復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論在“電力電子技術(shù)”教學(xué)中的應(yīng)用

韋篤取，丘東元，張 波

(1廣西師范大學(xué)電子工程學(xué)院，廣西桂林541004 2華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣東廣州510641)

0 引言

由若干個(gè)節(jié)點(diǎn)與連接不同節(jié)點(diǎn)之間的一些邊組成的對(duì)象稱為網(wǎng)絡(luò)，如果用節(jié)點(diǎn)來表示不同的個(gè)體，邊表示不同節(jié)點(diǎn)之間所具有的某種關(guān)系，就可以把大量實(shí)際系統(tǒng)抽象為一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。如果這些網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)和邊的數(shù)量眾多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，連接形式多樣，我們就稱其為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。自從Watts和Strogatz于1998年提出小世界網(wǎng)絡(luò)(Small World Network，簡稱SWN)模型以及Barabasi和Albert于1999年提出無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)(Scale-Free Network，簡稱SFN)模型以來［1，2]，作為一種交叉性學(xué)科，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論發(fā)展很快，已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到應(yīng)用。從Internet到WWW，從電力網(wǎng)絡(luò)到交通網(wǎng)絡(luò)，從科研合作網(wǎng)絡(luò)到經(jīng)濟(jì)、政治和社會(huì)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)等都有發(fā)展?？梢哉f，人們已經(jīng)生活在一個(gè)充滿著各種各樣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)世界中，對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的定量與定性特征的科學(xué)理解已成為網(wǎng)絡(luò)時(shí)代科學(xué)研究中一個(gè)挑戰(zhàn)性課題，甚至被稱為網(wǎng)絡(luò)的新科學(xué)(New Science of Networks)［3，4]。

另一方面，“電力電子技術(shù)”是高校電氣工程及其自動(dòng)化專業(yè)、電氣信息專業(yè)本科生的專業(yè)必修課程之一。課程的主要內(nèi)容包括電力電子器件、電力電子電路及控制技術(shù)［5，6]。傳統(tǒng)電力電子技術(shù)教學(xué)方法是把系統(tǒng)分解為大量的基本單元(如獨(dú)立電子元器)，由這些基本單元的性質(zhì)及其相互作用按照電路學(xué)理論進(jìn)行計(jì)算，再把計(jì)算結(jié)果綜合起來，推斷系統(tǒng)的整體性質(zhì)。最近通過實(shí)證研究，學(xué)者發(fā)現(xiàn)電力電子系統(tǒng)是一個(gè)典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)［7，8]。這種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論為“電力電子技術(shù)”的教學(xué)開創(chuàng)了一條新路，就是用整體論方法處理復(fù)雜系統(tǒng)問題。新方法把電路定理與統(tǒng)計(jì)處理結(jié)合起來，把定量規(guī)律與定性特征結(jié)合起來，把系統(tǒng)的分解與單元的聚合結(jié)合起來，在處理復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)、機(jī)理與演化等問題上取得了重要進(jìn)展。電力電子技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展需要吸取復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的營養(yǎng)。本文將就復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與“電力電子技術(shù)”教學(xué)的關(guān)系與應(yīng)用進(jìn)行探討，并通過一個(gè)具體實(shí)例對(duì)此問題進(jìn)行分析。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的幾個(gè)基本概念

1.1 平均路徑長度

網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j之間的距離dij定義為連接這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短路徑上的邊數(shù)。網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間距離的最大值稱為網(wǎng)絡(luò)直徑(Diameter)記為

任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間距離的平均值定義為網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度

式中，N為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的長度L也稱為網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度(Characteristic Path Length)。

1.2 聚類系數(shù)［3，4]

一般地，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)i有ki條邊將它和其它節(jié)點(diǎn)相連，這ki個(gè)節(jié)點(diǎn)就稱為節(jié)點(diǎn)的鄰居。在這ki個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最多可能有ki(ki－1)/2條邊。而這ki個(gè)節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際存在的邊數(shù)Ei和總的可能的邊數(shù)ki(ki－1)/2之比就定義為節(jié)點(diǎn)i的聚類系數(shù):

從幾何特點(diǎn)看，上式的一個(gè)等價(jià)定義為

這里以節(jié)點(diǎn)i為中心的三元組，是指包含節(jié)點(diǎn)i的三個(gè)節(jié)點(diǎn)，并且至少存在從節(jié)點(diǎn)i到其它兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的兩條邊。整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)C就是所有節(jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)Ci的平均值。很明顯，0C1。當(dāng)且僅當(dāng)所有的節(jié)點(diǎn)均為孤立節(jié)點(diǎn)，即沒有任何連接邊時(shí)，C=0。當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)絡(luò)是全局耦合的，即網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)都直接相連時(shí)，C=1。對(duì)于一個(gè)含有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全隨機(jī)的網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)N很大時(shí)，則有C=O(N－1)。而許多大規(guī)模的實(shí)際網(wǎng)絡(luò)都具有明顯的聚類效應(yīng)，它們的聚類系數(shù)盡管遠(yuǎn)小于1但卻比O(N－1)要大得多。事實(shí)上，在很多類型的網(wǎng)絡(luò)(如社會(huì)關(guān)系網(wǎng)絡(luò))中，你的朋友的朋友同時(shí)也是你的朋友的概率會(huì)隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增加而趨向于某個(gè)非零常數(shù)，即當(dāng)N→∞時(shí)，C=O(1)。這意味著這些實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)并不是完全隨機(jī)的，而是在某種程度上具有類似于社會(huì)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中“物以類聚，人以群分”的特性。

1.3 度與度分布［3，4]

度(Degree)是單獨(dú)節(jié)點(diǎn)的屬性中簡單而又重要的概念。節(jié)點(diǎn)i的度k定義為與該節(jié)點(diǎn)連接的其它節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。有向網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度分為出度(Out-Degree)和入度(In-Degree)。節(jié)點(diǎn)的出度是指從該節(jié)點(diǎn)指向其它節(jié)點(diǎn)的邊的數(shù)目，節(jié)點(diǎn)的入度是指從其它節(jié)點(diǎn)指向該節(jié)點(diǎn)的邊的數(shù)目。直觀上看，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度越大就意味著這個(gè)節(jié)點(diǎn)在某種意義上越重要。

網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)i的度ki的平均值稱為網(wǎng)絡(luò)的(節(jié)點(diǎn))平均度，記為〈k〉。網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度的分布情況可用分布函數(shù)P(k)來描述。P(k)表示的〈k〉是一個(gè)隨機(jī)選定的節(jié)點(diǎn)的度恰好為k的概率。

規(guī)則的格子有著簡單的度序列:因?yàn)樗械墓?jié)點(diǎn)具有相同的度，所以其度分布為Delta分布，它是單個(gè)尖峰。網(wǎng)絡(luò)中的任何隨機(jī)化傾向都將使這個(gè)尖峰的形狀變寬。完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的度分布近似為Poisson分布，其形狀在遠(yuǎn)離峰值〈k〉處呈指數(shù)下降。這意味著當(dāng)k〈k〉時(shí)，度為k的節(jié)點(diǎn)實(shí)際上是不存在的。因此，這類網(wǎng)絡(luò)也稱為均勻網(wǎng)絡(luò)。

近幾年的大量研究表明，許多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的度分布明顯地不同于Poisson分布。特別地，許多網(wǎng)絡(luò)的度分布可以用冪律形式P(k)～k－γ來更好地描述。冪律分布曲線比Poisson指數(shù)分布曲線下降要緩慢得多。冪律分布也稱為無標(biāo)度(Scale-Free)分布，具有冪律度分布的網(wǎng)絡(luò)也稱為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，在一個(gè)度分布為具有適當(dāng)冪指數(shù)(通常為2γ3)冪律形式的大規(guī)模無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，絕大部分節(jié)點(diǎn)的度相對(duì)很低，但存在少量的度相對(duì)很高節(jié)點(diǎn)。因此，這類網(wǎng)絡(luò)也稱為非均勻網(wǎng)絡(luò)(Inhomogeneous Network)，而那些度相對(duì)很高的節(jié)點(diǎn)稱為網(wǎng)絡(luò)的“集線器”(Hub)。

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的具體應(yīng)用例子

我們現(xiàn)在通過一個(gè)典型的例子，即對(duì)三相逆變電路器件短路時(shí)的故障診斷，來說明復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法在“電力電子技術(shù)”教學(xué)中的應(yīng)用。

一般來說，我們首先根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立電力電子變換器的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，具體方法如下:在電力電子變換器中，將元器件(如電阻、電容、電感、開關(guān)器件、二極管和變壓器等)及電源定義為節(jié)點(diǎn)，將連接各個(gè)元器件的導(dǎo)線定義為無向邊，由此得到電力電子變換器對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)圖。

圖1為三相橋式逆變器，其網(wǎng)絡(luò)模型如圖2(a)所示。圖中共有節(jié)點(diǎn)數(shù)N4a=10個(gè)，邊數(shù)l4a=24條，對(duì)應(yīng)的基本特征參數(shù)為:聚類系數(shù)C4a=0.46，平均路徑長度L4a=1.467條。而對(duì)于一個(gè)具有相同節(jié)點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，其聚類系數(shù)和平均路徑長度分別為Crand≈0.38，Lrand≈1.468條。對(duì)比兩組數(shù)據(jù)，可得C4a＞Crand，L4a≈Lrand?？梢娙鄻蚴侥孀兤鞯闹麟娐贩闲∈澜缇W(wǎng)絡(luò)“大聚類系數(shù)和小平均路徑長度”特性［8]，因此屬于一種典型的小世界網(wǎng)絡(luò)。

圖1 三相橋式逆變器

假設(shè)晶閘管T1斷路，那么將節(jié)點(diǎn)T1剔除，并刪除T1與其他節(jié)點(diǎn)相連的邊，得到圖2(b)。此時(shí)N4b=9個(gè)，l4b=19條，C4b=0.456，L4b=1.472條。對(duì)比圖2(a)和2(b)，發(fā)現(xiàn)C4a≈C4b，L4a≈L4b，即故障發(fā)生后，雖然網(wǎng)絡(luò)模型中的節(jié)點(diǎn)和邊均減少，但其特征參數(shù)基本不變。因此采用現(xiàn)有的建模方法，只能表達(dá)元器件之間的靜態(tài)連接關(guān)系，不能反映出逆變器的運(yùn)行狀況，而且難以區(qū)分正常態(tài)和故障態(tài)。

圖2 故障發(fā)生前后對(duì)比

三相橋式逆變器正常工作時(shí)，共陰極組和共陽極組各有一個(gè)晶閘管導(dǎo)通，設(shè)T1和T6導(dǎo)通。此時(shí)負(fù)載Ra和Rb直接與電容C相連，若添加兩條連線(虛線)反映此電氣連接關(guān)系。正常運(yùn)行(T1與T6導(dǎo)通)時(shí)，圖2(a)便演變成為圖3(a)。由于三相橋的對(duì)稱性，圖3(a)也適用于其余五對(duì)晶閘管導(dǎo)通時(shí)的情況，因此，圖3(a)可以看作三相橋式逆變器正常工作模態(tài)對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)圖。當(dāng)晶閘管T1斷路時(shí)，逆變器的輸出電壓缺相，故障態(tài)與正常態(tài)相互轉(zhuǎn)換，相當(dāng)于在圖3(b)和圖3(c)之間切換。

圖3(b)是T1斷路，僅有T6導(dǎo)通的狀態(tài)。圖3(c)是T1斷路，T2和T3導(dǎo)通的狀態(tài)。我們現(xiàn)在來計(jì)算上述各圖的特征參數(shù)可得:由圖3(a)得C5a=0.523，L5a=1.422條;由圖3(b)得C5b=0.485，L5b=1.444條;由圖3(c)得C4c=0.543，L4c=1.417條。分析可見，圖3(a)和圖3(c)對(duì)應(yīng)的特征參數(shù)基本相等，其中ΔC=0.4%，ΔL=3.8%;而圖3(b)和圖3(c)對(duì)應(yīng)的特征參數(shù)變化率達(dá)到，ΔC=1.9%，ΔL=10.7%這意味著T1斷路時(shí)，當(dāng)逆變器在(圖3(c))所示有輸出電壓時(shí)，其網(wǎng)絡(luò)特征與原正常態(tài)的基本相同;而當(dāng)逆變器在(圖3(b))所示無輸出電壓時(shí)，其網(wǎng)絡(luò)特征出現(xiàn)了較明顯的變化。

圖3 三相橋式逆變器的網(wǎng)絡(luò)圖

由此可見，采用合適的建模方法，電力電子系統(tǒng)的不同故障能夠在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)層次上體現(xiàn)。即使是同類故障，對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)圖相似，還可以利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的唯一性，采用其他特征參數(shù)(如節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的聚類系數(shù)、度分布函數(shù)等)進(jìn)行更細(xì)致的區(qū)分。因此，本例子運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論進(jìn)行故障診斷的教學(xué)，可以取得預(yù)期的效果。

3 結(jié)語

本文應(yīng)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法可以解決“電力電子技術(shù)”教學(xué)中的難題。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在電力電子教學(xué)上的應(yīng)用還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止上述一個(gè)例子。我們還可以應(yīng)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)思想和方法去解決復(fù)雜電力電子技術(shù)其他方面的問題。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法更多的應(yīng)用需要我們進(jìn)一步探討。

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