創(chuàng)建數(shù)學模型探究汽缸節(jié)能優(yōu)化方案

史秀英

（赤峰學院 成人教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

創(chuàng)建數(shù)學模型探究汽缸節(jié)能優(yōu)化方案

史秀英

（赤峰學院 成人教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

本文采用幾何畫板建立數(shù)學模型，定量地分析了在曲柄連桿結構偏置時的受力和能量轉化情況，得到了內燃機活塞摩擦功耗顯著減少的結論，摩擦力的減少導致內燃機機械效率增加.

幾何畫板；曲柄連桿結構；偏置距離；摩擦功耗；機械效率

本文采用幾何畫板建立數(shù)學模型，定量地分析了在曲柄連桿結構偏置時的受力和能量轉化情況，得到了內燃機活塞摩擦功耗顯著減少的結論，摩擦力的減少導致內燃機機械效率增加.它對提倡節(jié)能減排，具有積極的現(xiàn)實意義.

1 問題提出背景

汽車改變了人類的生活.我們通過用數(shù)學與物理應用軟件《幾何畫板》模擬汽車內燃機的工作過程，了解到內燃機摩擦消耗的能量約占總功率的30%以上，活塞與汽缸壁間的摩擦力與活塞對汽缸壁的正壓力成正比，這個正壓力主要來自活塞和連桿之間作用力的在活塞運動方向相垂直的分量.活塞和連桿之間的作用力在做功沖程中的值遠遠大于在壓縮沖程中的值，這是一種受力的不對稱.而現(xiàn)有的內燃機結構在壓縮沖程和做功沖程中曲柄連桿結構是對稱的（點A與點C始終在一條直線上）（圖1），從資料中了解到有將連桿偏置（點A與點C的軌跡不在一條直線上）式的內燃機，分析該類機型后對比普通機型我們就提出了一個猜想：這種發(fā)動機可以使得做功過程得到優(yōu)化，我們借助《幾何畫板》建立數(shù)學模型，發(fā)現(xiàn)當活塞與汽缸中心連線遠離曲軸中心(偏置)0.71厘米的時候(圖2)內燃機輸出功增加了1.5%,具體的研究過程總結如下.

圖1 H=0普通內燃機曲柄滑塊機構

圖2 H：偏置式曲柄滑塊的偏置距離

2 內燃機的工作過程

為了研究方便我們引入幾個術語(見圖3,圖3是汽車內燃機工作原理圖）：

圖3

(1)上止點——活塞頂面位移到距離曲軸中心線最遠時的位置.

(2)下止點——活塞頂面位移到距離曲軸中心線最近時的位置.

(3)活塞沖程——活塞的上止點與下止點間的距離.

(4)活塞在某一時刻的氣缸容積——活塞在某一時刻時汽缸中氣體的體積,單位為升.

圖4

圖5

內燃機有四個沖程：進氣行程(圖4)、壓縮行程(圖 5)、做功行程(圖 6)、排氣行程(圖 7).

圖6

圖7

即四沖程汽油內燃機經(jīng)過進氣、壓縮、做功、排氣四個沖程完成一個工作循環(huán)，這期間活塞在上、下止點間往復運動了四個沖程，相應地曲軸旋轉了兩圈.

3 借助《幾何畫板》創(chuàng)建數(shù)學模型

接下來我們運用《幾何畫板》軟件平臺，建立數(shù)學模型.

3.1 創(chuàng)建活塞壓力計算數(shù)學模型

從《汽車常識》中得到根據(jù)壓強體積曲線（橫軸表示：活塞在某一時刻的氣缸容積，縱軸表示：活塞所受的壓強）我們可以作為后面幾何畫板建立數(shù)學模型的依據(jù)，（如圖8）.

經(jīng)分析可知在壓縮沖程中有一個階段氣缸內大氣壓小于外界大氣壓，真實的內燃機在吸氣沖程和排氣沖程中氣缸是與外界連通的，活塞受到的壓力極小，氣壓大致與標準大氣壓一致，在做功階段氣缸內壓強遠遠大于外界大氣壓，因而只許分析做功沖程與壓縮沖程中的壓力情況即可.

圖8 內燃機的PV曲線

在幾何畫板中，得出發(fā)動機中每個環(huán)節(jié)中實際壓力的大小比較困難，為了理解方便又不至于影響研究問題，我利用假設的方法假設汽缸活塞所受到的力的情況由（圖9）中所標數(shù)據(jù)所示（橫軸表示：活塞離開曲軸中心的距與活塞橫截面積的積所形成的體積，縱軸表示：活塞所受到的壓強）并用一系列的線段來擬合壓強曲線，曲線LO代表做功沖程中的壓強曲線，曲線JG代表的是壓縮沖程中的壓強曲線，左右兩邊豎線分別是下止點與上止點的位置，規(guī)定下止點距曲軸中心的距離為12.6cm，上止點距曲軸中心的距離為33.5cm，取活塞的橫截面積為1個面積單位，若將體積單位以升記，活塞的橫截面積為1平方分米，則“體積壓強”曲線可以當作“距離壓力”曲線使用（圖9）.

圖9

3.2 創(chuàng)建偏置曲柄連桿結構數(shù)學模型

首先引入一個定義

定義1：偏置距離H是指活塞與汽缸中心連線離開曲軸中心的距離.

其次給出一些變量

H：偏置距離，變量

xmax：上止點活塞位置（上止點離開曲軸中心的距離），定值33.5cm

xmin：下止點活塞位置（下止點離開曲軸中心的距離），定值12.6cm

R：曲柄長度，隨H變化的變量，為了保持固定的氣缸工作容積

L：連桿長度，隨H變化的變量，為了保持固定的氣缸工作容積

在下止點xmin時，有如下幾何關系xmin2=(L-R)2-H2如（圖 10）

圖10 下止點幾何關系

在上止點xmax時，有如下幾何關系xmax2=(L+R)2-H2

解得：

這樣通過調整L和R的長度保證固定的上止點和下止點活塞位置，保證在不同偏置位置的時候，具有相同的汽缸體積，這樣就保證了做功沖程和壓縮沖程的氣壓在不同偏置情形下保持一致.

將曲柄與x軸正方向之間的夾角α定義為一個參數(shù)，對于α的每一個值，當曲柄處在某個位置R處，活塞S點的位置一定在以R點為圓心，以L為半徑的圓與活塞軌跡相交的交點上，這樣確定了活塞的位置，使得當R旋轉的時候，活塞S隨之水平移動，連桿角度也隨之變化.由此用幾何畫板建立了曲柄連桿結構在偏置距離為H狀態(tài)下的數(shù)學模型（圖 11）.

圖11 建立曲軸連桿模型

3.3 創(chuàng)建活塞受力分析模型

在活塞的受力分析中，可以將活塞運動的每一瞬間近似地看作受力平衡狀態(tài).力的方向取向右、向上為正，角度從水平向右逆時針旋轉為正.在水平方向連桿與活塞的作用力的水平分量與活塞摩擦力和汽缸內氣體對活塞的壓力相平衡.在豎直方向連桿與活塞的作用力的豎直分量與汽缸對活塞的約束力相平衡.

F：氣體對活塞的壓力，根據(jù)壓力曲線己知

T：連桿對活塞的作用力，未知

N：汽缸對活塞的約束力，未知

f：汽缸與活塞間的摩擦力，未知

活塞與汽缸的動摩擦因數(shù)為μ，己知（在這里不仿設為0.25）.

在偏置距離H的時候受力分析見（圖12），并可列出相應的力學方程，解出壓力與摩擦力公式，見（圖 13）.

圖12

圖13

根據(jù)圖11的模型，可以用幾何畫板度量出水平向右方向與連桿的角度θ，結合“壓力.體積”（圖9）與（圖13）中求摩擦力的公式可求出各種情況下的摩擦力.

3.4 創(chuàng)建做功分析數(shù)學模型

考慮到發(fā)動機在實際工作過程中，做功沖程中摩擦力的做功遠大于壓縮沖程中摩擦力的做功情況，因而我們只對做功沖程中摩擦力的情況進行分析，這不會對得出的結論有大的影響.

用幾何畫板的度量功能在模型（圖11）中度量出角度（水平向右方向與連桿形成的角θ），再用幾何畫板度量出對應的x值（θ值對應的活塞到曲軸中心的距離），在圖9中找出x對應的縱坐標即壓力F，由圖13三、四列中摩擦力的計算公式算出做功沖程中的摩擦力，由（圖12）中的受力分析可知F都是向左的可看成負值，列成下表（圖14）.

將圖14中的數(shù)據(jù)描點連線分別得出非偏置（圖15）與偏置0.71厘米后（圖16）摩擦力距離曲線.

定義2 做功沖程有用功=做功沖程正功-全過程摩擦力負功

由圖15與圖16不難理解，做功沖程的氣缸壓力距離曲線與上下止點垂線、水平線圍成的面積可以看成壓力所做的有用功，使終保持在122.11平方厘米（注：平方厘米不是功的單位，但可以用這一數(shù)據(jù)描述功的大小，以下類推）.摩擦力所做的功可以看成是摩擦力距離曲線與上下止點垂線、水平線圍成的面積.

圖14

得非偏置狀態(tài)下有用功：

偏置0.71厘米后的有用功:

可以看出當偏置0.71厘米時摩擦力做功由非偏置的10.89平方厘米減少為9.18平方厘米，度量面積的誤差為0.01平方厘米，因此保留兩位小數(shù).

圖15

圖16

輸出功在偏置0.71厘米以后增加了1.5%.

〔1〕袁震東.數(shù)學建模[M].上海：華東師范大學出版社，1997.

〔2〕趙靜，但琦.數(shù)學建模與數(shù)學實驗[M].北京：高等教育出版社，2008.

〔3〕汽車發(fā)動機工作原理.http://auto.bowenwang.com.cn/engine4.htm.

O29

A

1673-260X（2012）02-0005-04