基于線性規(guī)劃的公差綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

許本勝，王 燦，謝云峰

（桂林航天工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系， 桂林 541004）

0 引言

公差綜合，也稱公差分配，是在保證裝配要求的條件下，確定與之相關(guān)各配合零件最優(yōu)的公差。在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段，公差的分配合理與否直接影響到產(chǎn)品的質(zhì)量及后續(xù)過程的加工、使用壽命等。如果設(shè)計(jì)中規(guī)定的公差過小，會(huì)加大后續(xù)加工的難度及生產(chǎn)成本；反之，如果公差過大，則裝配精度降低，影響產(chǎn)品的裝配質(zhì)量。因此，公差的分配成為工程實(shí)際中常見的優(yōu)化問題。

常規(guī)的公差綜合方法有等公差法、等精度法以及概率法等[1,2]。這些方法主要依靠設(shè)計(jì)人員根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)參考相關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)進(jìn)行公差分配。由于對(duì)設(shè)計(jì)人員的主觀因素和經(jīng)驗(yàn)依賴程度高，公差的分配容易出現(xiàn)過緊或過松的情況，導(dǎo)致零件加工成本過高或加工完成的零件無法滿足裝配要求。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了各種計(jì)算機(jī)輔助的公差綜合優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[3]提出一種基于加工能力約束最低制造成本的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[4]以最低制造成本為目標(biāo)，根據(jù)成本與公差間的函數(shù)關(guān)系，建立了非線性的公差優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[5]、[6]以產(chǎn)品最小制造成本為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，分別使用遺傳算法及粒子群算法進(jìn)行裝配公差的優(yōu)化分配。這些方法均建立在公差—成本模型基礎(chǔ)上，利用各種優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。由于加工環(huán)境的不斷變化，對(duì)大量加工工藝數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析確定公差—成本模型的參數(shù)是十分困難的，因而實(shí)際工程中基于公差—成本的優(yōu)化模型應(yīng)用非常有限。

針對(duì)常規(guī)公差綜合方法優(yōu)化不足，以及考慮到實(shí)際獲取公差—成本關(guān)系復(fù)雜性的局限，本文將線性規(guī)劃方法運(yùn)用于公差綜合的優(yōu)化設(shè)計(jì)。線性規(guī)劃方法的一般形式如下：其中X={(x1, x2,!, xn)T| xi∈R,i=1, 2, !, n}為優(yōu)化變量，A、B、C、D為系數(shù)矩陣。

1 尺寸公差綜合的線性規(guī)劃模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

不考慮設(shè)計(jì)公差與制造成本之間的關(guān)系，以所有公差之和最大為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，有：

其中ti為第i個(gè)尺寸公差；n為公差個(gè)數(shù)。實(shí)際設(shè)計(jì)中，不僅要給出公差ti的大小，還應(yīng)給出相應(yīng)尺寸的極限值，因而本文將上、下極限尺寸作為設(shè)計(jì)變量，兩者差值為設(shè)計(jì)公差。記公差ti對(duì)應(yīng)基本尺寸為Li，上限、下限尺寸分別為LiU及LiL。式（1）可寫為：

1.2 約束條件

1.2.1 裝配要求約束

對(duì)于具體的裝配要求，以對(duì)應(yīng)裝配尺寸為封閉環(huán)，從封閉環(huán)一端開始搜索，遍歷所有與之相關(guān)的零件尺寸直至封閉環(huán)的另一端，得到與裝配要求相關(guān)的裝配尺寸鏈。裝配尺寸鏈中零件尺寸為組成環(huán)，如果組成環(huán)尺寸增大或減小（其他組成環(huán)尺寸視為不變）則裝配尺寸減小或增大，稱兩者反向；反之稱兩者同向。記裝配尺寸鏈中有m個(gè)組成環(huán)尺寸，DU及DL分別為裝配要求對(duì)應(yīng)的最大、最小裝配尺寸，得到組成環(huán)極限尺寸的裝配要求約束如下：

1.2.2 加工能力約束

設(shè)計(jì)的公差應(yīng)能夠保證實(shí)際加工，為此，需要根據(jù)實(shí)際加工條件確定最小設(shè)計(jì)公差。加工能力約束可表示為：

其中tiM為允許最小公差。

1.2.3 初始公差范圍

對(duì)于尺寸公差較多的情況，式（3）!（5）有時(shí)不能夠完整約束所有尺寸，考慮設(shè)計(jì)方法的通用性和穩(wěn)健性，對(duì)各尺寸公差范圍進(jìn)行初步確定，形成式（6）所示的不等式約束。

本文中初始公差范圍參考表1確定。

表1 不同尺寸段初始公差范圍

2 優(yōu)化實(shí)例

考慮一般情況，裝配體中需設(shè)計(jì)公差數(shù)目較多，且往往具有多個(gè)裝配要求。以圖1所示傳動(dòng)軸軸向裝配圖為例。裝配零件主要包括傳動(dòng)軸、左右端蓋、襯套、傳動(dòng)齒輪及軸承，其中齒輪及軸承均為標(biāo)準(zhǔn)件，齒輪基本尺寸及偏差為25±0.015，軸承基本尺寸及偏差為7±0.01。其它零件為非標(biāo)準(zhǔn)件，基本及極限尺寸（單位為mm）如圖2所示。

圖1 傳動(dòng)軸軸向裝配簡圖

圖2 零件軸向極限尺寸

2.1 目標(biāo)函數(shù)

由式（2），確定目標(biāo)函數(shù)如下：

2.2 約束條件

通過圖1及圖2獲得裝配要求對(duì)應(yīng)的裝配尺寸鏈，進(jìn)而確定裝配要求約束對(duì)應(yīng)的尺寸鏈方程。以裝配尺寸為例，其裝配尺寸鏈如圖3所示。

圖3 裝配要求對(duì)應(yīng)的尺寸鏈

綜合考慮各裝配要求，由裝配尺寸鏈可得到以下不等式約束：

各零件均采用車削加工，通常條件下能夠加工保證的最小公差為0.01mm，有：

由圖2中各零件軸向基本尺寸結(jié)合表1確定初始公差范圍如下：

綜合式（7）（10）得到圖1所示裝配體尺寸公差綜合的線性規(guī)劃模型，計(jì)算得到各設(shè)計(jì)尺寸對(duì)應(yīng)的極限尺寸及公差優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

3 結(jié)論

本文將線性規(guī)劃方法運(yùn)用于工程實(shí)踐中常見的尺寸公差綜合優(yōu)化問題，以設(shè)計(jì)公差之和最大為優(yōu)化目標(biāo)，以產(chǎn)品裝配要求、實(shí)際加工能力以及不同尺寸段的常見經(jīng)濟(jì)合理加工范圍為約束條件，研究了尺寸公差綜合的優(yōu)化分配方案。通過實(shí)例分析顯示了在給定裝配功能要求的前提下，線性規(guī)劃方法能有效生成優(yōu)化的公差大小以及對(duì)應(yīng)尺寸的極限值，是一種簡單實(shí)用的公差綜合設(shè)計(jì)方法。

表2 極限尺寸及公差優(yōu)化計(jì)算結(jié)果（單位：mm）

[1]吳昭同, 楊將新.計(jì)算機(jī)輔助公差優(yōu)化設(shè)計(jì)[M], 杭州: 浙江大學(xué)出版社, 1999.

[2]盧軍, 趙麗萍.基于知識(shí)的公差設(shè)計(jì)[J].計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)-CIMS,2001, 7(11): 50-53.

[3]黃美發(fā), 高詠生.基于最低制造成本的一種公差優(yōu)化設(shè)計(jì)法[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2002, 30(4):19-21.

[4]李淑娟, 李言, 肖繼明.基于DFA和DFC的綜合公差優(yōu)化[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù).2005, 24(2): 143-145.

[5]王伯平, 景大英.基于遺傳算法的配合尺寸公差優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào).2004,35(4):198-200.

[6]匡兵, 黃美發(fā), 鐘艷如等.基于粒子群算法的裝配公差優(yōu)化分配[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造, 2009, 2: 35-37.