低維動(dòng)力系統(tǒng)混沌指標(biāo)研究

胡 誠(chéng)

(湖北民族學(xué)院理學(xué)院，湖北恩施445000)

混沌是自然界普遍存在的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形式，混沌系統(tǒng)內(nèi)部極具復(fù)雜性、隨機(jī)性和無(wú)序性［1］.雖然看起來(lái)無(wú)規(guī)律、不可預(yù)測(cè)，但實(shí)際上也有自己的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是一種無(wú)序又有序的行為.復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)由于參變量的個(gè)數(shù)和系統(tǒng)維數(shù)較高，暫無(wú)普適有效的方法揭示相空間結(jié)構(gòu).在低維系統(tǒng)尤其是平直時(shí)空中，混沌識(shí)別算法研究已經(jīng)取得一些進(jìn)展［2-5］.同時(shí)，由于混沌行為對(duì)初始條件極為敏感，在應(yīng)用混沌識(shí)別算法之前必須提供高精度的數(shù)值結(jié)果［6］.

1 二維動(dòng)力系統(tǒng)(龐加萊截面法)

二維系統(tǒng)中參變量的個(gè)數(shù)較少，而且由于穩(wěn)定積分(哈密頓量)的存在，可以在平面內(nèi)研究系統(tǒng)的相空間結(jié)構(gòu).龐加萊截面方法是在十九世紀(jì)末提出來(lái)的用于分析多變量自治系統(tǒng)，其原理是在二維相空間中選取適當(dāng)截面(龐加萊截面)，此截面可以是平面也可以是曲面.該截面上對(duì)某一對(duì)共扼變量取為固定值.借助計(jì)算機(jī)將相空間的連續(xù)軌跡該截面的交點(diǎn)(截點(diǎn))顯示出來(lái)，這樣就可以拋開(kāi)相空間的軌道而得到關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征的信息.本文討論經(jīng)典的Henon-heiles系統(tǒng)，其哈密頓形式為:

通過(guò)式(1)可以得到正則運(yùn)動(dòng)微分方程，借助速度單因子方法或者高階辛算法［6］可以獲得高精度的數(shù)值解.圖1即為該系統(tǒng)在(y=0，Py＞0)條件下的龐加萊截面圖.圖1(左圖)選擇哈密頓常數(shù)為H=E=1/12，由于不考慮系統(tǒng)初始階段的暫態(tài)過(guò)渡過(guò)程，從截面上的穩(wěn)態(tài)圖像出發(fā)，該截面是由一系列封閉曲線組成，可以判定運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)周期的.隨著能量逐漸增加，系統(tǒng)將表現(xiàn)出強(qiáng)烈的混沌特性，如圖1(右圖)所示，此時(shí)在截面上出現(xiàn)成片的密集點(diǎn)，而且有自相似結(jié)構(gòu).以上截面給出的所有軌道同時(shí)在該截面上的分布狀況，對(duì)單條軌道，也可以單獨(dú)顯示出來(lái)，如圖2所示.截面由三條軌道組成，黑色軌道的初始值為:x0=0，y0=0.55，px0=0.2417，py0=0，截面由 5 個(gè)小島組成，是周期軌道.藍(lán)色軌道的初始值為:x0=0，y0=-0.01344，px0=0.49982，py0=0，此時(shí)出現(xiàn)了一系列不連續(xù)的點(diǎn)，表現(xiàn)出弱混沌特征.紅色軌道的初始值為:x0=0，y0=-0.016，px0=0.49974，py0=0，系統(tǒng)的有序運(yùn)動(dòng)完全被破壞，截面上出現(xiàn)大量的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)分布，混沌現(xiàn)象比較劇烈.

圖1 Henon-heiles系統(tǒng)龐加萊截面圖，左邊為H=E=1/12，右邊能量值為H=E=1/6.Fig.1 Poincare sections of Henon-heiles system，the energy value for the left panel is 1/12，but for the right is 1/6.

圖2 單條軌道龐加萊截面圖，黑色為有序軌道，藍(lán)色為弱混沌軌道，紅色為強(qiáng)混沌軌道.Fig.2 Poincare sections for single orbit，black part stands for regular orbit，blue is for slowly chaotic orbit，and red is strong chaotic orbit

2 三維系統(tǒng)(快速Lyapunov指標(biāo))

龐加萊截面只能有效地顯示自由度≤4的系統(tǒng)的有序和混沌行為，對(duì)于高維動(dòng)力系統(tǒng)，至今尚無(wú)普適有效地方法.研究表明，Lyapunov指數(shù)是衡量?jī)舌徑壍离S時(shí)間平均分離比的指標(biāo)，能夠反映混沌的強(qiáng)度.相對(duì)而言，快速Lyapunov指標(biāo)［5］要優(yōu)于Lyapunov指數(shù)，是一種更為方便快捷的算法.快速Lyapunov指標(biāo)要求在給定計(jì)算時(shí)間段內(nèi)不采用重整化，也不對(duì)時(shí)間平均，而快速計(jì)算某個(gè)指標(biāo)值.該指標(biāo)的數(shù)值一般隨時(shí)間變化，并且在這一限定時(shí)間內(nèi)它雖然還沒(méi)有收斂到終值，但對(duì)于混沌、擬周期、共振軌道和不動(dòng)點(diǎn)，這一指標(biāo)值將有很大不同，這樣可以研究相空間的全局結(jié)構(gòu).快速 Lyapunov指標(biāo)的公式［5］為:FLI(τ)=log10［ΔL(τ)/ΔL(0)］.

其中:ΔL(0)為初始時(shí)刻的固有距離，ΔL(τ)為經(jīng)過(guò)時(shí)間τ之后的固有距離.FLI(τ)為時(shí)間τ時(shí)刻的快速Lyapunov指標(biāo).如果計(jì)算值隨時(shí)間作指數(shù)式的偏離，則運(yùn)動(dòng)是混沌的.如果是直線式的增加，則為周期運(yùn)動(dòng).

考慮以下三維動(dòng)力系統(tǒng)，其哈密頓形式為:

與二維情況一樣，首先通過(guò)四階龍格庫(kù)塔算法對(duì)上述運(yùn)動(dòng)微分方程積分.然后應(yīng)用速度因子方法保持不變運(yùn)動(dòng)積分，使得各數(shù)值解不至偏離哈密頓量所固定的能量超曲面.最后計(jì)算兩條軌道的快速Lyapunov指標(biāo)，如圖3 所示.兩條軌道的速度和坐標(biāo)初始值分別為:①x=y=z=0，px=0.1，py=0.347，pz=0;②x=y=z=0，px=0.115，py=0.347，pz=0.時(shí)間步長(zhǎng)取為 τ=0.05.從圖中可以明顯看出，軌道(1)是周期性的規(guī)則軌道，軌道(2)的速度分量相對(duì)軌道(1)只有微小的變化，導(dǎo)致其運(yùn)動(dòng)是混沌的，這一點(diǎn)更充分說(shuō)明了混沌對(duì)初始條件的極為敏感.為做對(duì)比研究，兩條軌道的相空間圖在圖4給出，兩者幾乎沒(méi)有分別，說(shuō)明單從相空間分布是很難區(qū)分混沌存在與否，而快速Lyapunov指標(biāo)可以幫助區(qū)分選擇.

圖3 混沌軌道和有序軌道的快速Lyapunov指標(biāo)圖Fig.3 Fast Lyapunov indicators for chaotic orbit and regular orbit

圖4 混沌軌道和有序軌道的相空間圖，兩者幾乎沒(méi)有區(qū)別Fig.4 Phase space plot for regular orbit and chaotic orbit，there is no difference for them

3 結(jié)論

混沌現(xiàn)象的探測(cè)至今是一大難題.但是在平直時(shí)空，可以借助有效的識(shí)別算法探測(cè)全空間或單個(gè)軌道運(yùn)動(dòng)是否存在混沌現(xiàn)象.龐加萊截面法直觀有效的給出二維四自由度的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確地揭示周期、擬周期和混沌軌道.在三維或者更高維空間，推薦采用快速Lyapunov指標(biāo)，該指標(biāo)能充分體現(xiàn)初始值的微小偏離導(dǎo)致軌道運(yùn)動(dòng)通向混沌的特征，是目前最為有效的識(shí)別方法.

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［5］ Wu X，Huang T Y.Computation of Lyapunov exponents in general relativity［J］.Phys Lett A，2003，313:77-81.

［6］ Ma D Z，Wu X，Zhong，S Y.Effects of the cosmological constant on chaos in an FRW scalar field universe［J］.RAA，2009，9:1185-1191.