灰色模型在非等步長變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用＊

栗衍香，韓曉冬，李 雷

（1．濱州市規(guī)劃局，山東 濱州256600；2．山東科技大學測繪科學與工程學院，山東 青島266590）

0 引 言

隨著工程技術(shù)的發(fā)展和城市建設(shè)用地的日益稀缺，城市建設(shè)中高層建筑物不斷興起。施工期間，建筑物隨時間推移、荷載增加，必定引起垂直方向的位移沉降，為確保各項施工安全，必須做好高層建筑物的變形監(jiān)測工作。盡管變形體的行為是動態(tài)變化的，但可以利用專業(yè)儀器和方法對變形過程進行持續(xù)周期性的觀測，獲取變形體的各靜態(tài)時刻數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)分析，達到對監(jiān)測對象的形變發(fā)展態(tài)勢進行精準預(yù)測的目的。

目前可應(yīng)用于變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理的方法比較多，主要有基于大樣本數(shù)據(jù)回歸分析的統(tǒng)計方法、頻譜分析方法、Kalman濾波法及灰色模型預(yù)測等幾何或物理的方法。其中，通過將灰色模型理論應(yīng)用于變形監(jiān)測，通過極少量的不斷更新的原始數(shù)據(jù)列進行建模分析，實現(xiàn)建筑物變形短期有效預(yù)測，可以較好處理建筑物變形的多因素不確定性與數(shù)據(jù)貧信息之間的矛盾。但傳統(tǒng)灰色模型的建立是以等時間間隔（等步長）原始數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的，而實際監(jiān)測過程中，因受天氣變化、施工進展等諸多因素影響，并不能保證原始數(shù)據(jù)的嚴格等步長性，限制了灰色模型的適用范圍，通過將時間加權(quán)量引入到傳統(tǒng)灰色模型中，打破數(shù)列累加處理時對等步長的限制，同時也簡化因前期數(shù)據(jù)等距插值預(yù)處理所產(chǎn)生的計算流程，取得良好的預(yù)測效果。

1 灰色模型

灰色模型預(yù)測，即用觀測到的、能反映預(yù)測對象特征的原始序列來構(gòu)造動態(tài)模型，通過對有限序列的關(guān)聯(lián)分析，尋求內(nèi)部諸多因素間的關(guān)系，預(yù)測將來某時刻的特征量或達到某一特征量所需時間的方法［1］。目前灰色系統(tǒng)模型被廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)產(chǎn)量預(yù)測、年降水量變化趨勢預(yù)測等方面，著重分析灰色模型應(yīng)用于變形監(jiān)測數(shù)據(jù)分析及沉降預(yù)報。

GM（m，n）灰色模型是以灰色模型概念為基礎(chǔ)，以微分擬合法為核心的建模方法。模型參數(shù)中:m為模型微分方程的階數(shù)，n為參與建模的序列個數(shù)；為方便計算通常采用GM（1，1）作為預(yù)測模型，以等時間序列作為模型參數(shù)，建立一元一階灰色模型。

1．1 等步長GM（1，1）模型

采用等時間沉降觀測值作為原始序列

通過各原始序列觀測值逐項累加，對（1）式進行一次AGO生成，得到灰量累積過程中的變化趨勢，顯化離散數(shù)列的積分特性，使灰色過程逐漸由灰變白，從而得到生成數(shù)列:

由式（2）建立一元一階線性微分方程，即灰色模型的白化方程［2］:

式中:a為控制系統(tǒng)預(yù)測模型適用范圍的發(fā)展系數(shù)；u為反應(yīng)資料變化關(guān)系的灰色作用量。由最小二乘法求取a和u的常值估計量

B和y按照下式求取

按照最小二乘求出＾U＝［a u］T后，初值x（1）（1）＝x（0）（1），將a，u帶入式（3）解微分方程，得到累加生成列的時間響應(yīng)方程:

最后，通過按照建立時間響應(yīng)方程，先求取累加生成序列的預(yù)測值后，再進行累減得到原始序列的預(yù)測值

1．2 基于時間權(quán)重的非等步長GM（1，1）模型

在沉降數(shù)據(jù)預(yù)測的實際應(yīng)用中，考慮到數(shù)據(jù)采集的非嚴格等步長性，為擴大灰色GM（1，1）模型的應(yīng)用范圍，可以通過采用等步長數(shù)據(jù)內(nèi)插預(yù)處理或時間差加權(quán)的方法，對1－AGO累加之前的原始序列進行預(yù)處理，建立改進的GM（1，1）模型，對沉降數(shù)據(jù)進行分析預(yù)測［3］。

以相鄰觀測時間段為權(quán)，進行時間差加權(quán)1－AGO處理得到累加列生成列為

利用時間權(quán)重非等步長GM（1，1）模型得到累加生成列擬合值的時間響應(yīng)方程為

將加權(quán)累加生成列的預(yù)測值序列，累減還原為原始數(shù)列的預(yù)測值:

由以上兩式，可得基于時間權(quán)重的非等步長GM（1，1）模型預(yù)測方程:

2 預(yù)測模型評價

要對建立的GM（1，1）模型做出合理評價，必須采取殘差大小檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗或后驗方差檢驗等方法對模型的可靠度和精度進行檢驗［4］。采用殘差統(tǒng)計特征進行后驗方差檢驗，以各結(jié)點的預(yù)測值或擬合值殘差為基礎(chǔ)，求取檢驗后方差比c和小誤差概率值p，進而評定預(yù)測模型的精度，所涉及的計算公式如下:

模型殘差值

殘差序列的方差值

原始序列方差值

后驗方差比值c＝S1／S2

小誤差概率p＝p｛｜e（tk）－ˉe｜＜0．6745S1｝

后驗方差比值c越小，模型越好，小誤差概率值p越大，則精度越高，如表1所示。

表1 GM（1，1）模型精度等級評定表［5］

普遍情況下，一級預(yù)測模型精度良好、結(jié)果可靠，如果按照原始數(shù)列建立的GM（1，1）模型精度不理想，可以采用殘差修正的GM（1，1）模型對預(yù)測結(jié)果進行改良修正，以提高模型的預(yù)測精度。

3 非等步長GM（1，1）模型實例分析

3．1 工程概況

以濱州市某樓體沉降觀測為例，運用基于時間觀測權(quán)重的非等步長GM（1，1）模型采集的觀測數(shù)據(jù)進行建模分析。該監(jiān)測對象為主體8層、裙樓2層，平板式筏形基礎(chǔ)、框架結(jié)構(gòu)，共布設(shè)19個沉降監(jiān)測點，自1月24日至12月9日采用Dini 03電子水準儀進行了13次沉降觀測，以其中C4點為例，對施工期間的8次進行沉降分析，其中以1～6期數(shù)據(jù)為原始序列進行非等步長GM（1，1）模型建模擬合，并進行殘差精度檢驗，以7～8期數(shù)據(jù)作為模型預(yù)測檢驗。

3．2 非等步長灰色模型預(yù)測

前6期數(shù)據(jù)的非等步長GM（1，1）模型建立步驟如下:

步長dett＝｛1 6 11 13 19 19｝，對原始序列進行時間加權(quán)后累加的生成序列為

由預(yù)測模型可計算出各結(jié)點時刻對應(yīng)的沉降預(yù)測量，統(tǒng)計如表2所示。

表2 非等步長GM（1，1）模型預(yù)測值與實際沉降量統(tǒng)計表

對非等步長灰色模型采用后驗方差評定其精度，殘差序列標準差σq＝S1＝1．083 7，原始序列標準差σq＝S2＝4．304 1，求得后驗方差比值為:c＝S1／S2＝0．251 8；由p＝p｛｜e（tk）－ˉe｜＜0．674 5 S1｝，求得小誤差概率p＝1，表2為其殘差及相對誤差統(tǒng)計表，圖1為預(yù)測模型曲線與觀測曲線對比圖。

采用非等步長時間序列求解建模參數(shù)，建立的非等步長灰色GM（1，1）模型，對施工期沉降量進行了科學預(yù)測，后驗方差值c＝0．251 8＜0．35，小誤差概率p＝1＞0．95，達到一級預(yù)測精度標準，結(jié)合圖1和表2可以判斷預(yù)測成果良好，可以采用類似方法進行中短期的沉降數(shù)據(jù)預(yù)測分析。

圖1 非等步長GM（1，1）模型預(yù)測曲線與觀測曲線對比

4 建模結(jié)果分析及結(jié)論

針對建筑物變形監(jiān)測工作的時效性、復(fù)雜性和不確定性，必須對已有沉降觀測資料及時分析做出科學預(yù)報，非等步長GM（1，1）灰色模型為此提供了便捷實用的方法，通過分析總結(jié)，可得出以下幾點結(jié)論:

1）灰色系統(tǒng)模型可以建立在少量已知信息的基礎(chǔ)上，適用于解決貧信息問題，克服了回歸模型中因數(shù)據(jù)量過少所造成的預(yù)測失真、計算量繁雜等問題。如利用施工期間的6組非等步長數(shù)據(jù)，成功預(yù)測了第7、8期數(shù)據(jù)，采用非等時間間隔作為權(quán)重，疊加到累加生成列中，不但提高了模型預(yù)測的精度，擴大了灰色預(yù)測模型的應(yīng)用范圍，而且相對于采用原始數(shù)據(jù)等步長內(nèi)插后再應(yīng)用灰色模型的方法，簡化了計算步驟，減輕了工作量，具有較好的可靠性和可行性。

2）建筑物沉降受內(nèi)外多方面因素影響，相互關(guān)系也是灰色的，灰色模型的建立過程即是將各種關(guān)系由“灰”變“白”的過程，但在建筑物沉降預(yù)測建模之中，盡管灰色模型可以用貧數(shù)據(jù)進行建模預(yù)測，但為保證預(yù)測精度，必須一方面保證貧數(shù)據(jù)的原始精度，從測量工作中減小樣本誤差，另一方面及時補充實測的新數(shù)據(jù)建立新的動態(tài)GM（1，1）預(yù)測模型，否則難以達到中期預(yù)測的精度要求。

3）灰色模型適用于光滑性較好的情況，為提高灰色模型的預(yù)測精度，可通過改進或優(yōu)化建模的方法來實現(xiàn)。比如使用殘差修正的GM（1，1）模型，對原始數(shù)據(jù)與GM（1，1）模型預(yù)測值的殘差做一次修正；或采用灰色與線性組合模型，既增強了弱化數(shù)據(jù)的隨機性，又能提高預(yù)測精度。

［1］ 鄧聚龍．灰色預(yù)測與決策［M］．武漢:華中科技大學出版社，2002．

［2］ 秦 勤，程華龍，程友明．高速公路路基沉降預(yù)測研究［J］．工程與建設(shè)，2007，21（2）:201－204．

［3］ 王作雷，蔡國梁．非等間距序列建模過程中存在的問題及改進［J］．大學數(shù)學，2003，19（2）:46－50．

［4］ 陳偉清．灰色預(yù)測在建筑物沉降變形分析中的應(yīng)用［J］．測繪科學，2005，30（5）:43－45．

［5］ 張健雄，蔣金豹，張建霞．高層建筑沉降監(jiān)測與灰色預(yù)測［J］．測繪科學，2007，32（4）:56－59．