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    確定電力系統(tǒng)臨界出口點(diǎn)方法的研究

    2012-10-11 02:58:14穎,林
    黑龍江電力 2012年1期
    關(guān)鍵詞:三階平衡點(diǎn)暫態(tài)

    岳 穎,林 楠

    (1.東北電力大學(xué),吉林 吉林132012;2.通遼電業(yè)局,內(nèi)蒙古 通遼028000)

    0 引言

    目前,在電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的分析中,求解穩(wěn)定平衡點(diǎn)與不穩(wěn)定平衡點(diǎn)非常重要。特別是應(yīng)用直接法與Normal Form變換進(jìn)行暫態(tài)穩(wěn)定分析均是以主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)(CUEP)為基礎(chǔ)的。對于受擾系統(tǒng),我們一般只研究與故障軌跡相關(guān)的那部分穩(wěn)定域邊界(包含CUEP),而求出CUEP上的穩(wěn)定流形就確定了系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界[1]。求解CUEP的問題首先就是求解系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn),也就是求解非線性微分方程組。對于電力系統(tǒng)這個非線性系統(tǒng),不論是從理論還是計算量方面考慮,直接求解非線性微分方程組很困難,所以主要求出不穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近的近似解便可。

    Normal Form變換[2]是一種基于非線性動力學(xué)理論的有效的數(shù)學(xué)工具,這種方法將原始非線性系統(tǒng)的表達(dá)式在主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開后,再經(jīng)過線性變換和非線性變換,將系統(tǒng)映射到一個線性系統(tǒng)中。原系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界在主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處經(jīng)過映射后在線性空間中是一個超平面,當(dāng)持續(xù)故障軌線與穩(wěn)定邊界相交時,對應(yīng)的交點(diǎn)就是系統(tǒng)臨界出口點(diǎn),進(jìn)而可以得到臨界切除時間。

    本文提出的方法是首先將求解主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為非線性最小二乘問題[3],并采用結(jié)構(gòu)p步牛頓法,在計算的過程中自動調(diào)節(jié),保證收斂到正確的CUEP,而后在主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處對系統(tǒng)表達(dá)式做泰勒展開,并應(yīng)用Normal Form理論對其進(jìn)行線性和非線性變換,最后求出臨界切除時間。

    1 結(jié)構(gòu)p步牛頓法求主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)

    求解主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的問題就是求解下列非線性方程組

    將其轉(zhuǎn)化為求非線性最小二乘問題,即

    其中 θ=(θ1,θ2,…,θn)T∈Rn。

    F(θ)的二階導(dǎo)數(shù)(海森矩陣)為

    式中,A(θ)為 F(θ)的雅格比矩陣,C(θ)與 S(θ)分別為H(θ)的線性與非線性部分。S(θ)就是求解最小二乘問題中的殘量部分,在計算的過程中將會隨著主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)求解過程的變化而變化。因此,在計算的過程中選用合適的算法比較有利于加快收斂速度。

    本文選擇文獻(xiàn)[4]中提出的結(jié)構(gòu)p步牛頓法進(jìn)行求解。此方法對零殘量問題具有二階收斂速率,而對于大殘量問題具有p步p+1階收斂速率。應(yīng)用結(jié)構(gòu)p步牛頓法求解CUEP的計算步驟為

    1) 給定初始點(diǎn) q0,令整數(shù) p≥1,k=0。

    2)令

    其中,i=1,2,…,p -1,參數(shù) p 表示迭代次數(shù),當(dāng)在θk,0點(diǎn)時,采用牛頓步;當(dāng) 0 < i< p 時,在 θk,i點(diǎn)采用簡化結(jié)構(gòu)牛頓步。

    3) 若滿足‖F(xiàn)(θk)‖ =0,則輸出 θk,得到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的點(diǎn)列{θk};否則,令k=k+1,轉(zhuǎn)步驟b。

    4)用切平面篩選法[5]確定主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

    從θk到θk+1的p步中,只需要計算一次就得到S(θk)。其中構(gòu)造 Bk,i進(jìn)行求解,大大減少了計算量,并且具有較高的收斂性。

    2 三階Normal Form變換

    現(xiàn)有的部分文獻(xiàn)為了研究方便,一般省略高階項(xiàng),只研究到二階解析解,使得計算的結(jié)果存在不容忽視的截斷誤差。文獻(xiàn)[6-7]將系統(tǒng)的解析解推導(dǎo)到三階,并驗(yàn)證了三階解析解比二階的更加精確。下面結(jié)合文獻(xiàn)對系統(tǒng)進(jìn)行三階Normal Form變換的推導(dǎo)步驟進(jìn)行介紹。

    設(shè)非線性系統(tǒng)的微分方程為

    式中,X=(x1,x2,…,xn)T∈Rn。將式(2)在主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)X0處做泰勒展開并保留至三階項(xiàng),得

    式中,A=[?Fi/?X]x0為系統(tǒng)的雅克比矩陣為系統(tǒng)的二階矩陣的第 i個子矩陣,

    求取原非線性系統(tǒng)線性部分X˙=AX的特征值λ1,…,λn。

    令線性變換為

    式中,U為矩陣A的右特征向量矩陣,V為矩陣A的左特征向量矩陣,且UV=1。將式(4)代入式(3),變換后的Y系統(tǒng)表達(dá)式為其中,Vi,j是矩陣 V 的第 i行 j列的元素。

    選取非線性變換形式為

    其中,非線性變換矩陣為

    將式(6)代入式(5)并略去四階以上項(xiàng),可得到線性空間的表達(dá)式

    其中,J是由矩陣A的特征值構(gòu)成的對角陣,即J=diag(λ1,…,λn)。

    3 Normal Form理論在暫態(tài)穩(wěn)定中的應(yīng)用[8-9]

    經(jīng)過上面Normal Form變換后的系統(tǒng)持續(xù)故障軌跡在空間的表達(dá)式為

    Z空間中的持續(xù)故障軌跡與穩(wěn)定邊界的交點(diǎn)就是穩(wěn)定邊界上的出口點(diǎn),即為臨界切除點(diǎn)。穩(wěn)定邊界在Z空間映射為z1=0(設(shè)λ1>0),于是,當(dāng)正實(shí)部特征根對應(yīng)的表達(dá)式過零或變號時對應(yīng)的時間就是臨界切除時間。求臨界切除時間的具體步驟如下:

    表1 新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)

    1)計算故障前系統(tǒng)的潮流。

    2)將系統(tǒng)微分方程寫成式(1)的形式,并應(yīng)用結(jié)構(gòu)p步牛頓法求出故障后主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

    3)在主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處將系統(tǒng)方程進(jìn)行泰勒展開,略去四階以上項(xiàng),計算矩陣

    5)求出持續(xù)故障軌線表達(dá)式,并將其經(jīng)過線性變換與非線性變換映射到Z空間,找到正實(shí)部特征根對應(yīng)的軌跡,判斷它何時變號,此時對應(yīng)的時間即為臨界切除時間。

    4 實(shí)例分析

    新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)如圖1所示,對其進(jìn)行仿真驗(yàn)證,線路和發(fā)電機(jī)數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)[10];其發(fā)電機(jī)采用二階經(jīng)典模型,均勻阻尼系數(shù)為λ0=-0.2,負(fù)荷采用恒阻抗負(fù)荷。設(shè)系統(tǒng)在表1中所示發(fā)生三相接地故障,并切除該線路。

    先用結(jié)構(gòu)p步牛頓法求出CUEP,再應(yīng)用Normal Form變換進(jìn)行仿真。分別對靠近機(jī)端的線路及輸電線路中發(fā)生故障兩種情況進(jìn)行分析,并與BCU法[11]和 PEBS 法[12]進(jìn)行比較,結(jié)果如表1、表2 所示。根據(jù)結(jié)果可以看出,當(dāng)靠近機(jī)端線路發(fā)生故障時,利用本文的方法所獲得的臨界切除時間tcr有時產(chǎn)生的誤差會較大,但與BCU和PEBS法相比,還是可以接受的;當(dāng)輸電線路上發(fā)生故障時,利用本文方法所得的tcr與時域仿真法的結(jié)果誤差不大,基本上在10%以內(nèi),滿足工程要求;而基于BCU法和PEBS法所得的結(jié)果產(chǎn)生的誤差有時候較大。因此,對于輸電線路上發(fā)生的故障,應(yīng)用本文方法可以有效估計臨界切除時間。

    圖1 新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

    5 結(jié)論

    本文將結(jié)構(gòu)p步牛頓法與Normal Form變換相結(jié)合對暫態(tài)穩(wěn)定出口點(diǎn)進(jìn)行估計。將求CUEP的問題轉(zhuǎn)化為非線性最小二乘問題避免了建立能量函數(shù),同時采用結(jié)構(gòu)p步牛頓法保證了快速收斂到CUEP;應(yīng)用三階Normal Form變換保證了臨界切除時間計算的快速性和準(zhǔn)確性。通過對新英格蘭10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真,驗(yàn)證了本文方法的有效性。

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