基于有限差分法的矩形密封圈密封性能的數(shù)值計算

張付英，張東葛，張青青

（天津科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300222）

0 引言

彈性矩形密封圈由于結(jié)構(gòu)簡單且具有非線性的應(yīng)力-應(yīng)變行為，而在工業(yè)和航空液壓設(shè)備中得到廣泛的應(yīng)用[1,2]。矩形密封圈的密封性能對主機的工作性能和效率有很大影響，密封性能主要取決于密封偶合面間的油膜形狀和分布，雷諾方程是油膜壓力計算的基礎(chǔ)[3]。傳統(tǒng)的計算是通過動態(tài)實驗或有限元分析獲得膜壓分布曲線，再根據(jù)膜壓和流速分布用逆解法[4]求解密封圈的泄漏量。彈流動力學(xué)理論的不斷成熟和計算機技術(shù)的發(fā)展，使根據(jù)膜厚和流槽形狀用順解法求解油膜壓力分布和泄漏量的方法得到不斷改進和完善。本文基于有限差分法對動態(tài)密封模型進行離散化處理，采用MATLAB軟件編程，計算矩形密封圈的油膜壓力分布、油膜厚度、泄漏量和摩擦力等密封性能參數(shù)，并通過圖形直觀地表達矩形密封圈的數(shù)值計算結(jié)果，對彈性密封圈的優(yōu)化設(shè)計具有一定的指導(dǎo)意義。

1 彈流動力密封方程的離散化處理

1.1 矩形密封圈的結(jié)構(gòu)模型及其彈流動力密封方程的建立

矩形密封圈的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。由于矩形密封圈是軸對稱結(jié)構(gòu)，因此只畫出了一半的密封模型。G.K Nikas在前人研究的基礎(chǔ)上，建立了考慮密封偶合面間的混合潤滑狀態(tài)和密封件粗糙度的彈流動力密封方程（公式1），為了說明基于有限差分法的數(shù)值計算過程，本文以G.K Nikas建立的密封方程作為基礎(chǔ)進行計算，該方程的坐標(biāo)原點O選在密封圈空氣側(cè)假想的圓角尖端。

為了便于計算機運算，該方程進行了量綱一化。H=h/h0（h是局部膜厚，h0是接觸處預(yù)期的平均膜厚）；Y=y/W（W是密封初始安裝寬度）Ph=ph/pcyl（ph是擾動壓力，由油膜壓力和密封件表面粗糙度引起的壓力，pcyl是密封壓力）。

圖1 矩形密封圈的結(jié)構(gòu)組成

圖2 密封方程的差分過程

其中：φ是圓周坐標(biāo)（Oz軸和活塞桿外表面在xz平面上的一個點之間的角度）； V是活塞桿的速度（內(nèi)行程時為正，外行程時為負(fù)）； p=pcon+ph（pcon是密封壓力和預(yù)加載荷接觸壓力總和）；η=η0·eαp（η 為動力粘度，η0是流體工作溫度下，p=0時的動力粘度；α是流體工作溫度時的壓力-粘度系數(shù)）；ca，cb是流體常數(shù)；Drod是活塞桿的外徑。

1.2 矩形密封圈彈流動力密封方程的離散化

由于無法用解析方法獲得矩形密封圈彈流動力密封方程的精確解，本文利用有限差分法將密封偏微分方程(公式(1))按如圖2所示的差分關(guān)系進行離散[5,6](iφ,jY)。并用迭代法求解油膜壓力分布。

為簡化計算，將矩形密封圈的求解域劃分成50×50的等距網(wǎng)格，即步長Δy=Wc/50，Δφ=2π·dseal/50，dseal表示密封圈的內(nèi)徑。變量Ph在整個域中的分布可以用各節(jié)點的Ph值表示。

則公式（1）中的一次偏微分和二次偏微分可按公式（2）～公式（4）進行轉(zhuǎn)換。

矩形密封圈動力密封方程中各節(jié)點的變量Phi,j與相鄰各節(jié)點的變量關(guān)系可寫成公式(5)。

有限差分法得到的計算方程(5)，對于每一個節(jié)點都可以寫出一個方程，而在邊界上的節(jié)點變量應(yīng)滿足邊界條件。本方程的邊界條件為：

當(dāng)Y＝0時，Ph＝0；Y＝1時，Ph＝1。

2 基于彈流固多場耦合的密封性能的求解框架

由于矩形密封圈的密封行為取決于流體場、彈性場和過盈接觸等耦合場作用的結(jié)果。因此，矩形密封圈的密封性能計算還應(yīng)考慮密封的應(yīng)力－應(yīng)變模型及運動學(xué)特性。本文采用公式（6）的應(yīng)力－應(yīng)變模型[1]。密封性能的求解流程如圖3所示。

其中 εx，εy，εz是密封圈應(yīng)變；σx，σy，σz是密封圈應(yīng)力，αseal是密封圈的熱變形系數(shù)；vseal是密封圈的泊松比。

圖3 矩形密封圈的密封性能求解流程圖

3 基于有限差分法的矩形密封圈密封性能數(shù)值計算實例

矩形密封圈的計算數(shù)據(jù)如表1所示，以外行程活塞桿為例。

表1 矩形密封圈的計算數(shù)據(jù)

利用MATLAB軟件編寫程序?qū)崿F(xiàn)圖3的迭代計算過程。迭代計算時需預(yù)設(shè)初始值，預(yù)設(shè)各處油膜厚度與平均油膜厚度相同，均為2.8μm。在考慮摩擦與粗糙度的情況下，活塞桿在外行程時，密封件的油膜厚度與外行程時的流量分別如圖4～圖6所示。

計算結(jié)果表明：活塞桿的起點與終點擾動壓力有變化，其余點趨于穩(wěn)定，P在6.50MPa～7.01MPa之間，計算出的油膜厚度h1的范圍為[3.07,1.96]μm，平均油膜厚度為2.88μm，與預(yù)設(shè)的油膜厚度誤差為3.017%，可以采用。根據(jù)內(nèi)外行程的流量計算得到的密封泄漏量為-26.034mg/s，活塞桿與密封圈接觸處的平均摩擦系數(shù)為0.0053，最大摩擦力為21.20N。

圖4 密封偶合面間的壓力分布

圖5 油膜厚度分布

圖6 密封的泄漏量

4 結(jié)束語

1）有限差分法求解矩形密封圈的動態(tài)密封方程可計算密封偶合面間的油膜厚度、泄漏量和密封偶合面間的摩擦力等密封參數(shù)。

2）利用MATLAB軟件編程可根據(jù)預(yù)設(shè)的油膜厚度，快速計算偶合面間的壓力分布、油膜厚度、泄漏量，計算結(jié)果具有較高的精度。

3）基于有限差分法，計算矩形往復(fù)密封的密封參數(shù)時，考慮了流體機理、彈性變形機理和過盈接觸等較多耦合影響因素，與實際應(yīng)用過程相近，計算獲得的壓力與油膜分布、潤滑狀態(tài)和泄漏量與實際接近，對實際密封的應(yīng)用具有很好的指導(dǎo)意義。

[1]G.K.Nikas.Elastohydrodynamics and mechanics of rectangular elastomeric seals for reciprocating piston rods[J].Tribology, 2003, 125(1): 60-69.

[2]SandorBisztray Balku.Tribology of elastomeric and composite reciprocating hydraulic seals[J], Periodica Polytechnica Ser.Mech.Eng.1999, 43(1): 63-80.

[3]顧永泉.機械密封實用技術(shù)[M].北京: 機械工業(yè)出版社,2001.

[4]Richard F.Salant, Nicholas Maser, Bo Yang, Numerical model of a reciprocating hydraulic rod seal, Journal of Tribology, 2007, 129(1): 91-97.

[5]黃平.摩擦學(xué)教程[M], 北京: 高考教育出版社, 2008.

[6]G K Nikas, Transient elastohydrodynamic lubrication ofrectangular elastomeric seals for linear hydraulic actuators, Proc.Instn Mech.Engrs Vol.217 Part J: J.Engineering Tribology, 2003: 461-473.