精密衛(wèi)星鐘差內(nèi)插的三種方法及精度分析＊

王 俊，方書山

（1．武漢大學(xué) 資源與環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢430079；2．中國測繪科學(xué)研究院，北京100038；3．四川省國土勘測規(guī)劃研究院，四川 成都610031）

0 引 言

目前IGS網(wǎng)絡(luò)上能下載各個GPS分析中心提供的精密衛(wèi)星鐘差CLK文件，文件里的數(shù)據(jù)內(nèi)容包括各個GPS跟蹤站接收機(jī)鐘差及鐘速和衛(wèi)星鐘差及其鐘速，大部分分析中心都提供有5min、30s甚至5s間隔的精密衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品［1］。在實際應(yīng)用中，如高采樣率的精密單點定位，高速度的航攝飛機(jī)事后差分定位等，IGS網(wǎng)絡(luò)提供的精密衛(wèi)星鐘差文件顯然不能滿足這些要求。為了由目前IGS網(wǎng)絡(luò)提供的鐘差文件得到更高采樣率（1s甚至是0．1s）的鐘差值，需要利用適當(dāng)?shù)牟逯捣椒▉碛嬎恪Ｐl(wèi)星鐘非常敏感，極易受到周圍環(huán)境的影響，在短時間內(nèi)會發(fā)生抖動，但是長期看來卻呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。根據(jù)IGS網(wǎng)絡(luò)資源提供的已知節(jié)點的衛(wèi)星鐘差或鐘差與鐘速，可以以一定精度內(nèi)插出更高分辨率的衛(wèi)星鐘差，滿足導(dǎo)航與定位的要求。

1 精密衛(wèi)星鐘差內(nèi)插方法

IGS提供的鐘差文件的文件名命名規(guī)則為:前三位是分析中心的名稱代碼，中間四位是GPS周，最后一位是 GPS日，后綴的“clk”或者“clk＿30s”表示是鐘差產(chǎn)品文件。如選取IGS精密鐘差星歷文件“igs16176．clk＿30s”為例子，“igs”表示機(jī)構(gòu)名，“1617”表示 GPS周，“6”表示一周的第六天，“clk”表示是鐘差文件，30s為采樣率，單位s），它對應(yīng)的時間為2011年1月8日，采用率30s．如圖1所示。

圖1 5號衛(wèi)星鐘差文件

選中內(nèi)容指的是GPS 5號衛(wèi)星在2011年1月8日0點0分0秒的衛(wèi)星鐘差是－9．534 979 027 717e－05（單位是 s），鐘速是 1．287 027 035 820e－11（單位是秒的平方），中間的標(biāo)識符 “2”指的是鐘差數(shù)據(jù)類型，“2”表示包含鐘差和鐘速，“1”表示僅僅包含鐘差。分析其衛(wèi)星鐘差的變化情況。選其中5號星一整天的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)，事后精密鐘差變化如圖2所示。

從圖2中可以看出，衛(wèi)星鐘差變化值（一天范圍內(nèi)）有一定的變化趨勢。根據(jù)鐘差文件，利用一定的方法進(jìn)行鐘差插值，可得到任意時刻點的鐘差值。

圖2 5號衛(wèi)星一天內(nèi)鐘差變化

精密鐘差插值的常見方法有很多，有線性內(nèi)插法，二次內(nèi)插法，拉格朗日內(nèi)插法等［2－4］。利用這些方法進(jìn)行插值并分析其插值的精度。

1．1 線性插值

選取精密鐘差星歷文件igs16176．clk＿30s（采樣率30s），時間為2011年1月8日，采樣率30s．選其中5號星一整天的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

從圖2中可以看出，衛(wèi)星鐘差變化值（一天范圍內(nèi)）大致呈下降趨勢（有時上升趨勢），并呈線性趨勢分布，變化振幅也不大?？梢岳镁€性內(nèi)插的方法進(jìn)行鐘差估算，內(nèi)插公式為y＝ax＋b［5］．選取igs16176．clk文件（采樣率5min）5號衛(wèi)星，根據(jù)它相鄰5min采樣率間隔的點進(jìn)行線性內(nèi)插，最終得到30s采樣率的數(shù)據(jù)，得到的結(jié)果與igs16176．clk＿30s（采樣率30s）文件中的同樣5號星的結(jié)果作比較。

此時igs16176．clk＿30s文件中5號星在內(nèi)插點的值視為真值。得出內(nèi)插值與真值的差值如圖3所示。

圖3 5號衛(wèi)星24h線性內(nèi)插值與真值的差值

從圖3中可以看出，通過線性內(nèi)插后，24h內(nèi)插值與真值的差異絕大多數(shù)在0．2ns以內(nèi)。

1．2 Lagrange多項式插值

雖然衛(wèi)星鐘差具有不規(guī)律的跳變性，但是在短期內(nèi)鐘差的變化趨勢可以認(rèn)為是近似平滑的，可利用 Lagrange（拉 格 朗 日 ）插 值 模 型 來 內(nèi) 插［3－4，6］。Lagrange（拉格朗日）插值多項式Ln（x）滿足

若n次多項式lj（x）（j＝0，1，…，n）在n＋1個節(jié)點x0＜x1＜…＜xn上滿足條件

稱這n＋1個n 次多項式l0（x），l1（x），…，ln（x）為節(jié)點x0，x1，…，xn上的n 次插值基函數(shù)?？傻玫絥次插值基函數(shù)為

顯然它滿足式（1），滿足式（3）的插值多項式Ln（x）可以表示為

Lagrange（拉格朗日）插值模型簡單，結(jié)構(gòu)緊湊，是經(jīng)典的插值方法。但Lagrange的插值多項式和每一個節(jié)點都有關(guān)，當(dāng)節(jié)點個數(shù)改變時，需要重新計算，且當(dāng)增大插值階數(shù)時容易出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。根據(jù)試驗，采用8階的Lagrange插值，不僅計算量少，而且精度也足夠高。具體例子為:選取igs16176．clk文件（采樣率5min）中一次40min區(qū)間的5號衛(wèi)星（試驗中鐘差文件選取對應(yīng)時間為2011年1月8日，跨度為0點0分0s至0點40分0s共40min），根據(jù)5min采樣率取得9個節(jié)點x0，x1，…，x8，以及對應(yīng)9個節(jié)點的鐘差值y0，y1，…，y8，可以得到如表格1所示的結(jié)果。

表1 Lagrange插值節(jié)點數(shù)據(jù)表

根據(jù)公式

通過上式內(nèi)插30s采樣率的數(shù)值。算出的結(jié)果與igs16176．clk＿30s文件中5號星在對應(yīng)的點（當(dāng)作真值）作差，差的大小如圖4所示。

圖4 5號衛(wèi)星拉格朗日8階內(nèi)插值與真值的差值

從圖4中可以看出，通過8階lagrange內(nèi)插后，非邊緣部分，40min的內(nèi)插值與真值的差異少于0．2ns．插值區(qū)間邊緣部分，精度不太好，避免此缺點的方法可以采用滑動區(qū)間進(jìn)行插值，始終取區(qū)間中間部分值。

1．3 埃爾米特插值

根據(jù)精密星歷或者鐘差文件的格式，可以看到描述鐘差（不管是接收機(jī)還是衛(wèi)星鐘）的形式為:時刻、鐘差、鐘速。在數(shù)學(xué)上可以定義為節(jié)點x上的函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)f′（x），這種情況的數(shù)值分析可以歸結(jié)為埃爾米特插值［7］。

對于給定的函數(shù)表，如表2所示。

表2 埃爾米特插值形式表

其中xi∈ ［a，b］，且xi互異，尋求一個2n＋1次多項式為使H2n＋1（）x滿足插值條件:

其幾何意義是曲線y＝H2n＋1（x）與曲線y＝f（x）不但在xi處重合，而且在xi處有公切線。為求得H2n＋1（）x多項式，構(gòu)造兩組2n＋1次多項式，使αj（x）與βj（x），i＝0，1，…，n，滿足條件:

作為重要的特例，當(dāng)n＝1時，可以得到滿足插值條件 H3（x0）＝y(tǒng)0、H3（x1）＝y(tǒng)1、H′3（x0）＝m0、H′3（x1）＝m1的兩點三次埃爾米特插值多項式:

相應(yīng)的余項為

對于精密衛(wèi)星鐘差而言，可以采用分段兩點三次埃爾米特插值來對原始的5min采樣率數(shù)據(jù)進(jìn)行30s的插值。得到30s采樣率的精密鐘差。具體過程為:

選取igs16176．clk文件（采樣率5min）中40 min區(qū)間的5號衛(wèi)星（試驗中鐘差文件選取對應(yīng)時間為2011年1月8日，跨度為0點0分0秒至0點40分0秒共40min），根據(jù)5min采樣率取得對于9個節(jié)點x0，x1，…，x9，以及對應(yīng)9個節(jié)點的鐘差值y0，y1，…，y9，鐘速值m0，m1，…，m9，可以得到如表3所示的結(jié)果。

根據(jù)表3，每5min區(qū)間分成一組，共8組。利用公式（10）內(nèi)插30s采樣率的數(shù)值。算出的結(jié)果與igs16176．clk＿30s文件中5號星在對應(yīng)的點（當(dāng)作真值）作差，差的大小如圖5所示。

試驗例子結(jié)果顯示，30s的內(nèi)插鐘差在與igs16176．clk＿30s文件中5號星在對應(yīng)的點衛(wèi)星鐘差的差值均小于0．2ns．

表3 兩點三次埃爾米特內(nèi)插數(shù)據(jù)表

圖5 5號衛(wèi)星兩點三次埃爾米特插值與真值的差值

2 結(jié) 論

高分辨率的衛(wèi)星鐘差可以通過所介紹的一次插值、拉格朗日插值、埃爾米特二次插值三種插值方法來實現(xiàn)。使用IGS網(wǎng)絡(luò)資源的5min采樣率的衛(wèi)星鐘差CLK文件，利用介紹的三種方法對其分別進(jìn)行插值，都可以得到取值區(qū)間內(nèi)30s或更高的采樣率的衛(wèi)星鐘差。由于埃爾米特插值顧及到了鐘速，其插值的精度要比一次插值與拉格朗日插值都高。從插值精度而言，三種插值方法的精度優(yōu)于0．2ns，能夠滿足一般導(dǎo)航與定位的要求。

［1］ KAUBA I．A guide to using intern－ational GPS service（IGS）products［R］．IGS Central Bureau，IGS，Pasadena，2009．

［2］ 孫志忠，袁慰平，聞?wù)鸪酰當(dāng)?shù)值分析［M］．南京:東南大學(xué)出版社，2006．

［3］ KRESS R．Numerical analysis［M］．New York:Springer－Verlag，1998．

［4］ 王沫然．MATLAB與科學(xué)計算 ［M］．北京:電子工業(yè)出版社，2006．

［5］ 李明峰，江國焰，張 凱．IGS精密星歷內(nèi)插與擬合法精度的比較［J］．大地測量與地球動力學(xué)，2008，28（2）:76－80．

［6］ 洪 櫻，歐吉坤，彭碧波．GPS衛(wèi)星精密星歷和鐘差三種內(nèi)插方法的比較［J］．武漢大學(xué)學(xué)報·信息科學(xué)版，2006，31（6）:516－519．

［7］ DING Yu，CHEN Yangquan．Advanced applied mathematical problem solutions with MATLAB［M］．New York:Springer－Verlag，2008．