具有可變抽樣區(qū)間的Poisson INAR(1)CUSUM控制圖

郭新俊，朱永忠，張 艷

0 引言

控制圖作為一種重要的統(tǒng)計(jì)過程控制工具，被廣泛應(yīng)用于實(shí)施過程控制，以改進(jìn)產(chǎn)品質(zhì)量。但常規(guī)控制圖的一個(gè)基本假設(shè)前提是觀測(cè)值彼此獨(dú)立，而往往在現(xiàn)實(shí)中所采集的數(shù)據(jù)會(huì)存在自相關(guān)現(xiàn)象很難滿足獨(dú)立性假設(shè)。為了處理自相關(guān)數(shù)據(jù)，我們采用取整的自回歸滑動(dòng)平均過程模型。早在1985年，Mckenzie[1]提出了一個(gè)取非整的ARMA模型（INARMA）。因?yàn)閷?duì)于標(biāo)準(zhǔn)的一階自回歸模型AR（1），一個(gè)取非整的INAR（1）模型是很接近它的，所以在2007年，Weib[2]提出了一個(gè)c-chart，一個(gè)滑動(dòng)平均控制圖和帶著兩個(gè)特殊條件的控制圖去監(jiān)測(cè)這樣的過程。但是，幾種相似的結(jié)果顯示它們都沒有表現(xiàn)出較好的監(jiān)測(cè)效果。直到2009年，Weiss和Testik[3]研究了一個(gè)全新的累積和控制圖Poisson INAR(1)CUSUM，完全基于Poisson INAR(1)模型，能夠很好地監(jiān)測(cè)來自INAR(1)過程的數(shù)據(jù)。而這類常規(guī)的控制圖都是假定抽樣區(qū)間和樣本容量都固定不變，它不利于及時(shí)發(fā)現(xiàn)過程的變化，特別是過程較小的變化，于是Reynolds et al[4]提出了具有變化抽樣區(qū)間的Shewhart控制圖，并由此形成了動(dòng)態(tài)控制圖這一新的領(lǐng)域，之后很多學(xué)者研究了動(dòng)態(tài)的累積和控制圖[5]，指數(shù)加權(quán)滑動(dòng)平均控制圖[6]等。本文擬在Weiss和Testik[3]的累積和控制圖Poisson INAR(1)CUSUM的基礎(chǔ)上進(jìn)行變化的樣本區(qū)間設(shè)計(jì)，即不再假定樣本區(qū)間固定而是根據(jù)當(dāng)前樣本點(diǎn)落入的區(qū)域從而決定采用相應(yīng)的變化的樣本區(qū)間[7][8]。利用馬爾科夫鏈方法計(jì)算的數(shù)據(jù)判斷，與FSI圖相比是否減少了過程的平均報(bào)警時(shí)間，從而有效地提高生產(chǎn)效率。

1 Poisson INAR(1)CUSUM控制圖的描述

1.1 INAR(1)模型

McKenzie[1]早在1985年就給出了第一個(gè)INARMA和INAR(1)模型

其中，Nt為離散型隨機(jī)變量，α∈(0,1)，°為減弱算子，εt是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，減弱算子與εt都是相互獨(dú)立的，并且εt在每個(gè)t時(shí)刻與Nt-1,Nt-2,...都是獨(dú)立的。方程（1）中的INAR(1)模型在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用[2]。

方程（1）中的INAR(1)過程模型是一個(gè)齊次馬爾科夫鏈。顯然，零初值是固定的。再者，此模型可適用于幾種邊緣分布，包括二項(xiàng)分布和泊松分布等。下面，我們只考慮泊松分布的情形——設(shè)定Nt是帶有參數(shù)λ＞0的泊松分布且 P(Nt=k)=e-λ(λkk!)；k=0,1,...。

1.2 Poisson INAR(1)CUSUM控制圖

在方程（1）中，若εt是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量且服從參數(shù)為λ(1-α)的泊松分布，Nt為服從參數(shù)λ＞0的泊松分布的離散型隨機(jī)變量即 P(Nt=k)=e-λ(λkk!)，k=0,1,...。那么方程（1）被稱作Poisson INAR(1)模型。

在實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)有很多原因使統(tǒng)計(jì)過程失控。比如Nt和εt的均值或方差可能會(huì)從受控狀態(tài)中的某個(gè)值變成失控狀態(tài)的另一個(gè)值。很多控制圖都能用來監(jiān)測(cè)Nt在過程中均值的改變，由于多樣累積和控制圖在較小和中等參數(shù)漂移監(jiān)測(cè)中的優(yōu)越性[9]，在此選用多樣累積和控制圖。Christian H Weib和Murat Caner Testik[3]在2009年提出了一個(gè)單邊的Poisson INAR(1)累計(jì)和控制圖（受控時(shí)μ=λ0）：

這里，c0≥0是初值，k≥λ0是信念值。過程被認(rèn)為是受控的，只有當(dāng)Ct≥h時(shí)過程發(fā)出警報(bào)進(jìn)入失控階段，其中h＞0為控制線。盡管通常情況下取初值c0=0，但是當(dāng)取c0≥0時(shí)，在監(jiān)測(cè)過程失控時(shí)更加靈敏。而k的作用是在受控階段阻止控制圖向控制線靠近，能夠及時(shí)地調(diào)整自身的取值使之對(duì)控制過程中均值漂移更加敏感

2 Poisson INAR(1)CUSUM控制圖的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)

2.1 動(dòng)態(tài)控制圖的描述

動(dòng)態(tài)控制圖[10]是指下一個(gè)樣本的抽樣區(qū)間或樣本容量依賴于現(xiàn)實(shí)樣本點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量的控制圖?？刂茍D的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)一般有可變抽樣區(qū)間（Variable Sampling Interval,VSI),可變樣本容量（Variable Sample Size,VSS)及可變樣本容量和抽樣區(qū)間（VSSI)這三種情況。其主要思想為：在控制圖的中心限和控制限之間加上警戒限，將中心限與警戒限之間的區(qū)域稱為中心域，警戒限與控制限之間的區(qū)域稱為警戒域。如果現(xiàn)時(shí)樣本點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量位于中心域，則表明其后的點(diǎn)超出控制限的可能性較小，這時(shí)可等待較長的時(shí)間再去抽取下一個(gè)樣本，且下一個(gè)樣本的樣本容量可以較??；反之，若現(xiàn)實(shí)樣本點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量位于警戒域內(nèi)，這表明其后的點(diǎn)很有可能超出控制限，為了能盡快的發(fā)現(xiàn)過程的偏移，應(yīng)等待較短的時(shí)間去抽取下一個(gè)樣本，且其樣本容量應(yīng)該較大，也就是說下一個(gè)樣本的抽樣區(qū)間和樣本容量的大小取決于現(xiàn)實(shí)樣本點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量的大小。一般只取兩個(gè)抽樣區(qū)間長度 d1，d2，和兩個(gè)樣本容量 n1，n2，其中 d1＞d2，n1＜n2。當(dāng)現(xiàn)時(shí)樣本點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量位于中心域時(shí)，選取樣本容量n1和抽樣區(qū)間d1；當(dāng)其位于警戒域時(shí)，選用樣本容量n2和抽樣區(qū)間d2；若其超出警戒限，則發(fā)出報(bào)警信號(hào)，過程失控。

2.2 VSIPoisson INAR(1)CUSUM控制圖

早在上個(gè)世紀(jì)80年代，Reynolds[5]就一直在專注研究關(guān)于帶有變化的樣本容量或抽樣區(qū)間的控制圖，其中對(duì)累積和控制圖的研究占有很大比重。Reynolds和Arnold[5]在1990年給出了一個(gè)單邊的（正向的)VSICUSUM控制圖。

這個(gè)控制圖有效地克服了以往的抽樣區(qū)間是固定的情況下會(huì)出現(xiàn)不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)過程較小的變化這一缺點(diǎn)，但是這里的隨機(jī)變量Xj一般默認(rèn)為是相互獨(dú)立的，也就是說，在實(shí)際中所觀測(cè)的數(shù)值存在自相關(guān)現(xiàn)象時(shí)，（3）式還是可能會(huì)出現(xiàn)虛報(bào)或是漏報(bào)的情況。所以我們用（2）式中定義的特殊的隨機(jī)變量Nt來替換Xj再結(jié)合Poisson INAR(1)CUSUM控制圖的優(yōu)點(diǎn)所得到的新的控制圖如下：

這兒，c0仍然是一個(gè)常數(shù)。而（2）中的Ct與（4）中的不同處在于Ct是將控制圖所有取負(fù)值的統(tǒng)計(jì)量全部歸零，首先會(huì)記錄那些取負(fù)值的統(tǒng)計(jì)量，然后當(dāng)代入下一組樣本計(jì)算時(shí)又將那些負(fù)值重新置為零。除去記錄取負(fù)值的統(tǒng)計(jì)量這一點(diǎn)以外這兩者是相同的。之所以選擇控制圖是因?yàn)槟切┴?fù)的統(tǒng)計(jì)量的取值很可能被用作去判別樣本區(qū)間。同樣，過程被認(rèn)為是受控的，只有當(dāng)Ct≥h時(shí)會(huì)發(fā)出警報(bào)進(jìn)入失控階段，其中h＞0為控制線。k為信念值通常由控制圖的漂移率來定，如果讓來表示μ0變到μ的幅度，那么k的最佳取值為，h的選擇則是在受控階段時(shí)使報(bào)警前的樣本數(shù)量的期望達(dá)到某個(gè)特定的值而設(shè)定。

2.3 VSIPoisson INAR(1)CUSUM控制圖ATS計(jì)算

如果使用兩個(gè)樣本區(qū)間d1和d2，用ψi表示報(bào)警前使用抽樣區(qū)間di的樣本數(shù)量，其中i=1,2。d0為第一個(gè)樣本之前的抽樣區(qū)間，也就是說d0是指從過程開始的0時(shí)刻到取第一個(gè)樣本這段時(shí)間。在許多應(yīng)用中，通常取d0=d1，其表示過程開始之后迅速地取第一個(gè)樣本。根據(jù)ATS，ANSS的定義不難得出下列等式：

定義

其中ρ1為樣本區(qū)間是d1的樣本數(shù)量占報(bào)警前所有樣本數(shù)量的比例。進(jìn)一步有 ATS=d?ANSS,這里d=d1ρ1+d2(1-ρ1)。

對(duì)一個(gè)可變抽樣區(qū)間控制圖來說，d可看作是平均樣本區(qū)間的長度，而在接下來討論到的固定樣本區(qū)間圖時(shí)，d就代表固定樣本區(qū)間的長度。這都是在討論單邊的情況，雙邊的控制圖統(tǒng)計(jì)量情況類似，只是要復(fù)雜一些，這里就不再說明了。

在運(yùn)用馬爾科夫鏈方法去近似計(jì)算控制圖效能值的時(shí)候，常常是將控制圖的連續(xù)區(qū)域分成若干個(gè)小區(qū)域，每個(gè)小區(qū)域都對(duì)應(yīng)著一個(gè)馬爾科夫鏈，其中有個(gè)區(qū)域稱為吸收態(tài)，表示過程失控。現(xiàn)假設(shè)將某個(gè)控制圖的連續(xù)區(qū)域C分成r個(gè)區(qū)域E1,E2,...,Er。并且每個(gè)狀態(tài)Ei相應(yīng)的去使用一個(gè)樣本區(qū)間長度。記bi表示當(dāng)控制圖的統(tǒng)計(jì)量落在區(qū)域Ei時(shí)的樣本區(qū)間，b={b1,b2,...,br}'。馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣P為，這兒Q是P的子矩陣對(duì)應(yīng)于r個(gè)轉(zhuǎn)移狀態(tài)，0'是由零組成的r×1維零矩陣，1是由1組成的r×1維矩陣。

定義基礎(chǔ)矩陣M=[mij]=(I-Q)-1，這里矩陣P，Q和M都依賴于均值μ的取值。mij是轉(zhuǎn)移狀態(tài)Ej在進(jìn)入吸收態(tài)之前的過程次數(shù)的期望值。用ANSSi表示在狀態(tài)Ei時(shí)的統(tǒng)計(jì)量ANSS，且 ANSS=(ANSS1,ANSS2,...,ANSSr)'。因?yàn)樵隈R爾科夫鏈的一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移發(fā)生時(shí)只取一個(gè)樣本，所以有一個(gè)多樣累積和控制圖的ANSS的取值完全依賴于參數(shù)k和h，所以無論是可變樣本區(qū)間的累積和控制圖還是固定樣本區(qū)間的累積和控制圖，如果它們有相同的k值和h值，那么這兩個(gè)控制圖有相同的ANSS值。同樣，用ATSi表示在狀態(tài)Ei時(shí)的統(tǒng)計(jì)量ATS，d0=bi，并且過程的均值是常數(shù)，則有若 d0≠bi時(shí)，有 ATS=ATSi+d0-bi。

3 比較分析

衡量控制圖性能的指標(biāo)是過程運(yùn)行到出現(xiàn)錯(cuò)誤信號(hào)報(bào)警所用的時(shí)間，如果N代表報(bào)警時(shí)所運(yùn)行的樣本數(shù)量，那么固定樣本區(qū)間控制圖的報(bào)警時(shí)間則是由N和固定的樣本區(qū)間長度共同決定。所以對(duì)固定樣本區(qū)間控制圖來說，刻畫報(bào)警時(shí)間的大小就可以簡(jiǎn)單的去刻畫N的大小。在質(zhì)量控制學(xué)中，N被稱作運(yùn)行長度。所以它的期望值平均運(yùn)行長度ARL通常被用來衡量固定樣本區(qū)間控制圖的性能。然而在變化的樣本區(qū)間控制圖中，由于抽樣區(qū)間不固定所以報(bào)警時(shí)間不能單一的由N去描述，那么只能去直接計(jì)算報(bào)警時(shí)間。同樣它的期望值定義為ATS，由于ARL關(guān)系到兩個(gè)量所以在可變的抽樣區(qū)間控制圖中我們定義報(bào)警時(shí)的樣本數(shù)量的期望值為ANSS，它代替了固定抽樣區(qū)間控制圖的ARL。例如，定義受控階段時(shí)的ANSS為500或者ATS為250小時(shí)，則意味著在受控狀態(tài)下平均運(yùn)行每500個(gè)樣本就會(huì)出現(xiàn)一次錯(cuò)誤警報(bào)或者平均運(yùn)行每250小時(shí)就會(huì)出現(xiàn)一次錯(cuò)誤警報(bào)。

控制圖應(yīng)在同一條件下進(jìn)行比較，換言之，當(dāng)過程處于受控狀態(tài)時(shí)，它們應(yīng)有相同的平均報(bào)警時(shí)間ATS。只要VSI控制圖和FSI控制圖有相同的n,h和k值，它們就具有相同的ANSS；也就是說，改變控制圖的抽樣區(qū)間并不改變它的ANSS。當(dāng) μ=μ0時(shí)，固定k和h。

選擇合適的警戒限和可變抽樣區(qū)間d1和d2，使得VSI控制圖和FSI控制圖有相同的平均抽樣區(qū)間，此時(shí)它們具有相同的平均報(bào)警時(shí)間ATS。分別計(jì)算當(dāng)μ≠μ0時(shí)兩個(gè)控制圖的ATS，ATS越小，控制圖的效率就越高。

在研究累積和控制圖性能時(shí)，我們通常將h和k的值均取整并且讓它們成對(duì)出現(xiàn)，如表1所給出的，而當(dāng)k的值接近λ0時(shí)控制圖的效果將更加明顯。不難看出無論是固定區(qū)間的FSIPoisson INAR(1)CUSUM亦或是可變樣本區(qū)間的VSIPoisson INAR(1)CUSUM，它們的ATS取值均受到參數(shù)α的影響。再者，對(duì)于參數(shù)c0來說，當(dāng)c0＞0時(shí)二者的統(tǒng)計(jì)量取值總比c0為零時(shí)的取值要小一些。而對(duì)于以上所有參數(shù)恒定的情況下，VSI圖的值比FSI圖的值要小，即可說明可變抽樣區(qū)間控制圖比固定樣本區(qū)間控制圖更加靈敏。

表2 帶有幾組不同區(qū)間的VSI圖和固定區(qū)間的FSI圖的ATS值

對(duì)于表2，我們是將FSIPoisson INAR(1)CUSUM的樣本區(qū)間取為d=1，而對(duì)VSIPoisson INAR(1)CUSUM的兩個(gè)不同的抽樣區(qū)間(d1,d2)分別取不同的組合，其中有兩組是關(guān)于d=1對(duì)稱的，而另外三組關(guān)于d=1不對(duì)稱的。由表可看出，對(duì)VSI無論是否取關(guān)于d=1對(duì)稱的抽樣區(qū)間的ATS值都要比FSI的相應(yīng)的值要小。早在1989年，Reynolds就提出過這樣的理論：d1的取值要盡可能的小，言下可讓d2在一定的范圍內(nèi)盡可能取大一些，但不能無限大，畢竟要受到ρ1等參數(shù)的影響。從表中也可看出，對(duì)于那三組不關(guān)于d=1的抽樣區(qū)間(d1,d2)，總是d1與d2相差最大的那組（0.1,1.5）的效果最好。而在多數(shù)情況下，通常取關(guān)于d對(duì)稱的d1與d2的值能使控制圖達(dá)到最優(yōu)效果，正如表中的兩組關(guān)于d=1對(duì)稱的d1與d2的取值，此時(shí)VSIPoisson INAR(1)CUSUM的效果最佳。

表1 帶有不同k和h值的單邊FSI圖和VSI圖在穩(wěn)態(tài)時(shí)的ATS取值

圖1 帶著相同均值漂移率的FSI和VSI的ATS值比較

圖1 中共有四條線段，其中參數(shù)（h,k,c0）為（16,3,0）的FSI圖和VSI圖以及參數(shù)為（17,3,12）的兩種控制圖的比較，很明顯當(dāng)參數(shù)相同時(shí)VSI的線段要比FSI的略低；再者，無論是FSI圖還是VSI圖，c0值較大的控制圖相應(yīng)的ATS值小。

4 結(jié)論

由于在實(shí)踐中所采集的數(shù)據(jù)通常具有自相關(guān)性，而多樣累積和控制圖在較小和中等參數(shù)漂移監(jiān)測(cè)中有優(yōu)越性，所以使用多樣累積和控制圖通過一個(gè)一階泊松取整的自回歸滑動(dòng)平均過程模型（定義為Poisson INAR(1))來監(jiān)測(cè)，并且對(duì)其進(jìn)行可變抽樣區(qū)間設(shè)計(jì)。從文中可看出在參數(shù)大小相同的條件下，VSI圖的ATS值總是比FSI圖要小一些，也就是說無論在受控亦或是失控條件下，VSI圖都要比FSI圖靈敏。但就對(duì)VSI圖而言，考慮它的抽樣區(qū)間的組合，一般來說區(qū)間稍長的組合性能將更好一些。所以可變抽樣區(qū)間的累積和控制圖VSIPoisson INAR(1)CUSUM更加容易投入到實(shí)際生產(chǎn)或過程中去。

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