中S1和Sp是一對共軛狀態(tài),Sk和Sq是另一對共軛狀態(tài)。實線箭頭表示原有的狀態(tài)轉換方向,虛線箭頭表示新的狀態(tài)轉換方向。

    在圖2所示過程中,兩對共軛狀態(tài)的連線(圖中實線所示)在圈內相交是這一轉換過程成功的關鍵。但是單從狀態(tài)轉換的角度來判斷哪兩對共軛狀態(tài)在“圈”內有交點存在很大的困難,因而文獻[1] 只在每一級中確定了一個子序列的生成方法。

    實際上,在n階本原多項式f(x)決定的線性移位寄存器中共有2n-1個狀態(tài),因為00…01在圈內沒有共軛狀態(tài),其余狀態(tài)將兩兩互為共軛,因此共有對共軛狀態(tài),這些共軛狀態(tài)中符合上述交換條件的可能有很多,如何能快速準確的找到這些滿足條件的共軛狀態(tài)呢?又如何通過它們簡便而又快速地實現這些m子序列呢?本文利用數學變換思想,建立了一種“映射”,將GF(2)域中“狀態(tài)”映射到整數域中,共軛狀態(tài)可以用編碼表示,通過該編碼很容易判斷出兩對共軛狀態(tài)在圈內有沒有交點。

    1 建立一種映射關系

    表1是以GF(2)上以本原多項式f(x)=1+x2+x5為反饋函數生成的移位寄存器的狀態(tài)表[3-4]。

    定義1:在給定本原多項式的基礎上,從任意一個初始狀態(tài)S0出發(fā),按照狀態(tài)出現的先后順序將這些狀態(tài)依次記為 S0、S1、S2… S2n-2下標 0、1、2…(2n-2)是該狀態(tài)的序號。

    某個狀態(tài)的前驅與后繼僅與反饋函數相關而與初始狀態(tài)無關。因而可以得出:兩對共軛狀態(tài)在圈內的連線是否會相交,與初始狀態(tài)的選擇無關[5]。

    這樣2n-1個“狀態(tài)”就和0、1、2…2n-2共(2n-1)個整數建立了“映射”關系。編程時,假設這些狀態(tài)以數組的形式存在,那么知道了這個“序號”就可以找到(“引用”)該“狀態(tài)”,已知“狀態(tài)”也可以判斷其在“圈”中的位置。這為下面研究共軛狀態(tài)的相互關系提供了方便。

    2 共軛狀態(tài)的表示方法

    定義2:某一狀態(tài)為 Sk=(α0,α1,α2,…αn-1),設其共軛狀態(tài)為Sp=,將它們的連線畫在圈內,若k<p則將這一對共軛狀態(tài)記為[k,p] ,若 k>p則將這一對共軛狀態(tài)記為[p,k] ,稱為這一對共軛狀態(tài)的“坐標”。

    共軛狀態(tài)的“坐標”包含了這一對共軛狀態(tài)在圈中的位置信息。[k,p] 中k稱為起點,p為終點,按上述定義,起點值一定比終點值要小,即要求0≤k<p≤2n-2,舉個例子說,表1中S3和S5是一對共軛狀態(tài),將其坐標記為[3,5] ,而不是[5,3] 。這樣規(guī)定有兩個目的,一是確定了每一對共軛狀態(tài)只有唯一的一個坐標了;二是方便用“遍歷”法生成共軛狀態(tài)表。有了共軛狀態(tài)表,就可以通過這些坐標來研究共軛狀態(tài)在圈中的相互關系了。表2是根據表1按上述定義2編程得到的共軛狀態(tài)表。由表2可見共軛狀態(tài)表的特點一是起點是按從小到的順序排列的,二是每一對共軛狀態(tài)在表中只出現一次。

    圖3畫出了表2中共軛狀態(tài)在圈中的連線??梢?,這些共軛狀態(tài)的連線在圈內的有的存在交點,有的不存在交點。有交點就可以產生新的序列,問題是在沒有畫出這個“圈”的情況下,如何才能確定兩對共軛狀態(tài)在圈內有無交點呢?

    表1 狀態(tài)表實例Tab.1 An example of state table

    表2 共軛狀態(tài)表Tab.2 Conjugated state table

    3 子序列生成條件的簡便判斷

    觀察圖3中這些連線的相互關系,并結合表2,可以得到下面的定理。

    定理1:若[k,p] 是一對共軛狀態(tài),[m,n] 是另一對共軛狀態(tài),將起點坐標較小的這一對共軛狀態(tài)稱第一對共軛狀態(tài),另一對稱為第二對共軛狀態(tài),這里假設[k,p] 是第一對共軛狀態(tài),若k<m<p<n,則這兩對共軛狀態(tài)的連線在圈內一定有交點。

    證明:第一對共軛狀態(tài)[k,p] 的連線將“圈”一分為二,從起點出發(fā),順時針方向的一側稱為“右側”,逆時針方向的一側稱為“左側”。k<m<p即第二對共軛狀態(tài)的起點位于第一對共軛狀態(tài)的“右側”,而 n>p,根據定義1,則容易知道 n> k,即第二對共軛狀態(tài)的終點一定位于第一對共軛狀態(tài)的“左側”,因而這兩對共軛狀態(tài)的連線在“圈”內必有交點,證畢。

    定理1用數學語言將原來只能用文字表述的交換條件“數學化”了,這種數字化的結果是很方便編程統(tǒng)計出交點的個數,也能方便地判斷兩對共軛狀態(tài)是否滿足交換條件。例如上圖中的共軛狀態(tài)[1,14] 和[2,28] 在圈內有交點,而[1,14] 和[6,10] 在圈內就沒有交點。

    應當指出的是,在反饋函數確定的情況下,初始狀態(tài)不同,則各狀態(tài)在圈中的序號都將改變,共軛狀態(tài)的坐標也就改變,如圖4所示。用上述定義1規(guī)定的共軛狀態(tài)的表示方法仍能反映各共軛狀態(tài)在圈中的相互關系,如圖3中[1,14] 和[2,28] 對應在圖4 就是[11,29] 和[25,30] ,仍可判斷它們的連線在圈內有交點。而圖3中的[1,14] 和[6,10] 在圖 4 對應的坐標是[11,29] 和[3,7] 仍能判斷它們在圈內沒有交點。

    總之,共軛狀態(tài)在圈內是否有交點與初始狀態(tài)無關,從任一個初始狀態(tài)出發(fā)進行編號,并按定義1生成的共軛狀態(tài)表都能準確反映共軛狀態(tài)在“圈”內的相互關系。

    4 應用

    4.1 子序列個數的統(tǒng)計

    從一個已知的m序列的狀態(tài)圖,可以得到多少個子序列呢?顯然,這取決于共軛狀態(tài)的連線在圈內有多少個交點,有了共軛狀態(tài)表,只需按定理1統(tǒng)計出交點的個數,就是能生成的子序列的個數了。

    實驗結果:經過實驗發(fā)現,相同級數的本原多項式對應的線性移位寄存器的共軛狀態(tài)在圈內的交點數是相同的,例如前面講的以f(x)=1+x2+x5為反饋函數的移位寄存器,其共軛狀態(tài)在圈內的交點數為35,若反饋函數換為f(x)=1+x3+x5,其共軛狀態(tài)在圈內的交點數也是35,其他的五階本原多項式的情況也是如此。表3給出的是通過實驗得到的級數為5-10級的線性移位寄存器共軛狀態(tài)在圈內的交點數(子序列個數)。

    表3 共軛狀態(tài)交點數Tab.3 The number of intersect points

    我們知道,n階線性移位寄存器所能產生的m序列(由不同的本原多項式產生)的數目遠小于m序列的周期N,但從表3可以看出,一個本原多項式衍生出的子序列的數目則遠遠大于它的周期,這些子序列保留了m序列的優(yōu)秀偽隨機特征。

    4.2 子序列的生成

    下面以定理的形式給出生成m子序列的一般方法。

    定理2:若[k,p] 是一對共軛狀態(tài),[m,n] 是另一對共軛狀態(tài),若k<m<p<n,或m<k< n < p,則在移位寄存器的反饋函數中加上(模2加)第m項和第k項的特征小項后,該移位寄存器的狀態(tài)圖將形成一個新的長度為2n-1的大圈。對應此大圈將產生一個新的不同于原來的序列。

    證明:k<m<p<n,或m<k< n < p保證了兩對共軛狀態(tài)在“圈”必有交點。移位寄存器的反饋函數中加上(模2加)第m項和第k項的特征小項,意味著在上述四個狀態(tài)后面的反饋函數值取反,即交換了次狀態(tài),重新形成了新的大“圈”,證畢。

    簡單地講,交換共軛狀態(tài)的后續(xù)狀態(tài)就是在狀態(tài)生成過程中,遇到共軛狀態(tài)中的一個就將原反饋函數值取反[7-8]。

    程序實現的思路是:指定反饋移位寄存器的級數,輸入相應的本原多項式的系數,從任一初始狀態(tài)出發(fā),將全部狀態(tài)生成并按順序儲存,根據共軛狀態(tài)的特點自動生成共軛狀態(tài)表,給定一對共軛狀態(tài),判斷是否符合交換條件,若符合交換條件,再次生成狀態(tài)表時在該狀態(tài)的下一個狀態(tài)輸出前通過異或“1”改變原有的反饋函數值。這中間可以用序號引用該狀態(tài)[9-10]。

    本文根據上述思想設計了程序,只要改變幾個常數就可以生成任意級數本原多項式的全部m子序列或其中一個子序列,運行非常方便,非常適用在需要大量偽隨機序列的場合。

    5 結論

    1)本文解決了“如何判斷兩對共軛狀態(tài)在圈內有交點”這一形成子序列的關鍵問題。解決問題的思路簡潔,非常便于程序實現。

    2)本文介紹的方法可以在本原多項式的基礎上可方便地產生大量的m子序列,為進一步研究這些子序列的性能奠定了基礎,也必將進一步擴展偽隨機序列在測量、通信、流密碼等領域中的廣泛應用。

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