復(fù)雜裝配尺寸鏈的圖論法求解研究

張 亞，馮 剛

ZHANG Ya1,2,FENG Gang1

(1.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，紹興 312000；2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)系，杭州 310027)

0 引言

圖論是一個(gè)新興的數(shù)學(xué)分支,目前在物理學(xué)、化學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息論、網(wǎng)絡(luò)理論以及經(jīng)濟(jì)管理等許多領(lǐng)域都得到廣泛的應(yīng)用[1]。在機(jī)械裝配領(lǐng)域也越來越受到人們的重視[2]。

一般情況下，我們可以利用尺寸鏈的原理,通過解裝配尺寸鏈求出各裝配尺寸。 尺寸鏈分析是保證機(jī)器裝配質(zhì)量的重要方法[3]。然而在機(jī)械部件的裝配中，如果裝配的部件較多、尺寸關(guān)系復(fù)雜，尺寸鏈的表示和求解將很困難、繁瑣，容易出錯(cuò)。本文根據(jù)裝配尺寸的圖論表示模型,提出了裝配尺寸鏈的矩陣求解方法。此方法可以用一個(gè)矩陣式表示出所有的尺寸關(guān)系并一次求解出所有封閉環(huán)的尺寸，提高了尺寸鏈求解的效率，為復(fù)雜尺寸鏈的求解提供了有效的方法。下面將以圖1所示滾輪部件的裝配為例，說明基于圖論的裝配尺寸鏈求解方法。

1 裝配尺寸鏈的圖論模型

圖1[4]所示滾輪部件由六個(gè)零件組成，零件的設(shè)計(jì)尺寸為：L1=15mm,L2=38mm,L3=50mm,L4= 80mm,L5=80.2mm,L6=10mm,L7=15mm,L8=40mm以及L9=0，部件的尺寸與公差模型見圖2?，F(xiàn)在要求根據(jù)零件的設(shè)計(jì)尺寸求解三個(gè)裝配尺寸（即封閉環(huán)尺寸）：__

滾輪3和框架1之間的間隙X_N1；機(jī)架1與螺母6的間隙XN2；機(jī)架1大孔 的軸線與滾輪3中垂直于軸線的兩個(gè)端面之間的中間平面之間的距離為XN3。

我們首先給出裝配尺寸鏈的圖論模型。

圖1可以定義為二元組G=〈V（G），E（G）〉

1）V（G）是非空的集合V（G）= {v1, v2, ...,vn}，元素vi（i = 1, 2, ..., n）表示圖G的結(jié)點(diǎn)，即零件的裝配特征。本圖中只包含與裝配尺寸和設(shè)計(jì)尺寸相關(guān)的結(jié)點(diǎn)。V（G）稱為圖G的結(jié)點(diǎn)集合，簡(jiǎn)記為V。

2）E（G）是V中結(jié)點(diǎn)的有序偶組成的集合，E（G）= {e1, e2, ..., em} = {vivj, i＜j，i, j∈1, 2, ...,n}。邊ek與有序偶〈vivj〉相關(guān)聯(lián)，為有向邊，其中vi稱為ek的起始結(jié)點(diǎn)，vj稱為ek的終止結(jié)點(diǎn)。本文中，為了判斷組成環(huán)的傳遞系數(shù)，指定組成環(huán)（設(shè)計(jì)尺寸）的方向?yàn)閺淖髠?cè)的節(jié)點(diǎn)指向右側(cè)的結(jié)點(diǎn)，故規(guī)定i＜j。圖2所示即滾輪裝配的圖論模型，圖中的粗實(shí)線表示裝配尺寸即封閉環(huán)。

2 裝配尺寸鏈的求解

建立裝配尺寸鏈矩陣式的步驟如下：首先，

利用圖論模型中的結(jié)點(diǎn)信息求出各組成環(huán)的傳遞系數(shù)，然后根據(jù)傳遞系數(shù)和邊的權(quán)值信息建立裝配尺寸的矩陣式，求解得到裝配尺寸。

2.1 根據(jù)結(jié)點(diǎn)信息在圖中判斷增減環(huán)，確定組成環(huán)的傳遞系數(shù)

圖1 滾輪部件裝配圖

圖2 裝配尺寸的圖論模型

傳遞系數(shù)是表示各組成環(huán)對(duì)封閉環(huán)影響大小的系數(shù)。尺寸鏈中封閉環(huán)與各組成環(huán)的關(guān)系可表示為:L0=f(L1,L2,…,Lm)。設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的傳遞系數(shù)為ξi，則ξi＝對(duì)于增環(huán)，，ξi為正值；對(duì)于減環(huán)，ξi為負(fù)值[1]。在直線尺寸鏈中，增環(huán)的傳遞系數(shù)為+1，減環(huán)的傳遞系數(shù)為-1。

組成環(huán)或封閉環(huán)在圖論模型中的有順時(shí)針或逆時(shí)針兩個(gè)相反的方向。本文提出一種在圖論模型中求解組成環(huán)傳遞系數(shù)的方法，即：與封閉環(huán)（裝配尺寸）反向的組成環(huán)（零件設(shè)計(jì)尺寸）為增環(huán)，傳遞系數(shù)ξij＝+1；與封閉環(huán)（裝配尺寸）同向的組成環(huán)（零件設(shè)計(jì)尺寸）為減環(huán)，ξij＝-1。

圖2中有3個(gè)包含封閉環(huán)的圓環(huán)。由L3、L3/2、L3/2組成的圓環(huán)沒有包含封閉環(huán)，未涉及裝配關(guān)系，故不予考慮。封閉環(huán)XN1、XN2、XN3所在的環(huán)分別用序號(hào)1、2、3標(biāo)識(shí)。各結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征在裝配圖中按從左至右的順序依次為:AS、BS、CS、DS、ES、OD、Od、OS、FS、GS、HS、IS、JS、 KS，為顯明起見，依次用1、2、3…14來表示。按照上述方法判斷得到的傳遞系數(shù)的值已在圖上標(biāo)出。

2.2 裝配尺寸鏈的矩陣表示與求解

封閉環(huán)的基本尺寸等于各增環(huán)的基本尺寸之和減去各減環(huán)的基本尺寸之和：

對(duì)于包含多個(gè)封閉環(huán)（裝配尺寸）的裝配尺寸鏈，我們可以建立其矩陣式如下：

如果一個(gè)裝配尺寸圖論模型包含i個(gè)包含封閉環(huán)（裝配尺寸）的環(huán)，設(shè)計(jì)尺寸為L(zhǎng)1～Lj,裝配尺寸為XN1～XNi,則有：

kij為組成環(huán)尺寸的比例系數(shù)，如對(duì)于組成環(huán)L3/2， k13＝1/2;

尺寸與設(shè)計(jì)尺寸之間的線性關(guān)系。

本例中， 封閉環(huán)的序號(hào)i=1，2，3；組成環(huán)的序號(hào)j=1，2，…,9。

因?yàn)閄*N1=XN1, 環(huán)1中的封閉環(huán)相當(dāng)于2XN1。為了能以XN1作封閉環(huán)，各組成環(huán)的kij值均需除以2。又因?yàn)長(zhǎng)*6= L6,L*1= L1, 故k11=1,k12=1/2,k13=1/2,k16=1。

所以尺寸鏈系數(shù)矩陣為：

所以，裝配尺寸鏈矩陣方程為：

本文用mathematica5.0進(jìn)行矩陣運(yùn)算。使用主菜單命令“input”下的“creat table/matrix/palette”命令直接輸入矩陣。如對(duì)于尺寸鏈系數(shù)矩陣，設(shè)置矩陣行數(shù)與列數(shù)分別為i和j，產(chǎn)生一個(gè)空白矩陣i×j，然后將 的值依次輸入，即可得到尺寸鏈系數(shù)矩陣。矩陣相乘用如下命令：X=KL。求得裝配尺寸鏈的封閉環(huán)列向量為：

所以，此滾輪部件的裝配尺寸為：滾輪3和框架1之間的間隙XN1等于1；機(jī)架1與螺母6的間隙XN2等于0.2；機(jī)架1大孔 的軸線與滾輪3中垂直于軸線的兩個(gè)端面之間的中間平面之間的距離XN3等于0，即要求兩者共面。

3 結(jié)束語

在工程機(jī)械的裝配中，如果裝配的部件較多、尺寸關(guān)系復(fù)雜，尺寸鏈的表示和求解將很困難、繁瑣，容易出錯(cuò)，甚至無法用通常的尺寸鏈方法求解裝配尺寸。本文根據(jù)裝配尺寸鏈的圖論模型，建立了裝配尺寸鏈的矩陣式，并提出一種在圖論模型中判斷尺寸鏈傳遞系數(shù)的新方法，使得復(fù)雜裝配尺寸鏈可以很容易地求解出來并避免差錯(cuò)。通過滾輪部件的裝配實(shí)例，驗(yàn)證了本文所提出方法的有效性。

[1] 尹成龍.圖論法查找和解算工藝尺寸鏈的研究[J],安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1998,25(2):203-205.

[2] 季忠齊,童若鋒,林蘭芬,蔡銘,董金祥.基于圖論和啟發(fā)式搜索的裝配序列規(guī)劃算法[J],計(jì)算機(jī)工程,2003,13:115-117.

[3] 徐振高,蔣向前.互換性與測(cè)量技術(shù)[M],北京:高等教育出版社,2004.

[4] 黃美發(fā),鐘艷如,CAD系統(tǒng)中并行公差的建模方法[J],中國(guó)機(jī)械工程,18:1623-1626.