基于Lame方程研究非線性Schr?dinger方程的行波解

相春環(huán)

(重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院，重慶 永川 402160)

近年來(lái)探索非線性偏微分方程的解析解，即可積性問(wèn)題的研究已成為非線性數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域?qū)W者研究的一個(gè)熱點(diǎn)［1-3］．由于非線性偏微分方程可以較近似的描述很多非線性物理現(xiàn)象，從而被物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、工程建設(shè)等方向用作模型．本文研究的非線性Schr?dinger方程就是一個(gè)被應(yīng)用在眾多方向(熱力學(xué)、非線性光學(xué)、非線性聲學(xué)、量子凝聚物質(zhì)等)且被廣泛研究的非線性偏微分方程，特別是在玻色-愛因斯坦凝聚的研究中，該方程的應(yīng)用就是被關(guān)注的重要見證之一［4-5］．另外，關(guān)于高溫超導(dǎo)和冷原子在光格子上實(shí)驗(yàn)理論和應(yīng)用研究這一競(jìng)爭(zhēng)非常激烈的熱點(diǎn)問(wèn)題也涉及該方程的應(yīng)用［6］．?dāng)?shù)學(xué)工具的實(shí)際應(yīng)用深刻地揭示了數(shù)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域中許多不同分支之間的一些相互聯(lián)系，更重要的是其中所涉及的新思想，特別是一些新的代數(shù)結(jié)構(gòu)，為物理學(xué)相關(guān)問(wèn)題的研究提供了更廣泛的基礎(chǔ)．本文從Lame方程［7］的角度，并借助橢圓方程研究了非線性Schr?dinger方程的行波解．

1 關(guān)于Lame方程

2 非線性Schr?dinger方程的行波解

非線性Schr?dinger方程是科學(xué)研究中一個(gè)重要的方程，其一般形式表示如下：

方程(2)中α和β是兩個(gè)常參數(shù)系數(shù)，其中α是色散頻率系數(shù)，β是朗道系數(shù)．在不失一般性的條件下可設(shè)非線性Schr?dinger方程的通解如下：

k和w分別為波數(shù)和頻率．將(3)式代入(2)式可得如下形式的方程：

由微擾展開法的知識(shí)可得方程(4)波函數(shù)的無(wú)窮項(xiàng)展開式：

上式中，pn(0 ＜ p＜1)，n=0，1，2…為相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，φ0、φ1和φ2分別對(duì)應(yīng)方程(4)的零階解、一階解和二階解．

把方程(5)代入(4)式，經(jīng)過(guò)整理可得形式

如下含有相應(yīng)階數(shù)的方程：

方程(6)的解可用第三類橢圓函數(shù)的形式設(shè)為：

上式中，g0、g1和g2是待定系數(shù)．將(9)式代入方程(6)，并把各次方的系數(shù)合并等零可得：

故方程(4)的零階解在w，k，α，q滿足w-αk2=(q2-2)α的條件時(shí)可表示為：

把方程(10)代入方程(7)，可得如下方程：

如果設(shè)s=2和n=2，借助于方程(1)，我們可得方程(11)的本征值為：2-q2．參考文獻(xiàn)［9］可得方程(11)的本征函數(shù)：

其中，c是一個(gè)常數(shù)參數(shù)．將方程(10)和(12)代入方程(8)，關(guān)于方程(4)的二階解的方程可寫為：

基于上面的討論，這里假設(shè)方程(13)解的形式如下：

這里f1和f2為待定系數(shù)．把方程(14)代入方程(13)并合并dn各次方項(xiàng)的系數(shù)可得：

把方程(15)代入(14)可得方程(13)的最終解的形式：

將方程(10)、(12)和(16)代入方程(3)得到非線性Schr?dinger方程的最終行波解為：

當(dāng)模數(shù)q→0時(shí)，橢圓函數(shù)作如下退化：

當(dāng)模數(shù)q→1時(shí)，橢圓函數(shù)可化作雙曲函數(shù)表示：

將(18)式和(19)式分別代入非線性Schr?dinger方程的行波解(17)可得：

方程(17)、(20)和(21)分別為非線性Schr?dinger方程的橢圓函數(shù)解、三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解．

3 結(jié)論

本文借助Lame方程和橢圓函數(shù)方程得到了非線性Schr?dinger方程的行波解，并在橢圓函數(shù)的模數(shù)趨于兩種極限的情況下得到了由橢圓函數(shù)演變的行波解：三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解．通過(guò)對(duì)上述行波解的分析，我們可容易得到非線性Schr?dinger方程在某特殊點(diǎn)的解析解及其所描述現(xiàn)象的物理可觀測(cè)量．相因子是波函數(shù)的一個(gè)重要方面，通過(guò)測(cè)量相因子可以測(cè)得不同參數(shù)的相位，借助數(shù)值模擬探測(cè)模型對(duì)稱破缺的行為，進(jìn)而印證解析的正確性．這3類精確行波解可提示并幫助研究應(yīng)用該方程的學(xué)者對(duì)可以用非線性Schr?dinger方程描述的物質(zhì)結(jié)構(gòu)有更新的認(rèn)識(shí)．同時(shí)，本文獲得非線性Schr?dinger方程行波解的簡(jiǎn)捷過(guò)程是解相關(guān)非線性偏微分方程的得力工具．

［1］Xu Bin，Liu Xiqiang．Symmetries，reductions，group invariant solutions of(2+1)-dimensional Gardner equation［J］．Chinese Journal of Quantum Electronics，2009，26(5)：531-536．

［2］Taogetusang，Sirendaoerji．Jacobi elliptic function exact solutions of sine-Gordon equation［J］．Chinese Journal of Quantum Electronics，2009，26(3)：278-287．

［3］Zhu Jiamin，Ma Zhengyi．Exact solutions for the cubic-quintic nonlinear Schr?dinger equation［J］．Chaos，Solitons ＆ Fractals，2007，33(3)：958-964．

［4］Dodd R J．Approximate solutions of the nonlinear Schr? dinger equation for ground and excited states of Bose-Einstein condensates［J］．Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology，1996，101：545．

［5］Xue Jukui，Zhang Aixia，Liu Jie．Self-trapping of Bose-Einstein condensates in an optical lattice：the effect of the system dimension［J］．Physical Review A，2008，77：013602-4．

［6］Frits Beukers，Alexa van der Waall．Lame equations with algebraic solutions［J］．Journal of Differential Equations，2004，197：1-25．

［7］Baldassarri F．On algebraic solutions of Lames differential equation［J］．Journal of Differential Equations，1981，41：44-58．

［8］Liu Guanting．Lame equation and asymptotic higherorder periodic solutions to nonlinear evolution equations［J］．Applied Mathematics and Computation，2009，212：312-317．

［9］Churchill R C．Two-generator subgroups of SL(2，C)and the hypergeometric，Riemann，and Lame equations［J］．Journal of symbolic Computation，1999，28：521-545．

［10］Fu Zuntao，Mao Jun，Liu Shida．Multi-order exact solutions to the Drinfeld-Sokolov-Wilson equations［J］．Physics Letters A，2009，373：3710-3714．

［11］Wang Zhuxi，Guo Dunren．Special Functions［M］．Beijing：Peking University Press，2000：565-573．

［12］Liu Shikuo，Liu Shida．Nonlinear equations in physics［M］．Beijing：Peking University Press，2000：294-297．