基于AR模型的GPS精密衛(wèi)星鐘差建模與預(yù)報＊

李長會，劉 寧，李 森，閆國鋒

（61365部隊，天津300140）

0 引 言

GPS單點定位的精度受到許多誤差的影響，如衛(wèi)星軌道誤差、衛(wèi)星鐘差、大氣層延遲、接收機鐘差及多路徑效應(yīng)［1］。在各類誤差中，衛(wèi)星鐘差是影響定位精度的重要因素［2，3］，目前，IGS的幾個數(shù)據(jù)分析中心（GFZ，JPL等）可以提供GPS衛(wèi)星的精密鐘差，但是，這些鐘差都是后處理結(jié)果。依據(jù)IGS的產(chǎn)品報告［4］，IGS提供的衛(wèi)星鐘差的精度優(yōu)于0．1ns，這種精度的衛(wèi)星鐘差，完全能夠滿足厘米級精度的定位要求，但是這類產(chǎn)品要13天后才能獲取，不能滿足實時單點定位的需求，而實時發(fā)布的廣播鐘差精度較低，不能滿足實際應(yīng)用的需要，因此，對精密鐘差的預(yù)報進行研究很有必要。

最常用的衛(wèi)星鐘差預(yù)報模型有兩種［5－7］:二次項模型和灰色模型。其中，二次項模型比較適合短周期預(yù)報，灰色模型比較適合長周期預(yù)報。兩種方法雖然分別在長周期或短周期的預(yù)報中能取得良好的效果，但都僅僅是在研究了鐘差的趨勢項上建立的函數(shù)模型，并沒有考慮鐘差的隨機模型。利用AR模型對提取鐘差趨勢項后的隨機項進行建模，即在原有的鐘差模型上加上隨機補償，從而使原有模型更加完善，計算了基于隨機項建模的GPS精密衛(wèi)星鐘差預(yù)報的精度。

1 鐘差預(yù)報模型

通常情況下，鐘差是具有緩慢上升或下降趨勢的數(shù)據(jù)，在短周期預(yù)測中，二次項擬合對于短期預(yù)測有先天的優(yōu)勢，其模型簡單明了，易于編程實現(xiàn)。而對于鐘差的長周期預(yù)測，由于星載原子鐘對外界環(huán)境因素較為敏感，從而很難長期掌握并預(yù)測其復(fù)雜細致的變化規(guī)律，如果考慮將鐘差的變化過程看作一個灰色系統(tǒng)，并用灰色模型［6］來進行預(yù)測，可以取得較好的結(jié)果，近些年來常用這種方法。

1．1 二次多項式擬合模型

二次多項式擬合模型就是將冪函數(shù)作為擬合函數(shù)，對時間間隔相等的衛(wèi)星鐘差時間序列數(shù)據(jù)進行擬合，并估計出參數(shù)a0，a1，a2

式中:T為衛(wèi)星鐘差；t為系統(tǒng)時間；a0、a1和a2分別為t0時刻原子鐘相對于系統(tǒng)時間t的鐘差、鐘速和鐘漂。

設(shè)衛(wèi)星鐘差為xi，觀測誤差為vi，則根據(jù)式（1）建立誤差方程

采用 最 小 二 乘 參 數(shù) 估 計，設(shè)＾a0、＾a1、＾a2為 衛(wèi) 星 參 數(shù)a0、a1、a2的最小二乘估值，記

由最小二乘法原理可得估計值為

可得到二次項擬合模型為

用上述模型可以進行鐘差的短周期預(yù)測。

1．2 灰色模型

灰色模型是指部分信息已知、部分信息未知的系統(tǒng)，已知的信息稱為白色，未知的信息稱為黑色。用灰色模型做鐘差預(yù)測時，通過對原始數(shù)據(jù)實行累加或累減使之成為具有較強規(guī)律的新數(shù)列，對此生成數(shù)列進行建模。由于星載原子鐘對外界的干擾相當(dāng)敏感，很難了解其內(nèi)在的變化規(guī)律，因此，可以把鐘差的變化過程看作是灰色系統(tǒng)。用灰色模型進行鐘差預(yù)測，就是用指數(shù)函數(shù)來對時間間隔相等的鐘差時間序列進行擬合，并通過對原始鐘差數(shù)據(jù)實行累加或累減使之成為具有較強規(guī)律的新數(shù)列，對此生成數(shù)列進行建模。其具體過程為

設(shè) X（0）＝ ｛X（0）（i），i＝1，2，…，n｝為原始鐘差數(shù)據(jù)列，對X（0）進行一次累加生成一次累加序列

式（5）為 GM（1，1）模型，其解為

則預(yù)測值

式中:k為時間序列；a稱為發(fā)展灰數(shù)；u稱為控制灰數(shù)。

記參數(shù) 序 列 為＾a，＾a ＝ ［a，u］T，A 為 數(shù) 據(jù) 陣，L為數(shù)據(jù)列。

根據(jù)最小二乘法原理，＾a可用下式求解

在估計出參數(shù)以后，可以用以上的灰色模型進行鐘差預(yù)測。

2 提取趨勢項后的隨機項建模

在鐘差模型建立之后，可以將上述模型看作是鐘差模型的趨勢項，在提取趨勢項后，剩余的部分就是隨機項。如果把隨機項看作是平穩(wěn)序列，由于鐘差的時間相關(guān)性，可以對其隨機項用AR模型來進行建模。

2．1 隨機項模型的定階

通過AR模型對隨機項進行建模，必須進行模型的定階。設(shè)｛Yi｝是鐘差預(yù)測模型的隨機項，采用AIC準(zhǔn)則來進行定階。雖然AIC準(zhǔn)則通常會對階數(shù)略有高估，但在預(yù)測問題中有利于多用數(shù)據(jù)，所以在實際計算中，AIC準(zhǔn)則得到較為廣泛應(yīng)用。

AIC定階準(zhǔn)則:假定階數(shù)p的上界為P0，當(dāng)AR模型的階數(shù)為k時，可以計算出相應(yīng)模型的白噪聲方差估計＾σ2k，引入AIC函數(shù)

AIC（k）的最小值點＾p稱為AR模型的AIC定階。

在階數(shù)p＝＾p確定以后，對于AR（＾p）模型即

式中t≥0，εt為高斯白噪聲。

2．2 隨機項模型的參數(shù)估計

在定階完成后，需要對模型進行參數(shù)估計，對AR模型進行Yule Walker估計。Yule Walker估計不但具有計算簡便的優(yōu)點，而且這種估計方法是強相合估計。

用樣 本 ｛x1，x2，…，xN｝去 估 計 參 數(shù) （＾a1，＾a2，…，＾ap）T和＾σ2．樣本的Yule Walker方程如下

以及

在實際計算中，對鐘差的隨機項數(shù)據(jù)｛x1，x2，…，xN｝做零值化處理:

可構(gòu)建樣本的自協(xié)方差矩陣估計為

由上述公式可以得到AR模型的參數(shù)估計（＾a1，＾a2，…，＾ap）T，至此，鐘差預(yù) 測的隨 機項模 型已經(jīng)建立，可以把它當(dāng)成隨機改正加入到傳統(tǒng)的鐘差預(yù)測函數(shù)模型，以提高預(yù)測精度。

3 算例分析

為了驗證所建模型的正確性和有效性，現(xiàn)用實例加以分析。采用從IGS官方網(wǎng)站上下載的鐘差產(chǎn)品（igs＊＊＊＊．clk＿30s文件），從中選取9顆衛(wèi)星數(shù)據(jù)進行分析。按照預(yù)測周期的長短，以及采用方法的不同，設(shè)計以下四種方案進行鐘差預(yù)報。

1）在短周期預(yù)報中，通過二次多項式擬合的方法，用前一天鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報后一天的鐘差；

2）在短周期預(yù)報中，通過基于隨機項建模的二次多項式擬合方法，用前一天鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報后一天的鐘差；

3）在長周期預(yù)報中，通過灰色模型預(yù)測方法，用前一天鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報后七天的鐘差；

4）在長周期預(yù)報中，通過基于隨機項建模的灰色模型預(yù)測方法，用前一天鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報后七天的鐘差。

通過以上四種方案進行鐘差預(yù)報，選取PRN編號為20的衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果進行繪圖分析，結(jié)果如圖1～圖4所示。

為驗證模型的普適性，對9顆衛(wèi)星的鐘差做了上述四種方案的預(yù)報，用RMS描述其精度，并對所有9顆衛(wèi)星進行計算統(tǒng)計，分別用表1和圖5表示。

由計算結(jié)果可以看出:

1）比較圖1與圖2、圖3與圖4可以看出，在鐘差短周期預(yù)報中，方案2的精度較方案1有所提高，即用二次項擬合提取趨勢項后，再用時間序列分析法對隨機項進行補償可得到比較合適的模型。在鐘差的長周期預(yù)報中，方案4的精度較方案3也有提高，用灰色模型提取趨勢項后，再用時間序列分析法對隨機項進行補償可建立較好的預(yù)測模型。

表1 幾種方案RMS誤差比較

2）由圖5與表1可以看出，不同的衛(wèi)星鐘，用同樣的鐘差預(yù)測方法得到的精度有非常明顯的差異。由圖5知，第3顆與第9顆衛(wèi)星比其他6顆衛(wèi)星的精度低很多，主要是由于第3顆與第9顆衛(wèi)星上搭載的是銫鐘，而其他6顆衛(wèi)星上搭載的是銣鐘。

3）短周期鐘差預(yù)報的精度（方案1，方案2）要高于長周期預(yù)報的精度（方案3，方案4）。無論是鐘差的短周期預(yù)報還是長周期預(yù)報，在隨機項建模之后，加入隨機補償，都可有效提高鐘差預(yù)報的精度。

4 結(jié) 論

在鐘差的短周期預(yù)報和長周期預(yù)報中，通過二次項擬合或灰色模型建立鐘差的趨勢項模型，再對其隨機項利用ARMA模型進行建模，這種方法同時考慮了鐘差時間序列趨勢項和隨機項，可有效提高鐘差預(yù)報的精度，并使原有模型更加完善。

［1］ 韓保民．精密衛(wèi)星鐘差加密方法及其對星載GPS低軌衛(wèi)星定軌精度影響［J］．武漢大學(xué)學(xué)報，2006，31（12）:1075－1077．

［2］ XU Guochang．GPS theory，algorithms and applications［M］．Germany:Springer，2007:76－77．

［3］ 劉基余．GPS衛(wèi)星導(dǎo)航定位原理與方法［M］．科學(xué)出版社，2003:375－379．

［4］ SENIOR K．Report of the IGS clock products working group［C］／／16th Meeting of the CCTF，1April 2004，BIPM．

［5］ 崔先強，焦文海．灰色系統(tǒng)模型在鐘差預(yù)報中的應(yīng)用［J］．武漢大學(xué)學(xué)報，2005（5）:447－450．

［6］ 鄭作亞，陳永奇，盧秀山．灰色模型修正及其在實時GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報中的應(yīng)用研究［J］．天文學(xué)報，2008，49（3）:307－319 ．