關(guān)于丟番圖方程x(x+1)(x+2)=2pyn

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等專科學(xué)校數(shù)理信息學(xué)院，江蘇泰州225300)

1 引言及主要結(jié)論

1875年，數(shù)學(xué)家 Lucas［1］問:方程:

是否僅有正整數(shù)解(x，y)=(1，1)，(24，70).這一問題，直到1971 年，才由 Ljunggren［2］利用四次域理論給出了肯定的回答.1981年，Watson［3］利用橢圓函數(shù)的性質(zhì)給出了全新的證明.1985年，馬德剛［4］又給出了一個(gè)期待已久的初等證明.然而問題并未因此而結(jié)束.注意到方程(1)能改寫成2x(2x+1)(2x+2)=6(2y)2，因而可得方程:

在2∣x 時(shí)的全部正整數(shù)解為(x，y)=(2，2)，(48，140).1996 年，曹珍富［5］證明了方程:

本文對(duì)更一般的方程:

的解進(jìn)行了研究，得到以下結(jié)論.

定理1 若p是奇素?cái)?shù)，n是大于2的整數(shù)，則方程(4)僅有正整數(shù)解(p，x，y)=(3，1，1).

定理2 若 p 是奇素?cái)?shù)，n=2，則方程(4)在 p?1(mod 8)時(shí)僅有正整數(shù)解(p，x，y)=(3，1，1)，(3，2，2)，(3，48，140)，(11，98，210);在 p≡1(mod 8)時(shí)的正整數(shù)解為(p，xn，yn)=(p，16t2n，4untnsn)，這里 p，un，tn，sn滿足 sn+2=6sn+1－sn，s1=3，s2=17，tn+2=6tn+1－tn，t1=1，t2=6 及 pu2n=16t2n+1.

推論1 若 p是奇素?cái)?shù)，n=2，則方程(4)在 p≡1(mod 8)，x＜2.58×1059時(shí)僅有正整數(shù)解(p，x，y)=(17，16，12)，(577，576，408)，(665857，665856，470862).

2 若干引理

引理1 設(shè)n是大于1的整數(shù)，則方程X2－1=Yn僅有正整數(shù)解(X，Y，n)=(3，2，3).

證明 可參見文獻(xiàn)［6］.

引理2 方程X2－2Y4=1沒有正整數(shù)解(X，Y).

證明 可參見文獻(xiàn)［7］.

引理3 設(shè)q是奇素?cái)?shù)，m是正整數(shù)，則方程:

的整數(shù)解(X，Y，Z，m)滿足 m≡1(mod q).

證明 可參見文獻(xiàn)［8］.

引理4 當(dāng)m=1時(shí)，方程(5)僅有適合Y=Z的整數(shù)解(X，Y，Z).

證明 可參見文獻(xiàn)［9］.

引理5 設(shè)q是奇素?cái)?shù)，n是正整數(shù)，則方程:

僅有正整數(shù)解(X，Y，n)=(1，1，1).

證明 設(shè)(X0，Y0，n0)是方程(6)的一組正整數(shù)解.此時(shí):

是方程(5)的整數(shù)解.根據(jù)引理3，n0≡1(mod q).令n0=kq+1(k是非負(fù)整數(shù))，則方程(5)有整數(shù)解(X，Y，Z，m)=(2kX0，－Y0，?1，1)適合 m=1.再根據(jù)引理4，Y0=1.于是方程(6)僅有正整數(shù)解(X，Y，n)=(1，1，1).

引理6 方程X4－2Y4=1沒有正整數(shù)解(X，Y).

證明 可參見文獻(xiàn)［7］.

引理7 設(shè)n是大于2的整數(shù)，則方程X2－2Yn=1沒有正整數(shù)解(X，Y).

證明 由于大于2的整數(shù)，不是4的倍數(shù)，就是奇素?cái)?shù)q的倍數(shù)，因此只需考慮n=4或q的情形.

n=4時(shí)，由引理2知，結(jié)論成立.

n=q時(shí)，原方程可化為:

又 gcd(X+1，X－1)=2，故存在正整數(shù) a，b使得:

此時(shí)有 aq－2q－1bq=1.由引理 5 知，結(jié)論成立.

同樣根據(jù)引理5和引理6，可證下面的引理8和引理9.

引理8 設(shè)n是大于2的整數(shù)，則方程Xn－2Yn=1沒有正整數(shù)解(X，Y).

引理9 設(shè)n是大于2的整數(shù)，則方程Xn－2Yn=－1僅有正整數(shù)解(X，Y)=(1，1).

引理10 (Fermat大定理) 設(shè)n是大于2的整數(shù)，則方程Xn+Yn=Zn沒有正整數(shù)解(X，Y，Z).

引理11 p為奇素?cái)?shù)，則丟番圖方程x(x+1)(2x+1)=2py2在p?1(mod 8)時(shí)僅有正整數(shù)解(p，x，y)=(3，1，1)，(3，24，70)，(11，49，105);在 p≡1(mod 8)時(shí)的正整數(shù)解為(p，xn，yn)=(p，8t2n，2untnsn)，這里 p，un，tn，sn滿足 sn+2=6sn+1－sn，s1=3，s2=17，tn+2=6tn+1－tn，t1=1，t2=6 及 pu2n=16t2n+1.

證明 可參見文獻(xiàn)［10－12］.

3 定理1的證明

設(shè)方程(4)有正整數(shù)解(x，y，z).因?yàn)?gcd(x+1，x(x+2))=1，故存在正整數(shù) a，b，使得:

或:

或:

或:

若式(7)成立，則有(2pan)2－1=bn，根據(jù)引理1，該種情形方程(4)沒有正整數(shù)解.

若式(8)成立，則有(pan)2－1=2bn，根據(jù)引理7，該種情形方程(4)沒有正整數(shù)解.

若式(9)成立，則由gcd(x，x+2)=2及式(9)的第二式得:

或:

或:

或:

這里 c，d 是滿足 gcd(c，d)=1，2cd=b 的正整數(shù).

將式(9)的第一式代入式(11)的第二式，得:an+1=(2d)n，由引理10知，在該情況下方程(4)沒有正整數(shù)解.

將(12)的第一式代入式(9)的第一式，得:an=2cn+1，由引理8知，該情況下方程(4)沒有正整數(shù)解.

將(13)的第一式代入式(9)的第一式，得:(2c)n+1=an，由引理10知，該情況下方程(4)沒有正整數(shù)解.

將式(9)的第一式代入式(14)的第二式，得:an+1=2dn，由引理9知，a=d=1，此時(shí)x=0，故該情況下方程(4)沒有正整數(shù)解.

若式(10)成立，則由gcd(x，x+2)=1及式(10)的第二式得:

或:

這里 c，d 是滿足 gcd(c，d)=1，cd=b 的正整數(shù).

將式(10)的第一式代入式(15)的第二式，得:2an+1=dn，由引理8知，該情況下方程(4)沒有正整數(shù)解.

將式(16)的第一式代入式(10)的第一式，得:cn+1=2an，由引理 9 知，c=a=1，此時(shí) x=1，p=3，d=1，b=1，y=1，故方程(4)僅有正整數(shù)解(p，x，y)=(3，1，1).定理1 得證.

由引理11立得定理2.最后證明定理2的推論.

由 t1=1，得:pu21=17 是素?cái)?shù)，故 p=17，u1=1，此時(shí)方程(4)有正整數(shù)解(p，x，y)=(17，16，12).

由 t2=6，得:pu21=577 是素?cái)?shù)，故 p=577，u2=1，此時(shí)方程(4)有正整數(shù)解(p，x，y)=(577，576，408).

由 t3=35，得:pu23=19601=17·1153，無(wú)解.

由 t4=204，得:pu24=665857 是素?cái)?shù)，故 p=665857，u4=1，此時(shí)方程(4)有正整數(shù)解(p，x，y)=(665857，665856，470862).

由 t5=1189，得:pu25=22619537=17·241·5521，無(wú)解.

由 t6=6930，得:pu26=768398401=97·577·13729，無(wú)解.

由 t7=40391，得:pu27=26102926097=17·1535466241，無(wú)解.

由 t8=235416，得:pu28=886731088897=257·1409·2448769，無(wú)解.

由 t9=1372105，得:pu29=30122754096401=17·1009·1153·1523089，無(wú)解.

由 t10=7997214，得:pu210=1023286908188737=577·188801·9393281，無(wú)解.

由 t11=46611179，得:pu211=34761632124320657=17·2113·967724510017，無(wú)解.

由 t12=271669860，得:pu212=1180872205318713601=193·665857·9188923201，無(wú)解.

由 t13=1583407981，得:pu213=40114893348711941777=17·2359699608747761281，無(wú)解.

由 t14=9228778026，得:pu214=1362725501650887306817=577·209441·11276410240481，無(wú)解.

由 t15=53789260175，得:pu215=46292552162781456490001=17·241·1153·5521·1774998973441，無(wú)解.

由 t16=313506783024，得:pu216=1572584048032918633353217=11777·2393857·55780318173953，無(wú)解.

由 t17=1827251437969，得:pu217=53421565080956452077519377=172·25841·7153349567063158273，無(wú)解.

由 t18=10650001844790，得:pu218=1814760628704486452002305601=97·577·13729·63073·1255393·29827009，無(wú)解.

由 t19=62072759630771，得:pu219=61648439810871582916000871057=17·1217·2979768950208883122238913，無(wú)解.

由 t20=361786555939836，得:pu220=2094232192940929332692027310337=665857·3145168096064063804528641，無(wú)解.

由 t21=2108646576008245，得:pu22171142246120180725728612927680401=17·1153·37633·1535466241·62811654210817，無(wú)解.

由 t22=12290092900109634，得:pu222=2416742135893203745440147513823297=577·129835460129·32259763523421219809，無(wú)解.

由 t23=71631910824649559，得:pu223=82098090374248746619236402542311697=17·26497·284833·4534129·141124771638127729，無(wú)解.

由 t24=417501372047787720，得:pu224=2788918330588564181308597538924774401=257·1409·3457·2448769·909796961546380464769，無(wú)解.

由 t25=2433376321462076761，得:pu225=94741125149636933417873079920900017937=17·241·401·1601·5521·21532801·302983233178148401，無(wú)解.

由 t26=14182756556724672846，得:pu226=3218409336757067172026376119771675835457=577·48075457·116022453467595485290817992513，無(wú)解.

由 t27=82663163018885960315，得:pu227=109331176324590646915478914992316078387601=17·433·1009·1153·2161·644977·1523089·22703761·264889441，無(wú)解.

由 t28=481796221556591089044，得:pu228=3714041585699324927954256733618974989342977=449·665857·11988929·1036189204218496590689562241，無(wú)解.

由 t29=2808114166320660573949，得:pu229=126168082737452456903529250028052833559273617=17·5569·18097·90481·876497·928557820613597775470801，無(wú)解.

由 t30=16366888776367372354650，得:pu230=4286000771487684209792040244220177366025960001=97·577·13729·188801·201121·9393281·15638200177058824801，無(wú)解.

由 t31=95393218491883573553951，得:pu231=145597858147843810676025839053457977611323366417=17·1489·19841·50593·586273·5147205281·1898829606568065361，無(wú)解.

由 t32=555992422174934068969056，得:pu232=4946041176255201878775086487573351061418968498177=7681·1492993·431302713980890947612633357964569696769，無(wú)解.

由 t33=3240561314557720840260385，得:pu233=168019802134529020067676914738440478110633605571601=17·1153·2113·396001·967724510017·10586068985713306007688481，無(wú)解.

由 t34=18887375465171390972593254，得:pu234=5707727231397731480422240014619402904700123620936257=577·29921·651460673·507484858937618698569373022732426977，無(wú)解.

由 t35=110083691476470624995299139，得:pu235=193894706065388341314288483582321258281693569506261137=17·241·4481·5521·1535466241·1245853636565255979087989134833281，無(wú)解.

由 t36=641614773393652358999201580，得:pu236=6586712278991805873205386201784303378672881239591942401=193·665857·9188923201·5577836661177128362617195077849548801，無(wú)解.

由 t37=3739604948885443528999910341，得:pu237=223754322779656011347668842377083993616596268576619780497=17·48763660876577·269914496787930788048518982299248090651233，無(wú)解.

由 t38=21796014919919008815000260466，得:pu238=7601060262229312579947535254619071479585600250365480594497=577·323279681·393567279233·96286981375873·1075309289139593903809，無(wú)解.

由 t39=127036484570628609361001652455，得:pu239=258212294593016971706868529814671346312293812243849720432401=17·1153·1249·2359699608747761281·4469711882959366170509869987607329無(wú)解.

此時(shí)，x＞2.58×1059.故推論得證.

據(jù)此，提出如下猜想:

猜想 若p是奇素?cái)?shù)，n=2，則方程(4)在p≡1(mod 8)時(shí)僅有正整數(shù)解:

［1］ Lucas E.Problem 1180［J］.Nouv Ann Math，1875，14:336.

［2］ Ljunggren W.A diophantine problem［J］.London Math Soc，1971，3:385－391.

［3］ Watson C N.The problem of the square pyramid［J］.Messenger of Math，1981，48:1－22.

［4］ 馬德剛.方程6y2=x(x+1)(2x+1)［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1985(4):107－116.

［5］ 曹珍富.數(shù)論中的問題與結(jié)果［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1996:124－125.

［6］ 柯召.關(guān)于方程 x2=yn+1，xy≠0［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1962，14:457－460.

［7］ 曹珍富.丟番圖方程引論［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989:111－112.

［8］ Ribet K.On the equation ap+2αbp+cp=0［J］.Acta Arith，1997，79:7－16.

［9］ Darmon H，Merel L.Winding quotients and some variants of Fermat's last theorem［J］.Reine Angew Math，1997，490:81－100.

［10］ 王云葵.關(guān)于丟番圖方程 x(x+1)(2x+1)=2py2［J］.數(shù)學(xué)通訊，2001(5):31－32.

［11］ 管訓(xùn)貴.關(guān)于 Diophantine 方程 xd(n)+yφ(n)=zσ(n)［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，28(2):147－149.

［12］ 管訓(xùn)貴.關(guān)于不定方程 4x2n－py2=1［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，28(3):341－343.