復系數(shù)奇異Sturm－Liouville方程的極限點判定

景海斌 鄧全才 岳崇山

(1.河北建筑工程學院，河北張家口075000;2.河北北方學院理學院，河北 張家口075000)

0 引言

其中p(t)=p1(t)+ip2(t)≠0，q(t)=q1(t)+iq2(t)是復值函數(shù)，w(t)是一個權(quán)函數(shù)，并在［0，+∞)上幾乎處處大于在［0，+∞)上局部可積，λ∈? 是一個譜參數(shù).為表達方便，記早在1910年H.Weyl就對方程(1)為實系數(shù)的情形進行了討論，并給出了方程的一個分類:極限點型和極限圓型.若對任何λ∈?，方程(1)的任一解y∈，則稱方程為極限圓型，否則為極限點型.之后出現(xiàn)了許多關(guān)于極限點和極限圓的判別準則(如［1，p1552－1560］).對于復系數(shù)情況的討論開始于Sims的研究(見［2］)，之后B.M.Brown等人給出了方程(1)的Sims分類:極限點1型、極限點2型和極限圓型(見［3，定理2.1］).本文將給出方程(1)為極限點1型的判別準則.

1 Sims分類

1.1 預備知識

由此可定義半平面

這里 δλ是 λ 到邊界 ? ∧θ，K的距離.易證對(θ，K)∈ (θ，K)，有

1.2 Sims分類

下面給出復系數(shù)奇異 Sturm－Liouville方程(1)的Sims分類(見［3，定理2.1］)，對λ ∈∧θ，K，方程(1)有三種情形可能出現(xiàn):

1)(1)存在唯一的解滿足(3)，并且它也唯一屬于，此時稱方程(1)在∧θ，K上屬于極限點1型;

2)(1)存在唯一的解滿足(3)，但所有的解屬于，此時稱方程(1)在∧θ，K上屬于極限點2型;

3)(1)的所有解均滿足(3)，從而也都屬于，此時稱方程(1)在∧θ，K上屬于極限圓型.

注1 此分類與半平面∧θ，K有關(guān)，但利用常數(shù)變異法易證，若對某個λ0∈?，(1)的所有解均屬于，則對任意λ∈?，(1)的所有解均屬于，即極限點1型不依賴于∧θ，K.

2 極限點1的判別準則

為給出本文的主要結(jié)果，需用到下面的引理.

引理 設(shè)(θ，K)∈S(θ，K)，則對 λ ∈∧θ，K，方程(1)至少有一個非零解y(t，λ)滿足當t≥N時，有|pˉyy＇|＞l，其中N，l為大于零的常數(shù).(見［4］，引理2)

定理1 若存在常數(shù)k1，使得p1(q1－k1w)≥0，p1≠0，且，則方程(1)是極限點1型的.

證明 不妨設(shè)p1＞0，令K0=k1+ik2，取θ=0，則由條件可知Re［rp(t)eiθ］=rp1≥0，Re{［q(t)－K0w(t)］eiθ}=q1－k1w≥0，故(0，K0)∈S(θ，K)，即0∈A(θ).設(shè)y=y(t，λ)為滿足的方程(1)的非零解，下證y?.

若不然，假設(shè)y∈L2w，由引理知|pˉyy＇|＞l＞0(t≥N)，再由Schwartz不等式，當t→∞時有

對以上等式兩邊從0→t積分并取實部，再由式及定理條件可得

故由(4)，(5)式知，存在0＜d＜1，使得

兩邊從N→t積分，再由Schwartz不等式得

這與(4)式矛盾，故y?，而由注1知極限點1型不依賴于∧θ，K，故(1)為極限點1型.當p1＜0的情形，取θ=π，運用完全相同的方法可證明結(jié)論的正確性.

注2對于方程(1)為實系數(shù)的情況，當p(t)≡1，w≡1，若q有下界，則方程(1)必為極限點型(見［5，定理10.1.4］)，故此定理包括了實系數(shù)的相應(yīng)判別準則.

定理1 是通過系數(shù)p(t)，q(t)的實部給出判別準則的，類似可得利用p(t)，q(t)的虛部也可得到相應(yīng)結(jié)論.

定理2 若存在常數(shù)k2，使得，則方程(1)是極限點1型的.

證明 本定理也分p2＞0和p2＜0兩種情況證明，并分別取運用和定理1類似的方法可證明本定理.

例 考慮方程－y"+(t2+1+it3)y=λy，t∈［0，+∞).

這里p(t)=w(t)≡1，q(t)=t2+1+it3，取k1=1，有p1(q1－k1w)=t2≥ 0，t∈［0，+∞).且，因此由定理1可知此方程為極限點1型.

［1］Dunford and J.T.Schwartz.Linear operators(II)［M］.New York:Wiley－interscience，1963

［2］A.R.Sims.Secondary conditions for linear diffeRential operators of the second order［J］.J.Math.Mech.，1957，6:247～285

［3］B.M.Brown，D.K.R .McCormack，W.D.Evans and M.Plum.On the spectrum of second－order diffeRential operators with complex coefficients［J］.Proc.R.Soc.Lond.Ser.，1999，A(455):1235 ～1257

［4］景海斌，綦建剛，岳崇山.復系數(shù)奇異Sturm－Liouville方程的極限點和極限圓分類［J］.數(shù)學物理學報，2010，30A(6):1534～1541

［5］E.Hille.LectuRes on ordinary diffeRential equations［M］.London:Addison－Weyl，1969