AHP－QFD綜合模式在行星齒輪減速器多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

江擒虎， 胡文超， 年陳陳

（合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

當(dāng)前，基于顧客需求的產(chǎn)品設(shè)計(jì)已成為市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和競(jìng)爭(zhēng)發(fā)展背景下的一種趨勢(shì)，愈來(lái)愈多的顧客希望能按照他們的需求生產(chǎn)產(chǎn)品。對(duì)企業(yè)而言，產(chǎn)品質(zhì)量的內(nèi)涵已經(jīng)發(fā)生了本質(zhì)的轉(zhuǎn)變，即從滿足狹義的設(shè)計(jì)需求轉(zhuǎn)變?yōu)閺V義的滿足顧客需求。為保證產(chǎn)品能為顧客所接受，企業(yè)必須全面研究和分析顧客需求，并將這些需求轉(zhuǎn)換成最終產(chǎn)品的特征，同時(shí)配置到制造過(guò)程的各工序和生產(chǎn)計(jì)劃中。

1 質(zhì)量功能展開(kāi)原理

質(zhì)量功能展開(kāi)（Quality Function Deployment，簡(jiǎn)稱QFD）的核心思想是從產(chǎn)品開(kāi)發(fā)初的可行性分析、方案設(shè)計(jì)、技術(shù)設(shè)計(jì)到產(chǎn)品的生產(chǎn)都是以市場(chǎng)顧客的需求為驅(qū)動(dòng)，強(qiáng)調(diào)將顧客的需求明確、完整地轉(zhuǎn)變?yōu)楫a(chǎn)品開(kāi)發(fā)的設(shè)計(jì)部門、制造工藝部門以及生產(chǎn)計(jì)劃部門等有關(guān)人員均能理解執(zhí)行的各種具體信息，從而保證最終能夠得到實(shí)現(xiàn)符合市場(chǎng)顧客需求的產(chǎn)品。簡(jiǎn)單地說(shuō)，QFD是一種基于用戶需求驅(qū)動(dòng)的產(chǎn)品設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)方法［1］。

1.1 質(zhì)量屋

QFD的核心內(nèi)容是基于需求的轉(zhuǎn)換，采用一種直觀的矩陣框架表達(dá)形式，即質(zhì)量屋（House of Quality，簡(jiǎn)稱 HOQ）形式，其是QFD的核心工具。質(zhì)量屋提供了一種將用戶需求轉(zhuǎn)換成產(chǎn)品和零部件特征并展開(kāi)到制造過(guò)程的直觀結(jié)構(gòu)，通過(guò)建立質(zhì)量屋的基本框架，給以輸入信息，通過(guò)分析評(píng)價(jià)得到輸出信息，從而實(shí)現(xiàn)了一種需求轉(zhuǎn)換。質(zhì)量屋的基本形式如圖1所示［2］。

圖1 質(zhì)量屋

（1）左墻。whats輸入項(xiàng)矩陣，表示需求什么，包含顧客需求及其重要度。是質(zhì)量屋的“什么”，顧客對(duì)其各項(xiàng)需求進(jìn)行評(píng)分，表明各項(xiàng)需求的重要程度，是質(zhì)量屋最基本的輸入。

（2）天花板。hows矩陣，表示針對(duì)需求應(yīng)該怎樣去做，是技術(shù)需求（即產(chǎn)品工程特征），是質(zhì)量屋的“如何去做”，即為實(shí)現(xiàn)顧客需求可以采用的技術(shù)要求和方法。

（3）房間。相關(guān)關(guān)系矩陣，描述顧客需求與實(shí)現(xiàn)這一需求的產(chǎn)品技術(shù)特征的相關(guān)程度，一般用5－3－1表示，數(shù)字越大，關(guān)系越緊密。

（4）屋頂。hows的相互關(guān)系矩陣，表示技術(shù)需求矩陣中各項(xiàng)目間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，分為正相關(guān)、不相關(guān)和負(fù)相關(guān)。

（5）右墻。評(píng)價(jià)矩陣，是指競(jìng)爭(zhēng)性或可行性分析比較，即顧客競(jìng)爭(zhēng)性評(píng)估，從顧客的角度評(píng)價(jià)產(chǎn)品的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，包括計(jì)劃目標(biāo)、水平提高率、產(chǎn)品特性點(diǎn)、相對(duì)權(quán)重、絕對(duì)權(quán)重及競(jìng)爭(zhēng)公司評(píng)價(jià)矩陣等。

（6）地下室。hows輸出項(xiàng)矩陣，表示hows項(xiàng)的技術(shù)成本評(píng)價(jià)等情況，包含技術(shù)需求重要度、技術(shù)競(jìng)爭(zhēng)性評(píng)估等，用來(lái)確定設(shè)計(jì)中應(yīng)該優(yōu)先考慮的項(xiàng)目。

質(zhì)量屋建立完成后，通過(guò)定性和定量分析得到輸出hows項(xiàng)，即完成了“需求什么”到“怎樣去做”的轉(zhuǎn)換［3］。

1.2 重要度的轉(zhuǎn)換

重要度轉(zhuǎn)換的方法一般有比例分配法和獨(dú)立配點(diǎn)法，比例分配法中質(zhì)量需求的相關(guān)數(shù)目和分布會(huì)影響技術(shù)特性重要度的結(jié)果，而獨(dú)立配點(diǎn)法能改進(jìn)這種過(guò)大或過(guò)小的評(píng)價(jià)問(wèn)題，故采用獨(dú)立配點(diǎn)法進(jìn)行重要度的轉(zhuǎn)換［4］。技術(shù)特性重要度為：

其中，TIRj為第j個(gè)技術(shù)特性的重要度；CIRi為經(jīng)過(guò)修正的第i個(gè)質(zhì)量需求的重要度；Rij為第i個(gè)質(zhì)量需求和第j個(gè)技術(shù)特性之間關(guān)系符號(hào)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字值。

經(jīng)過(guò)重要度的轉(zhuǎn)換，將顧客需求轉(zhuǎn)變?yōu)榧夹g(shù)需求，得到技術(shù)需求重要程度，將所得的技術(shù)需求權(quán)重用于多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的加權(quán)系數(shù)，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行優(yōu)化，得到的優(yōu)化結(jié)果更加能夠反映顧客的需求。

1.3 QFD的缺陷

隨著對(duì)QFD理論研究與應(yīng)用的不斷深入，傳統(tǒng)QFD理論與方法存在的缺陷和不足日益暴露出來(lái)，主要有以下2個(gè)方面［5］：

（1）不適合動(dòng)態(tài)的復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)。傳統(tǒng)的質(zhì)量功能展開(kāi)不能解決顧客需求和制造過(guò)程中的動(dòng)態(tài)反饋問(wèn)題。

（2）標(biāo)度尺度不統(tǒng)一，展開(kāi)的精確程度低。如關(guān)系矩陣的打分，通常就有1－2－4、1－3－5、1－3－9等多個(gè)標(biāo)度。這樣會(huì)導(dǎo)致展開(kāi)的結(jié)果精確程度較低，尤其是經(jīng)過(guò)數(shù)次關(guān)系矩陣的轉(zhuǎn)換，展開(kāi)的精度會(huì)更低，顧客的真正要求不能在質(zhì)量屋的轉(zhuǎn)換過(guò)程中得到正確體現(xiàn)。有些專家認(rèn)為具有不同數(shù)學(xué)含義的2種離散標(biāo)度相乘，將得到的評(píng)價(jià)結(jié)果作為設(shè)計(jì)要求的權(quán)重存在一些問(wèn)題。例如，在數(shù)學(xué)上存在著困難；評(píng)價(jià)結(jié)果很不精確；用離散標(biāo)度作為評(píng)價(jià)尺度，進(jìn)行絕對(duì)判斷，一致性很差而且無(wú)法檢驗(yàn)。

為了改進(jìn)顧客滿意展開(kāi)精度和評(píng)價(jià)結(jié)果的精確性，本文將層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱AHP）引入 QFD中，彌補(bǔ)了QFD理論所存在的缺陷。

2 層次分析法

層次分析法把給出了定性描述的一組目標(biāo)成對(duì)地加以比較，分析其相對(duì)重要程度，據(jù)此定量地得出各目標(biāo)的權(quán)重，指導(dǎo)決策［6］。

（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型。這是AHP中最重要的一步，它把復(fù)雜問(wèn)題分解為各組成部分，稱其為元素，把這些元素按屬性不同分成若干組，以形成不同層次。同一層次的元素作為準(zhǔn)則，對(duì)下一層次的某些元素起支配作用，同時(shí)又受上一層元素的支配。這種從上至下的支配關(guān)系形成了一個(gè)遞階層次，最上層只有一個(gè)元素，是問(wèn)題的預(yù)定目標(biāo)或者理想結(jié)果，中間層次為子準(zhǔn)則，最底層為解決方案。典型的層次圖如圖2所示。

圖2 遞階層次結(jié)構(gòu)示意圖

（2）構(gòu)造判斷矩陣。在層次分析法中，為了使決策判斷定量化，形成數(shù)值判斷矩陣，文獻(xiàn)［6］應(yīng)用了1～9標(biāo)度方法，其意義見(jiàn)表1所列。

表1 標(biāo)度的含義

通過(guò)各元素的兩兩對(duì)比判斷，可以形成判斷矩陣c＝［cij］m×n，表示由此形成的顧客需求項(xiàng)目對(duì)滿足顧客總體需求的重要度判斷矩陣。

（3）層次單排序及其一致性檢驗(yàn)。得出判斷矩陣后，通過(guò)（1）式、（2）式計(jì)算其特征向量，即

其中，wi就是顧客需求i的重要度值。

在求出特征向量后，應(yīng)進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。為此，需要計(jì)算出重要度矩陣的最大特征值：

然后計(jì)算一致性指數(shù)：

計(jì)算隨機(jī)一致性比率：

其中，RI為平均隨機(jī)一致性指數(shù)［7］。

CR不大于0.10時(shí)，重要度矩陣有滿意的一致性；CR大于0.10時(shí)，應(yīng)對(duì)矩陣中的評(píng)分重新修正，直到滿足一致性要求。

（4）層次總排序。對(duì)于復(fù)雜的產(chǎn)品，顧客需求不止一級(jí)，多為分層結(jié)構(gòu)。對(duì)于這類產(chǎn)品首先要確定第1級(jí)的顧客需求（父需求）重要度wi，然后用同一方法確定同屬于某一個(gè)父需求的重要度wij，表示屬于父需求i的第j項(xiàng)需求相對(duì)于父需求的重要度。若某父需求只有一項(xiàng)子需求則有wi＝wij，如此可以求得第j項(xiàng)子需求相對(duì)于總需求的總體重要度為wi×wij。如果質(zhì)量屋還有更低層次的子需求，以此類推便可以得到各項(xiàng)子需求的總體重要度，得到的總體重要度可用于質(zhì)量屋中的計(jì)算。

3 AHP－QFD 模型

將AHP用于分析顧客需求重要度，即將質(zhì)量屋的左墻變成由層次分析法得到的判斷矩陣以及顧客需求重要度，然后再利用QFD的基本思想，得出工程特性的重要度，并以此為依據(jù)進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算，即將傳統(tǒng)QFD模型的左墻變?yōu)橛蓪哟畏治龇ǖ玫降呐袛嗑仃嚰邦櫩托枨笾匾?，其模型如圖3所示。

圖3 AHP－QFD模型

4 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

在產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)，顧客往往要求產(chǎn)品的幾項(xiàng)內(nèi)容同時(shí)達(dá)到預(yù)期要求，這就要求設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)時(shí)要使幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。這種在設(shè)計(jì)中同時(shí)要求幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)的問(wèn)題，稱為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，其模型如下［8－9］：

多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)算法有統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法、主要目標(biāo)法及協(xié)調(diào)曲線法等，最常用的為線性加權(quán)組合法。其基本思想是在多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題中，將其各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)f1（x），f2（x），…，ft（x）依其數(shù)量級(jí)和在整體設(shè)計(jì)中的重要度相應(yīng)地給出一組加權(quán)因子ω1，ω2，…，ωt，取fi（x）與ωi的線性組合，人為地構(gòu)成一個(gè)新的統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)，即

則多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題便可以寫成如下形式：

此種方法確定加權(quán)因子時(shí)，只需預(yù)先求出各單目標(biāo)最優(yōu)值，又反映了各單目標(biāo)函數(shù)值離開(kāi)各自最優(yōu)值的程度。因此，適用于所有目標(biāo)在整個(gè)問(wèn)題中有同等重要程度的場(chǎng)合。若各分目標(biāo)的重要程度不相等，可以在上述統(tǒng)一量綱的基礎(chǔ)上再另外賦以相應(yīng)的加權(quán)因子值。這樣，加權(quán)因子的相對(duì)大小，才充分反映出各分目標(biāo)在整個(gè)優(yōu)化問(wèn)題中的重要程度。

5 實(shí) 例

基于QFD的產(chǎn)品設(shè)計(jì)，可以運(yùn)用于各種機(jī)械產(chǎn)品及其主要結(jié)構(gòu)的方案設(shè)計(jì)與優(yōu)化，現(xiàn)以某種NGW行星齒輪減速器的主要結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，描述其應(yīng)用方法。

已知減速器的輸入功率P＝5kW，輸入轉(zhuǎn)速為n1＝960r／min，傳動(dòng)比i＝6.3，單向連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)，負(fù)荷較平穩(wěn)，要求使用壽命不低于15a。

太陽(yáng)輪和行星輪的材料為20CrNi2MoA，表面滲碳淬火處理，表面硬度為57～61HRC；實(shí)驗(yàn)齒輪齒面接觸疲勞極限σHlim＝1450MPa；實(shí)驗(yàn)齒輪齒根彎曲疲勞極限，太陽(yáng)輪σFlim＝400MPa，行星輪σFlim＝280MPa（對(duì)稱載荷），齒輪為漸開(kāi)線直齒輪，精度為6級(jí)。內(nèi)齒圈材料為42CrMo，調(diào)質(zhì)處理，硬度為260～300HBS；實(shí)驗(yàn)齒輪的接觸疲勞極限σHlim＝750MPa，實(shí)驗(yàn)齒輪的彎曲疲勞極限σFlim＝280MPa；齒輪為漸開(kāi)線直齒輪，精度為7級(jí)。

本例在給定承載能力情況下，以行星減速器的體積和效率為目標(biāo)，對(duì)行星齒輪減速器進(jìn)行優(yōu)化。

5.1 設(shè)計(jì)變量

取太陽(yáng)輪的齒數(shù)、模數(shù)和齒寬為設(shè)計(jì)變量，因此有：X ＝（za，m，b）T＝（X1，X2，X3）T。

5.2 體積目標(biāo)函數(shù)

行星齒輪減速器的體積可以近似地用太陽(yáng)輪和行星輪的體積代替［10］，則

其中，da為太陽(yáng)輪的分度圓直徑；dg為行星輪的分度圓直徑；np為行星輪的個(gè)數(shù)，取3；b為齒寬。

用設(shè)計(jì)變量表示體積目標(biāo)函數(shù)為：

5.3 效率目標(biāo)函數(shù)

定軸齒機(jī)構(gòu)效率（即轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)的效率）計(jì)算，我國(guó)僅計(jì)算嚙合損失一項(xiàng)［11］，則行星減速器的效率為：

對(duì)于NGW行星齒輪傳動(dòng)，φH為轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)中行星輪與太陽(yáng)輪之間的嚙合損失，即

μ一般為0.60～0.10，此處取0.10。

因此，可用設(shè)計(jì)變量表示效率目標(biāo)函數(shù)為：

5.4 概念設(shè)計(jì)質(zhì)量屋與約束條件

通過(guò)對(duì)市場(chǎng)顧客的調(diào)查，以外形尺寸（CR1）、承載能力（CR2）、效率（CR3）、傳動(dòng)比誤差（CR4）、可靠性（CR5）為顧客需求建立行星齒輪減速器的總體概念設(shè)計(jì)質(zhì)量屋，如圖4所示。通過(guò)（1）～（5）式計(jì)算，可知重要度矩陣有滿意的一致性。

約束條件如下［12－13］：

（1）根切條件：za≥17，即17－X1≤0。

（2）齒寬限制：b≥10，即10－X2≤0。

圖4 行星齒輪減速器概念設(shè)計(jì)質(zhì)量屋

（3）模數(shù)限制：m≥1.25，即1.25－X3≤0。

（4）太陽(yáng)輪齒寬系數(shù)φd限制：0.4≤φd≤1，則有0.4≤b／（mza）≤1，即0.4 X1X3－X2≤0，X2－X1X3≤0。

（6）滿足同心條件，m（za＋zg）／2＝ m（zbzg）／2，化簡(jiǎn)得za＋2zg＝zb。

（7）滿足裝配條件，（za＋zb）／np＝m（m 是整數(shù)）。

（8）滿足鄰接條 件，2（ra＋rg）sin（π／np）＞2（rg＋），整理得3.46－X1≤0。

（9）滿足齒面接觸強(qiáng)度條件：

其中，u為齒數(shù)比；KA為使用系數(shù)，為1.25；Ktd為算式系數(shù)，為768；KHΣ為綜合系數(shù)，為2.2；T1為太陽(yáng)輪單個(gè)齒輪傳遞轉(zhuǎn)矩，T1＝KPTA／np＝117.7N·m；KHP為載荷不均勻系數(shù)，為1.15；φd＝b／（mza）。

整理得：

（10）滿足齒根彎曲疲勞強(qiáng)度極限：

其中，Ktm為算式系數(shù)，直齒輪取17.5；KFP為載荷分配不均勻系數(shù)，KFP＝1＋1.5（KHP－1）＝1.225；KFΣ為綜合系數(shù)，為1.9。

整理得：

5.5 總體目標(biāo)函數(shù)的建立

根據(jù)QFD所得到的技術(shù)需求重要度，得到加權(quán)權(quán)重為：λ1＝302／（302＋93）＝0.765，λ2＝93／（302＋93）＝0.235。通過(guò) Matlab優(yōu)化工具箱，可以得到體積最小值為1372400；效率只與齒數(shù)有關(guān)，故當(dāng)齒數(shù)最小時(shí)效率取得最小值，即當(dāng)齒數(shù)為17時(shí)，效率最小為0.9802。因此，行星齒輪減速器的統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)為：

5.6 優(yōu)化結(jié)果

利用Matlab中的fmincon函數(shù)［14］對(duì)行星齒輪減速器進(jìn)行優(yōu)化，其格式為：［x，fval，exitflag，output］＝ ［‘fun’，x0，A，b，A1，b1，LB，UB，‘nonlcon’］。fun為目標(biāo)函數(shù)的 M 文件，nonlcon為約束條件的M文件，設(shè)置初始值為［22，40，3］。

（1）利用AHP－QFD得到的權(quán)重優(yōu)化結(jié)果。體積目標(biāo)函數(shù)權(quán)重為0.765；效率目標(biāo)函數(shù)權(quán)重為0.235。齒數(shù)為21.797，圓整為22；齒寬為39.879mm，圓整為40；模數(shù)為2.4764903，圓整為2.5。體積為1413280mm3，效率為0.9847。

（2）利用經(jīng)驗(yàn)得到的權(quán)重優(yōu)化結(jié)果。體積目標(biāo)函數(shù)權(quán)重為0.5；效率目標(biāo)函數(shù)權(quán)重為0.5。齒數(shù)為17，圓整為20；齒寬為43.097mm，圓整為45；模數(shù)為3.0714，圓整為3。體積為1892160mm3，效率為0.9832。

6 結(jié)束語(yǔ)

利用AHP－QFD模型得到的顧客需求重要度權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，不僅克服了傳統(tǒng)QFD存在的顧客滿意度無(wú)法檢驗(yàn)的缺陷，而且其優(yōu)化結(jié)果明顯好于利用經(jīng)驗(yàn)值所得的權(quán)重優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化后體積比利用經(jīng)驗(yàn)值優(yōu)化的結(jié)果降低25.3%，效率也略有提高，真正地體現(xiàn)了顧客的需求。

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